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Fiche de mathématiques




Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 2
L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et présentation4 points
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. 12 points

Activités numériques

exercice 1

Un dé cubique a 6 faces peintes: une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir.

1. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-dessous donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers.
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2011 - troisième : image 1

    a) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune.
    b) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire.

2. On suppose que le dé est équilibré.
    a) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune?
    b) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire?

3. Expliquer l'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2.




exercice 2

On fabrique des bijoux à l'aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et les autres sont en métal.
Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.
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Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix.
Le bijou n°1 revient à 11 ? ; le bijou n°2 revient à 9,10 ?.
À combien revient le bijou n°3 ?
Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.




exercice 3

1. Deux affirmations sont données ci-dessous.
Affirmation 1
Pour tout nombre a : (2a + 3)^2 = 4a^2 + 9.
Affirmation 2
Augmenter un prix de 20% puis effectuer une remise de 20% sur ce nouveau prix revient à redonner à l'article son prix initial.

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.

2. Deux égalités sont données ci-dessous.
Égalité 1
\dfrac{\sqrt{32}}{2} =  2\sqrt{2}.
Égalité 2
10^5 + 10^{-5} = 10^0

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l'obtenir.
Si elle est fausse, la transformer pour qu'elle devienne vraie.



12 points

Activités géométriques

exercice 1

Le dessin ci-dessous représente une figure géométrique dans laquelle on sait que :
   * ABC est un triangle rectangle en B.
   * CED est un triangle rectangle en E.
   * Les points A, C et E sont alignés.
   * Les points D, C et B sont alignés.
   * AB = CB = 2 cm.
   * CD = 6 cm.
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Le dessin n'est pas en vraie grandeur


1. Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur.

2. a) Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\text{ACB}} ?
    b) En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{DCE}}.

3. Calculer une valeur approchée de DE à 0,1 cm près.

4. Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l'on notera \mathcal{C} puis tracer \mathcal{C}' le cercle circonscrit au triangle ABC.

5. Les cercles \mathcal{C} et \mathcal{C}' se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés ?

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.




exercice 2

1. Dessiner un pavé droit en perspective cavalière.

2. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm.
    a) Calculer le volume, en cm3, de ce pavé droit.
    b) On rappelle qu'un litre correspond à 1 000 cm3. Combien de litres d'eau cet aquarium peut-il contenir ?
Aucune justification n'est demandée.

3. Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm3, d'une boule de diamètre 30 cm :
\dfrac{4}{3}\times \pi \times 30^3       4\pi \times 15^2       \dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3


4. Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de diamètre 30 cm.
On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l'eau monte-t-elle ? Donner une valeur approchée au millimètre.
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12 points

Problème

Une famille envisage d'installer une citerne de récupération d'eau de pluie. Pour pouvoir choisir une installation efficace, la famille commence par déterminer sa capacité à récupérer de l'eau de pluie. Elle estime ensuite ses besoins en eau avant de choisir une citerne.
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Partie 1 - La capacité à recueillir de l'eau de pluie

1. Dans cette partie il s'agit de calculer le volume d'eau de pluie que cette famille peut espérer recueillir chaque année. Dans la ville où réside cette famille, on a effectué pendant onze années un relevé des précipitations. Ces relevés sont donnés dans le tableau suivant.
Années19992000200120022003200420052006200720082009
Précipitations en litres par mètre carré (L/m2)1 087990868850690616512873810841867

    a) En quelle année y a-t-il eu le plus de précipitations ? Aucune justification n'est demandée.
    b) En 2009, combien de litres d'eau sont tombés sur une surface de 5 m2 ?

2. Sur les onze années présentées dans le tableau, quelle est la quantité moyenne d'eau tombée en une année ?

3. Calculer la surface au sol d'une maison ayant la forme d'un pavé droit (surmonté d'un toit) de 13,9 m de long, 10 m de large et 6 m de haut.
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4. Une partie de l'eau de pluie tombée sur le toit ne peut pas être récupérée. La famille utilise une formule pour calculer le volume d'eau qu'elle peut récupérer : V = P \times S \times 0,9.
   V : volume d'eau captée en litre,
   P : précipitations en litre par mètre carré,
   S : surface au sol en mètre carré.
Calculer ce volume en litres pour l'année 2009.
Montrer que 108 m3 en est une valeur approchée à 1 m3 près.

Partie II - Les besoins en eau

La famille est composée de quatre personnes.
La consommation moyenne d'eau par personne et par jour est estimée à 115 litres.

1. Chaque jour, l'eau utilisée pour les WC est en moyenne de 41 litres par personne. Calculer le pourcentage que cela représente par rapport à la consommation moyenne en eau par jour d'une personne.

2. On estime que 60% de l'eau consommée peut être remplacée par de l'eau de pluie. Montrer que les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de 365 jours sont d'environ 100 m3.

3. L'eau de pluie récupérée en 2009 aurait-elle pu suffire aux besoins en eau de pluie de la famille ?

Partie III - Le coût de l'eau

1. Le graphique donné en ANNEXE, représente le coût de l'eau en fonction de la quantité consommée.
    a) En utilisant ce graphique, déterminer une valeur approchée du prix payé pour 100 m3 d'eau.
Aucune justification n'est demandée.
    b) On note p(x) le prix en euros de la consommation pour x mètres cube d'eau. Proposer une expression de p(x) en fonction de x en expliquant la démarche.

