Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Polynésie Française - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1
Les calculatrices sont autorisées.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est interdit.
L'ensemble du sujet est à rendre avec la copie.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

12 points

Activités numériques

exercice 1

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées. Aucune justification n'est demandée.

L'inverse de 1 est :	-1	1	2
$\dfrac{2 + 3}{4 \times 7}$ s'écrit aussi :	$(2 + 3) \div (4 \times 7)$	$2 + 3 \div (4 \times 7)$	$2 + 3 \div 4 \times 7$
$2 + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$	$\dfrac{13}{6}$	$\dfrac{4}{12}$	$\dfrac{5}{7}$
Si $x = -4$ alors $x + 4 + (x + 4)(2x - 5)$ est égal à :	-4	-1	0

exercice 2

L'entreprise "Punu Pua Toro" vend des boîtes de corned-beef.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 1

Ces dernières sont de forme cylindrique de 12 cm de diamètre et de 5 cm de hauteur.
Elles sont rangées dans un carton de 84 cm de long, 60 cm de large et 5 cm de hauteur de façon à ce qu'elles se calent les unes contre les autres.

1. Combien de boîtes peut-on ranger au maximum dans un carton ?
2. Calcule le PGCD de 84 et 60.
3. L'entreprise peut-elle ranger dans ce carton des boîtes cylindriques de plus grand diamètre de façon à ce su'elles se calent les unes contre les autres ? Justifie ta réponse.

exercice 3

L'hôtel "Ia ora na" accueille 125 touristes :
55 néo-calédoniens dont 12 parlent également anglais.
45 américains parlant uniquement l'anglais.
Le reste étant des polynésiens dont 8 parlent également anglais.

Les néo-calédoniens et les polynésiens parlent tous le français.

1. Si je choisis un touriste pris au hasard dans l'hôtel, quelle est la probabilité des événements suivants :
    a) Evénement A : "Le touriste est un américain".
    b) Evénement B : "Le touriste est un polynésien ne parlant pas anglais"
    c) Evénement C : "Le touriste parle anglais"

2. Si j'aborde un touriste dans cet hôtel, ai-je plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais ou en français ? Justifie ta réponse. (Toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation).

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Teva vient de construire lui-même sa pirogue.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 2

1. Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ce-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I $\in$ [OK] et J $\in$ [OL].

La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants : OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2 m OL = 2,2 m
Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifie ta réponse.

2. Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient :
AB = 15 cm AC = 25 cm CB = 20 cm
Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifie ta réponse.

exercice 2

1. Trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8 cm.

2. Place un point M appartenant à $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{\text{BOM}} = 36°$ .

3. Calcule la mesure de l'angle inscrit $\widehat{\text{MAB}}$ qui intercepte le petit arc de cercle $\overset{\frown}{\text{MB}}$ .

4. A l'aide des données de l'énoncé, laquelle de ces propositions te permet de montrer que AMB est un triangle rectangle en M : (Recopie sur ta copie la bonne proposition)
Proposition 1 :
Si dans le triangle AMB on a AB² = AM² + BM² alors AMB est un triangle rectangle en M.

Proposition 2 :
Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont l'un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M.

Proposition 3 :
Si O est le milieu de [AB] alors AMB est un triangle rectangle d'hypoténuse [AB].

5. Calcule la longueur AM et arrondis le résultat au dixième.

6. Trace le symétrique N de M par rapport à [AB].

7. Place les points R et S de façon à ce que NMRAS soit un pentagone régulier.

12 points

Problème

PREMIERE PARTIE

Taraina dirige une école de danse pour adolescents. Elle a relevé dans un tableau l'âge de ses élèves ainsi que la fréquence des âges.

1. Complète sur cette feuille le tableau suivant :

Age des élèves	12	13	14	15	16	TOTAL
Nombre d'élèves	5	2	4	5	4
Fréquence en %			20	25	20	100

2. Complète le diagramme en barres des effectifs à l'aide du tableau précédent.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 3

3. Quelle est dans cette école la fréquence d'élèves ayant 14 ans ?

4. Quel est le nombre d'élèves âgés de 14 ans ou moins ?

5. Taraina a calculé que l'âge moyen de ses élèves est légèrement supérieur à 14 ans, or pour inscrire son groupe au Heiva dans la catégorie "Adolescents", l'âge moyen du groupe doit être inférieur ou égal à 14 ans.
Pour régler ce problème, elle a la possibilité d'accepter dans sa troupe de danse un nouvel élève, soit de 13 ans, soit de 15 ans.
a) Lequel va-t-elle choisir ? Pourquoi ?
b) Montre que l'âge moyen de se nouvelle troupe est maintenant de 14 ans.

