Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Nord - Session Juin 2011
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Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1 L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques
12 points
II - Activités géométriques
12 points
III - Problème
12 points
Qualité de rédaction et de présentation
4 points
12 points
Activités numériques
exercice 1
Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.
1. Leslie a écrit le calcul suivant :
Jonathan a écrit le calcul suivant :
a) Effectuer les calculs précédents.
b) Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ?
2. Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat.
a) Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ?
b) Le professeur a-t-il choisi comme deuxième nombre ?
c) Arthur prétend qu'en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu'il appelle ), l'équation permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.
A-t-il raison ? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis.
exercice 2
La vitesse de la lumière est 300 000 km/s.
1. La lumière met de seconde pour aller d'un satellite à la Terre.
Calculer la distance séparant le satellite de la Terre.
2. La lumière met environ 8 minutes et 30 secondes pour nous parvenir du soleil. Calculer la distance nous séparant du Soleil. Donner le résultat en écriture scientifique.
exercice 3
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1.
Quelle est la forme factorisée de ?
2.
Que vaut ?
3.
À quelle autre expression le nombre est-il égal ?
4.
Quels sont les nombres premiers entre eux ?
774 et 338
63 et 44
1 035 et 774
5.
Quel nombre est en écriture scientifique ?
12 points
Activités géométriques
exercice 1
On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d'arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l'arête des cubes.
1. Dessiner en vraie grandeur une vue de l'arrière du solide.
2. Calculer le volume en cm3 du solide.
3. Étude du prisme droit.
a) On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous.
Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifier la réponse.
b) Vérifier par des calculs que la longueur AC cm.
c) En déduire la valeur exacte de l'aire de la face ACFD. Donner l'arrondi au mm2 près.
exercice 2
Dans cet exercice, on n'attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître.
On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n'est pas à l'échelle.
1. Calculer la valeur exacte de la distance BC.
2. Calculer l'arrondi de la distance BD au millimètre près.
exercice 3
Dans la configuration ci-dessous, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5 cm, OA = 3,8 cm, OR = 6,84 cm, et KR = 7,2 cm
Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes.
1.
2.
3. En utilisant tous les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l'élève a répondu, et rédiger précisément ses réponses.
12 points
Problème
Le directeur d'un théâtre sait qu'il reçoit environ 500 spectateurs quand le prix d'une place est de 20 €. Il a constaté que chaque réduction de 1 euro du prix d'une place attire 50 spectateurs de plus.
Toutes les parties sont indépendantes.
Partie 1
1. Compléter le tableau 1 suivant :
Réduction en €
Prix de la place en €
Nombre de spectateurs
Recette du spectacle
0
20
500
20 × 500 = 10 000
1
19
...
... = ...
...
...
600
... = ...
16
...
... = ...
2. On appelle le montant de la réduction (en €). Compléter le tableau 2 suivant :
Réduction en €
Prix de la place en €
Nombre de spectateurs
Recette du spectacle
...
...
...
3. Développer l'expression de la recette obtenue à la question 2.
Partie 2
Le directeur de la salle souhaite déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette. Il utilise la fonction donnant la recette (en €) en fonction du montant de la réduction (en €).
Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) :
1. Quelle est la recette pour une réduction de 2 € ?
2. Quel est le montant de la réduction pour une recette de 4 050 € ? Quel est alors le prix d'une place ?
3. Quelle est l'image de 8 par la fonction ? Interpréter ce résultat pour le problème.
4. Quelle est la recette maximale ? Quel est alors le prix de la place ?
Partie 3
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
La salle de spectacle a la forme ci-dessous:
Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2 m.
On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m2 dans la zone des sièges.
Calculer le nombre de places disponibles dans ce théâtre.
1. a) Calcul de Leslie : 11 × (2 × 9) = 11 × 18 = 198 Calcul de Jonathan : 10² + 2 = 100 + 2 = 100
1. b) Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier, le troisième nombre est 11 et le premier est 9.
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu. Le deuxième nombre est 10.
D'où : Le professeur a choisi comme entiers : 9, 10 et 11.
2. a) Si le professeur a choisi 6 comme deuxième entier, on a :
Leslie : 7 × (2 × 5) = 7 × 10 = 70 Jonanthan : 6² + 2 = 36 + 2 = 38 Les résultats sont différents, le professeur n'a donc pas choisi 6 comme deuxième entier.
2. b) Si le professeur a choisi 7 comme deuxième entier, on a :
Leslie : 8 × (2 × 6) = 8 × 12 = 96 Jonathan : 7² + 2 = 49 + 2 = 51 Les résultats sont différents, le professeur n'a donc pas choisi 7 comme deuxième entier.
2. c) Soit le deuxième entier,
le premier entier est , le troisième entier est .
Leslie calcule le produit du troisième nombre () par le double du premier (). On obtient :
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu, on obtient :
De plus, les résultats de Leslie et Jonathan doivent être égaux.