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
    c) Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement. L'abonnement est de 50 euros par an. Représenter sur le même graphique donné en ANNEXE la fonction donnant le prix en euros, abonnement inclus, en fonction du volume d'eau consommé en mètres cube.

2. La famille espère économiser 250 euros par an grâce à la récupération de l'eau de pluie. Elle achète une citerne 910 euros. Au bout de combien d'années les économies réalisées pourront-elles compenser l'achat de la citerne ?

ANNEXE
à rendre avec la copie
Coût de l'eau
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Activités numériques

exercice 1

1. a) La fréquence d'apparition de la couleur jaune est : \dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5} = 0,2
1. b) La fréquence d'apparition de la couleur noire est : \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10} = 0,3

2. a) La probabilité d'obtenir la couleur jaune est égale à \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de possibilités}}} = \fbox{\dfrac{1}{6}}
2. b) La probabilité d'obtenir la couleur noire est égale à \dfrac{2}{6} = \fbox{\dfrac{1}{3}}

3. Les fréquences de la question 1 sont obtenues à partir de 100 lancers alors que les probabilités de la question 2 sont des fréquences théoriques : il faut lancer le dé un très grand nombre de fois pour obtenir des fréquences proches de la question 2.



exercice 2

Soit x le prix d'un triangle en verre, soit y le prix d'un triangle en métal.
Le bijou n°1 est composé de 4 triangles en verre et 4 triangles en métal. Il vaut 11 €. On a donc : 4 x + 4 y = 11
Le bijou n°2 est composé de 6 triangles en verre et 2 triangles en métal. Il vaut 9,10 €. On a donc : 6 x + 2 y = 9,10
D'où le système : \left \lbrace \begin{array}{l} 4 x + 4 y = 11 (1) \\  6x + 2 y = 9,10 (2) \end{array} \right.
Résolvons ce système par combinaisons :
* On multiplie les deux membres de la deuxième équation par -2, on obtient alors :
\left \lbrace \begin{array}{l} 4 x + 4 y = 11 \\  -12x - 4 y = -18,20 \end{array} \right.
En additionnant membre à membre, on obtient : - 8 x = - 7,20, donc x = \dfrac{- 7,20}{-8} = 0,90
* On multiplie les deux membres de la première équation par 3 et les deux membres de la deuxième équation par -2, on obtient alors :
\left \lbrace \begin{array}{l} 12 x + 12 y = 33 \\  -12x - 4 y = -18,20 \end{array} \right.
En additionnant membre à membre, on obtient : 8 y = 14,80 donc y = \dfrac{14,80}{8} = 1,85
D'où : un triangle en verre coûte 0,90 € et un triangle en métal coûte 1,85 €.
Le bijou n°3 est composé de 5 triangles en verre et de 3 triangles en métal. Il coûte donc :
5 × 0,90 + 3 × 1,85 = 4,50 + 5,55 = 10,05
Le bijou n°3 coûte 10,05 euros.

Autre méthode :
Le bijou n°1 est composé de 4 triangles en verre et 4 triangles en métal, le bijou n°2 est composé de 6 triangles en verre et 2 triangle en métal.
Le bijou n°3 est composé de 5 triangles en verre et de 3 triangles en métal.
On remarque alors que : pour créer le bijou n°1 et le bijou n°2, il faut 10 triangles en verre et 6 triangles en métal. C'est deux fois la composition du bijou n°3.
Le bijou n°3 vaut donc : \dfrac{11 + 9,10}{2} = \dfrac{20,10}{2} = 10,05 \text{ euros.}



exercice 3

1. Affirmation 1 : FAUSSE
car : Pour tout nombre a : (2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9

Affirmation 2 : FAUSSE
car : Soit x le prix initial de l'article.
Augmenter le prix de cet article de 20% revient à le multiplier par 1 + \dfrac{20}{100} = 1,2.
Le nouveau prix est donc : 1,2 x
Effectuer une remise de 20% sur ce nouveau prix revient à le multiplier par 1 - \dfrac{20}{100} = 0,8.
Le prix après remise est donc : 0,8 \times 1,2 x = 0,96 x (et non pas x !)

2. Egalité 1 : VRAIE
car :\dfrac{\sqrt{32}}{2} = \dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{2} = \dfrac{\sqrt{16} \times \sqrt{2}}{2} = \dfrac{4 \times \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}

Egalité 2 : FAUSSE
car : 10^5 + 10^{-5} = 100 \, 000 + 0,000 \, 01 = 100 \, 000,000 \, 01
On aurait pu écrire : 10^5 \times 10^{-5} = 10^0


Activités géométriques

exercice 1

1.

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2. a) On sait que le triangle ACB est un triangle rectangle et isocèle en B, donc \widehat{CBA} = 90° et \widehat{ACB} = \widehat{BAC}
La somme des angles du triangle ABC est égale à 180°, donc \widehat{BAC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180 - \widehat{CBA}}{2} = 45°.
L'angle \widehat{ACB} mesure 45°.