DEUXIEME PARTIE

Taraina veut inscrire ses 21 élèves aux festivités du Heiva. Deux tarifs lui sont proposés :
Tarif Individuel : 500 F par danseur inscrit.
Tarif Groupe : Paiement d'un forfait de 4 000 F pour le groupe puis 300 F par danseur inscrit.

1. Complète le tableau suivant :

Nombre d'inscriptions	0	10	25
Prix au tarif individuel en F		5 000
Prix au tarif Groupe en F		7 000

2. Soit $x$ le nombre d'inscriptions.
Le prix $I(x)$ à payer si l'on choisit le tarif individuel en fonction de $x$ est $I(x) = 500 x$ .
Exprimer en fonction de $x$ , le prix $G(x)$ à payer si l'on choisit le tarif Groupe.

3. Dans le repère ci-dessous construire la représentation graphique des deux fonctions $x \mapsto 500 x$ et $x \mapsto 300 x + 4000$

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 4

4. Graphiquement, quel est le tarif le plus avantageux pour l'inscription des 21 élèves ?
Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique.

5. Pour quel nombre d'inscriptions paye-t-on le même prix quel que soit le tarif choisi ?
Justifie ta réponse par le calcul.

Correction

Activités numériques

exercice 1

L'inverse de 1 est $\dfrac{1}{1} = 1$

$\dfrac{2 + 3}{4 \times 7}$ s'écrit aussi $(2 + 3) \div (4 \times 7)$

$2 + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$ est égal à :
$2 + \dfrac{2 \times 1}{3 \times 2 \times 2} = 2 + \dfrac{1}{3 \times 2} = \dfrac{2 \times 6}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{12}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{13}{6}$

Si $x = - 4$ alors :
$x + 4 + (x + 4)(2x - 5) = - 4 + 4 + (-4 + 4)(2 \times (-4) - 5) = 0 + 0 \times (-8 - 5) = 0$

exercice 2

1. On a : 84 : 12 = 7 et 60 : 12 = 5
On peut donc ranger au maximum 7 ×: 5, soit 35 boîtes dans le carton.

2. Déterminons le PGCD de 84 et 60 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
84 = 60 × 1 + 24
60 = 24 × 2 + 12
24 = 12 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 12, donc PGCD(84 ; 60) = 12.

3. Le diamètre recherché est un diviseur commun à 84 et à 60.
On veut que les boîtes cylindriques aient le plus grand diamètre possible. Le diamètre est donc le PGCD de 80 et de 60, c'est-à-dire 12 cm.
L'entreprise ne peut donc pas ranger dans ce carton des boîtes cylindriques de plus grand diamètre.

exercice 3

1. a) Il y a 45 américains parmi les 125 touristes.
Donc : la probabilité que le touriste soit un américain est : $p(A) = \dfrac{45}{125} = \dfrac{9}{25}$

1. b) Il y a 125 - (55 + 45 + 8), soit 17 polynésiens ne parlant pas anglais parmi les 125 touristes.
Donc : la probabilité que le touriste soit un polynésien ne parlant pas anglais est : $p(B) = \dfrac{17}{125}$

1. c) Il y a 12 + 45 + 8, soit 65 touristes parlant anglais parmi les 125 touristes.
Donc : la probabilité que le touriste parle anglais est : $p(C) = \dfrac{65}{125} = \dfrac{13}{125}$

2. Il y a 125 - (55 + 45), soit 25 touristes polynésiens.
Il y a 55 + 25, soit 80 touristes parlant le français.
Or, on a vu que 65 touriste parlent anglais, donc si on aborde un touriste dans cet hôtel, on a plus de chance de se faire comprendre en français.