D'où :
Résolvons cette équation :
Arthur a donc raison.
Cette équation admet deux solutions : -2 et 2.
Pour , les trois entiers sont : -3 ; -2 et -1.
Pour , les trois entiers sont : 1 ; 2 et 3.
exercice 2
1. avec v = 300 000 km/s et s.
Donc :
La distance séparant le satellite de la Terre est de : 4 000 km.
2. Convertissons le temps parcouru en secondes : 8 minutes 30 secondes = (8 × 60) s + 30 s = (480 + 30) s = 510 s
avec v = 300 000 km/s et t = 510 s.
La distance séparant la Terre du Soleil est de : 1,53 × 108 km
exercice 3
1.Réponse A La forme factorisée de est .
car : Identité remarquable où et
2.Réponse B
3.Réponse C est aussi égal à
car : (pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse).
(la multiplication est prioritaire)
(on réduit les fractions au même dénominateur)
4.Réponse B Les nombres premiers entre eux sont 63 et 44.
car : 774 et 338 sont deux nombres pairs, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
1 035 et 774 sont tous les deux divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
Les deux nombres premiers entre eux sont donc : 63 et 44.
Remarque : on peut vérifier que les nombres 63 et 44 admettent comme seul diviseur commun 1 en utilisant l'algorithme d'Euclide :
63 = 44 × 1 + 19
44 = 19 × 2 + 6
19 = 6 × 3 + 1
6 = 1 × 6 + 0
Le dernier reste non nul est 1, donc : PGCD(63 ; 44) = 1
5.Réponse C Le nombre en écriture scientifique est 1,52 × 103
Activités géométriques
exercice 1
1.
Échelle : 1 carreau représente 2 cm
2. Le solide est composé de 6 cubes (d'arête 4 cm) et d'un prisme droit de base (la base est un triangle rectangle, la hauteur est égale à 2 cm).
Le volume du solide est de 400 cm3.
3. a) Les segments [AB] et [BC] sont deux arêtes du cube. Elles sont donc perpendiculaires.
La base du prisme droit est un triangle rectangle.
3. b) Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 4² + 4²
AC² = 16 + 16
AC² = 32
Donc : AC = cm
3. c) Aire de la face ACFD :
La face ACFD est un rectangle.
(valeur exacte)
L'aire de la face ACFD est d'environ 11,31 cm² (valeur arrondie au mm²).
exercice 2
1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = 30² - 25²
BC² = 900 - 625
BC² = 275
Donc : cm (valeur exacte)
2.Déterminons CD : Dans le triangle ACD rectangle en C, on a :
Donc : cm
Déterminons BC : Les points B, C et D sont alignés, donc :
La distance BD est environ égale à 45,3 cm (valeur arrondie au millimètre).
exercice 3
1.Question : Calculer la distance AR.
Réponse : les points O, A et R sont alignés, donc AR = OR - OA = 6,84 - 3,8 = 3,04
La distance AR est de 3,04 cm.
2.Question : Calculer la distance OK.
Réponse : les droites (OA) et (SK) sont sécantes en R, les droites (AS) et (OK) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
Donc :
De , on déduit
La distance OK est égale à 11,25 cm.
3.Question : Calculer le périmètre du triangle ORK.
Réponse : Le périmètre est égal à :
RK + KO + OR = 7,2 + 11,25 + 6,84 = 25,29
Le périmètre du triangle ORK est égal à 25,29 cm.
Problème
Partie 1
1. Complétons le tableau :
Réduction en €
Prix de la place en €
Nombre de spectateurs
Recette du spectacle
0
20
500
20 × 500 = 10 000
1
19
550
19 × 550 = 10 450
2
18
600
18 × 600 = 10 800
4
16
700
16 × 700 = 11 200
2. Complétons le tableau :
Réduction en €
Prix de la place en €
Nombre de spectateurs
Recette du spectacle
3. Développons l'expression obtenue :
Partie 2
1. Pour une réduction 2 €, la recette est de : 10 800 € (cf pointillés rouges).
2. Pour une recette de 4 050 €, le montant de la réduction est de : 16,80 € (cf pointillés roses).
Le prix de la place est alors de : 20 - 16,80 €, soit 3,20 €.
3. L'image de 8 par la fonction : (cf pointillés verts)
Pour une réduction de 8 € (la place coûte alors 12 €), la recette est de 10 800 €.
4. La recette maximale est de : 11 250 € (cf pontillés jaunes).
Le prix de la place est alors de : 20 - 5 €, soit 15 €.
Partie 3
Déterminons l'aire des deux quarts de disque : m²
Déterminons l'aire des deux trapèzes : m²
Déterminons l'aire totale de la salle : m²
Calculons le nombre de places disponibles dans ce théâtre : 465 × 1,8 = 837
Le théâtre dispose de 837 places.
Publié par TP/groy ms avec erreurs !
le
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