2. b) Les angles \widehat{ACB} et \widehat{DCE} sont opposés par le sommet.
Or, si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont de même mesure.
Donc \widehat{DCE} = \widehat{ACB} = 45°.

3. Dans le triangle DEC rectangle en E, on a :
\sin \widehat{DCE} = \dfrac{DE}{DC}, donc \sin 45° = \dfrac{DE}{6}.
Donc : DE = 6 \times \sin 45°
D'où : DE \approx 4,2 \text{ cm} (valeur approchée à 0,1 cm près).

4. DCE est un triangle rectangle en E.
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
Donc le centre du cercle circonscrit au triangle DCE est le milieu de l'hypoténuse [DC].

5. * Le point M appartient au cercle \mathcal{C} de diamètre [DC].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle DMC est rectangle en M, donc \widehat{DMC} = 90°.
* De même, le point M appartient au cercle \mathcal{C}^{\prime} de diamètre [AC].
Donc le triangle AMC est rectangle en M, donc \widehat{AMC} = 90°.
* \widehat{DMC} et \widehat{AMC} sont deux angles adjacents, donc
\widehat{DMA} = \widehat{DMC} + \widehat{CMA} = 90 + 90 = 180°
L'angle \widehat{DMA} est donc un angle plat, les points D, M et A sont alignés.



exercice 2

1.
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2. a) \mathcal{V} = L \times \ell \times h = 40 \times 20 \times 30 = 24 \, 000
Le volume du pavé droit est de 24 000 cm³.

2. b) 1 L = 1 000 cm³, donc 24 000 cm³ = 24 L.
L'aquarium peut contenir 24 litres.

3. Le volume d'un boule de diamètre 30 cm (donc de rayon 15 cm) est donnée par : \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 =  \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15^3

4. Les \dfrac{3}{4} du volume d'une boule de diamètre 30 cm correspondent à : \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15^3 = \pi \times 15^3.
On verse son contenu dans le premier aquarium. On cherche à quelle hauteur h l'eau monte :
L \times \ell \times h = 15^3 \times \pi \\ 40 \times 20 \times h = 15^3 \times \pi \\ 800 \times h = 15^3 \times \pi\\ h = \dfrac{15^3 \times \pi}{800} \\ h \approx 13,3
L'eau monte à environ 13,3 cm (valeur approchée au mm).


Problème

Partie I - La capacité à recueillir de l'eau de pluie

1. a) En 1999, il y a eu le plus de précipitations.

1. b) En 2009, il est tombé 867 L/m².
Sur une surface de 5 m², il est donc tombé : 867 × 5, soit 4 335 litres d'eau.

2. Quantité moyenne d'eau tombée en une année :
\dfrac{1087 + 990 + 868 + 850 + 690 + 616 + 512 + 873 + 810 + 841 + 867}{11} =  \dfrac{9004}{11} \approx 819
La quantité moyenne d'eau tombée en une année est d'environ 819 L/m².

3. la surface au sol est celle d'un rectangle de 13,9 m sur 10 m : 13,9 × 10 = 139
La surface au sol de la maison est de 139 m².

4. Pour l'année 2009 :
V = P \ties S \times 0,9 \\ V = 867 \times 139 \times 0,9 \\ V = 108 623,7\\ V \approx 108 m^3

Partie II - Les besoins en eau

1. \dfrac{41}{115} \times 100 \approx 36
L'eau utilisée pour les WC représente environ 36% de la consommation moyenne en eau par jour d'une personne.

2. Quantité d'eau pouvant être remplacée : \dfrac{60}{100} \times 115 = 69 litres par jour et par personne
Pour une famille de 4 personnes : 69 × 4 = 276 litres par jour.
Pour une famille pour un an : 276 × 365 = 100 740 L = 100 740 dm³ \approx 100 m³.
Les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de 365 jours sont d'environ 100 m³.

3. En 2009, l'eau de pluie récupérée était d'environ 108 m³, donc cela suffisait.

Partie III - Le coût de l'eau

1. a) Par lecture graphique (cf pointillés rouges), les 100 m3 d'eau coûtent 250 euros.

1. b) La droite représentative de la fonction p est une droite passant par l'origine du repère, donc la fonction p est une fonction linéaire de la forme p(x) = ax.
La droite passe par le point de coordonnées (100 ; 250), donc p(100) = a \times 100 = 250, donc a = \dfrac{250}{100} = 2,5
Donc : p(x) = 2,5 x

1. c) Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement de 50 euros, donc q(x) = 2,5 x + 50
q est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite.
Pour x = 20, q(20) = 2,5 \times 20 + 50 = 100
et pour x = 120, q(120) = 2,5 \times 120 + 50 = 350
La droite passe par les points de coordonnées (20 ; 100) et (120 ; 350).
(Représentation graphique en vert)
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2. On a \dfrac{910}{250} = 3,64, donc au bout de 4 ans, les économies réalisées pourront compenser l'achat de la citerne.






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