Activités géométriques

exercice 1

1. Les points O, I, K d'une part et O, J, L d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : $\dfrac{\text{OI}}{\text{OK}} = \dfrac{1,5}{2}$ et $\dfrac{\text{OJ}}{\text{OL}} = \dfrac{1,65}{2,2}$
Or, 1,5 × 2,2 = 3,3 et 2 × 1,65 = 3,3
Donc $\dfrac{\text{OI}}{\text{OK}} = \dfrac{\text{OJ}}{\text{OL}}$
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KL) et (IJ) sont parallèles.
Donc les deux bras sont parallèles.

2. Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [AC].
On a : AC² = 25² = 625
et : BC² + AB² = 20² + 15² = 625
Donc : AC² = BC² + AB²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
On peut donc affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier.

exercice 2

1. 2.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 5

3. L'angle inscrit $\widehat{\text{MAB}}$ et l'angle au centre $\widehat{\text{MOB}}$ interceptent le même arc de cercle $\overset{\frown}{\text{MB}}$ .
Or dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.
Donc : $\widehat{\text{MOB}} = 2 \times \widehat{\text{MAB}}$
D'où : $\widehat{\text{MAB}} = \dfrac{1}{2} \times \widehat{\text{MOB}} = \dfrac{1}{2} \times 36 = 18$
L'angle $\widehat{\text{MAB}}$ mesure 18°.

4. La seule proposition permettant de montrer que le triangle AMB est rectangle en M est la proposition n° 2 :
Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont l'un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M.

5. Dans le triangle AMB rectangle en M, on a :
$\cos widehat{\text{AMB}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}$
Donc : $\cos 18° = \dfrac{\text{AM}}{8}$
$\text{AM} = 8 \times \cos 18° \approx 7,6 \text{ cm}$ (arrondi au dixième)

6. 7. cf figure ci-dessus

Problème

PREMIERE PARTIE

1. Complétons le tableau suivant :

Age des élèves	12	13	14	15	16	TOTAL
Nombre d'élèves	5	2	4	5	4	20
Fréquence en %	$\dfrac{5}{20} \times 100 = 25$	$\dfrac{2}{20} \times 100 = 10$	20	25	20	100

2. Complétons le diagramme en barres des effectifs :

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 6

3. 20 % des élèves de cette classe ont 14 ans.

4. 5 + 2 + 4 = 11
11 élèves sont âgés de 14 ans ou moins.

5. a) Actuellement, l'âge moyen de ses élèves est légèrement supérieur à 14 ans. Pour faire baisser cet âge moyen, Taraina doit choisir un nouvel élève âgé de 13 ans.

5. b) Calculons l'âge moyen :
$\dfrac{5 \times 12 + 3 \times 13 + 4 \times 14 + 5 \times 15 + 4 \times 16}{21} = \dfrac{294}{21} = 14$

DEUXIEME PARTIE

1. Complétons le tableau suivant :

Nombre d'inscriptions	0	10	25
Prix au tarif individuel en F	0	5 000	25 × 500 = 12 500
Prix au tarif Groupe en F	4 000	7 000	4000 + 300 × 25 = 11 500

2. Soit $x$ le nombre d'inscriptions.
Le prix $G(x)$ à payer si l'on choisit le tarif Groupe est : $G(x) = 300 x + 4000$

3. $x \mapsto 500 x$ est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On a : 500 × 10 = 5 000
Donc : la droite passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (10 ; 5 000) [en bleu].

$x \mapsto 300 x + 4000$ est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite.
On a : 4 000 + 300 × 10 = 7 000 &nsbp; et 4000 + 300 × 25 = 11 500
La droite passe par les points de coordonnées (10 ; 7 000) et (25 ; 11 500) [en vert].

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2012 - troisième : image 7

4. Graphiquement (cf pointillés rouges), le tarif le plus avantageux pour l'inscription des 21 élèves est le tarif Groupe.

5. On cherche le nombre $x$ tel que les tarifs groupe et individuel soient égaux.
$500x = 300x + 4000 \\ 500x - 300x = 4000 \\ 200x = 4000 \\ x = \dfrac{4000}{200} \\ x = 20$
Pour 20 inscriptions, on paie le même prix quel que soit le tarif choisi.

Publié par Cel/Cel le 29-02-2020

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