Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Métropole - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 2
L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et présentation	4 points

12 points

Activités numériques

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée

exercice 1

Pour chacune des deux questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte.
Aucune justification n 'est attendue.

1. Alice participe à un jeu télévisé. Elle a devant elle trois portes fermées. Derrière l'une des portes, il y a une voiture ; derrière les autres, il n'y a rien.
Alice doit choisir l'une de ces portes. Si elle choisit la porte derrière laquelle il y a la voiture, elle gagne cette voiture.
Alice choisit au hasard une porte. Quelle est la probabilité qu'elle gagne la voiture ?

a) $\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{1}{3}$

c) $\dfrac{2}{3}$

d) On ne peut pas savoir

2. S'il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner, comment évolue la probabilité qu'a Alice de gagner la voiture ?

a) augmente

b) diminue

c) reste identique

d) On ne peut pas savoir

exercice 2

1. Quelle est l'écriture décimale du nombre $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$ ?

2. Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$ . Le résultat affiché est 1.
Antoine pense que ce résultat n'est pas exact. A-t-il raison ?

exercice 3

Lors d'un marathon, un coureur utilise sa montre-chronomètre. Après un kilomètre de course, elle lui indique qu'il court depuis quatre minutes et trente secondes.
La longueur officielle d'un marathon est de 42,195 km. Si le coureur garde cette allure tout au long de sa course, mettra-t-il moins de 3 h 30 pour effectuer le marathon ?

exercice 4

On cherche à résoudre l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$ .

1. Le nombre $\dfrac{3}{4}$ est-il solution de cette équation ? et le nombre 0 ?

2. Prouver que, pour tout nombre $x,\quad (4x - 3)^2 - 9 = 4x(4x - 6)$ .

3. Déterminer les solutions de l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$ .

12 points

Activités géométriques

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

exercice 1

Le dessin ci-dessous représente une figure composée d'un carré ABCD et d'un rectangle DEFG.
E est un point du segment [AD].
C est un point du segment [DG].
Dans cette figure la longueur AB peut varier mais on a toujours : AE = 15 cm et CG = 25 cm.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 1

1. Dans cette question on suppose que : AB = 40 cm
a) Calculer l'aire du carré ABCD.
b) Calculer l'aire du rectangle DEFG.

2. Peut-on trouver la longueur AB de sorte que l'aire du carré ABCD soit égale à l'aire du rectangle DEFG ?
Si oui, calculer AB. Si non, expliquer pourquoi.
Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

exercice 2

On considère un cône de révolution de hauteur 5 cm et dont la base a pour rayon 2 cm. Le point A est le sommet du cône et O le centre de sa base. B est le milieu de [AO].

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 2

1. Calculer le volume du cône en cm³. On arrondira à l'unité.
On rappelle que la formule est : $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$ où $h$ désigne la hauteur et $R$ le rayon de la base.

2. On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par B. On obtient ainsi un petit cône. Est-il vrai que le volume du petit cône obtenu est égal à la moitié du volume du cône initial ?

exercice 3

Des élèves participent à une course à pied. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis.
Il est représenté par la figure ci-dessous.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 3

On convient que :
    Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
    Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
    ABC est un triangle rectangle en A.

Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

12 points

Problème

Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Partie I

À partir du 2 Janvier 2012, une compagnie aérienne teste un nouveau vol entre Nantes et Toulouse.
Ce vol s'effectue chaque jour à bord d'un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers.

1. L'avion décolle chaque matin à 9 h 35 de Nantes et atterrit à 10 h 30 à Toulouse.
Calculer la durée du vol.

2. Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première semaine de mise en service. L'information concernant le mercredi a été perdue.

Jour	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Vendredi	Samedi	Dimanche	Total
Nombre de passagers	152	143		164	189	157	163	1113

    a) Combien de passagers ont emprunté ce vol le mercredi ?
    b) En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l'avion cette semaine là ?

3. À partir du mois de Février, on décide d'étudier la fréquentation de ce vol pendant douze semaines. La compagnie utilise une feuille de calcul indiquant le nombre de passagers par jour. Cette feuille de calcul est donnée en ANNEXE.
    a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule I2 pour obtenir le nombre total de passagers au cours de la semaine 1 ?
    b) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par jours au cours de la semaine 1 ?

4. Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à 166. La compagnie s'était fixé comme objectif d'avoir un nombre moyen de passagers supérieur aux 80% de la capacité maximale de l'avion.
L'objectif est-il atteint?

Partie II

Quand l'avion n'est plus très loin de l'aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l'avion. Le signal atteint l'avion et revient au radar 0,0003 secondes après son émission.

1. Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde, vérifier qu'à cet instant, l'avion se trouve à 45 kilomètres du radar de la tour de contrôle.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 4

2. La direction radar-avion fait un angle de 5° avec l'horizontale.
Calculer alors l'altitude de l'avion à cet instant. On arrondira à la centaine de mètres près.
On négligera la hauteur de la tour de contrôle.

Partie III

En phase d'atterrissage, à partir du moment où les roues touchent le sol, l'avion utilise ses freins jusqu'à l'arrêt complet. Le graphique en ANNEXE représente la distance parcourue par l'avion sur la piste (en mètres) en fonction du temps (en secondes) à partir du moment où les roues touchent le sol.
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quelle distance l'avion aura-t-il parcourue 10 s après avoir touché le sol?

2. Expliquer pourquoi au bout de 22 s et au bout de 26 s la distance parcourue depuis le début de l'atterrissage est la même.

3. À partir du moment où les roues touchent le sol, combien de temps met l'avion pour s'arrêter ? ANNEXE
Problème Partie I

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 5

Problème Partie III

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2012 - troisième : image 6

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. La probabilité qu'Alice gagne la voiture est de $\dfrac{1}{3}$ .
Réponse b)

2. S'il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner, la probabilité qu'a Alice de gagner la voiture diminue.
Réponse b)

exercice 2

1. $\dfrac{10^5 + 1}{10^5} = \dfrac{100\,000 + 1}{100\,000} = \dfrac{100\,001}{100\,000} = 1,000\,01$
L'écriture décimale du nombre $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$ est 1,000 01.

2. Le numérateur et le dénominateur étant différents, le quotient est différent de 1.
Antoine a donc raison.

exercice 3

Le coureur parcourt 1 km en 4 min 30 s, c'est-à-dire en 4,5 min.
Il parcourt 42,195 km en : $\dfrac{42,195 \times 4,5}{1} = 189,8775$ min.
Or, 3 h 30 min = 210 min et 210 > 189,8775 min.
Il mettra donc moins de 3 h 30 min pour effectuer le marathon.

exercice 4

1. Pour $x = \dfrac{3}{4}$ :
$(4x - 3)^2 - 9 = \left(4 \times \dfrac{4}{3} - 3 \right)^2 - 9 = 0^2 - 9 = - 9$
Or, $- 9 \neq 0$ , donc $\dfrac{3}{4}$ n'est pas solution de l'équation.

Pour $x = 0$ :
$(4x - 3)^2 - 9 = (4 \times 0 - 3)^2 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
Donc 0 est solution de l'équation.

2. Pour tout nombre $x$ ,
$(4x - 3)^2 - 9 = (4x - 3)^2 - 3^2 = [(4x - 3) + 3][(4x - 3) - 3] = 4x(4x - 6)$

3. $(4x - 3)2 - 9 = 0$ équivaut à : $4x(4x - 6)$ .
Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul, et réciproquement.
Donc :
$\begin{array}{lcl} 4 x = 0 & \hspace{5pt} \text{ ou } \hspace{5pt} & 4x - 6 = 0\\ x = 0 & & 4x = 6 \\ & & x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \end{array}$
Les solutions de l'équation sont 0 et $\dfrac{3}{2}$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. a) Aire du carré ABCD :
AB² = 40² = 1 600
L'aire du carré ABCD est de 1 600 cm².

1. b) Aire du rectangle DEFG :
Le point E appartient au segment [AD], donc : DE = AD - AE = 40 - 15 = 20 cm
Le point C appartient au segment [DG], donc : DG = DC + CG = 40 + 25 = 65 cm
L'aire du rectangle DEFG est donc égale à : DE × DG = 25 × 65 = 1 625 cm²sup2;.

2.Aire du carré ABCD en fonction de AB : AB²
Aire du rectangle DEFG en fonction de AB : (AB - 15)(AB + 25)
On cherche AB tel que :
AB² = (AB - 15)(AB + 25)
AB² = AB² + 25 AB - 15 AB - 375
375 = 10 AB
AB = 37,5 cm
L'aire du carré ABCD est égale à l'aire du rectangle DEFG pour AB = 37,5 cm.

exercice 2

1. $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times OA}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 5}{3} = \dfrac{20 \pi}{3}$
Le volume du cône est d'environ 21 cm³ (valeur arrondie à l'unité).

2. Le point B est le milieu du segment [OA], donc $AB = \dfrac{1}{2} \times AO$
Dans une réduction de coefficient $\dfrac{1}{2}$ , les volumes sont multipliés par $\left( \dfrac{1}{2} \right)^3$
Donc : Volume du petit cône = $\left( \dfrac{1}{2} \right)^3$ × Volume du grand cône = $\dfrac{1}{8}$ × Volume du grand cône
Le volume du petit cône obtenu n'est pas égal à la moitié du volume du cône initial.

exercice 3

Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 300² + 400² = 250 000
$\text{BC} = \sqrt{250 000} = 500$
La longueur BC est égale à 500 m.

Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{CB}{CD} = \dfrac{CA}{CE} = \dfrac{BA}{DE}$ , donc : $\dfrac{500}{CD} = \dfrac{400}{1000} = \dfrac{300}{DE}$
De $\dfrac{500}{CD} = \dfrac{400}{1000}$ on déduit : $CD = \dfrac{500 \times 1000}{400} = 1250$
La longueur CD est égale à 1 250 m.

De $\dfrac{500}{CD} = \dfrac{400}{1000} = \dfrac{300}{DE}$ , on déduit : $DE = \dfrac{1000 \times 300}{400} = 750$
La longueur DE est égale à 750 m.

Longueur du parcours :
AB + BC + CD + DE = 300 + 500 + 1 250 + 750 = 2 800
La longueur du parcours est de 2 800 mètres.

Problème

Partie I

1. 10 h 30 min - 9 h 35 min = 55 min
La durée du vol est de 55 minutes.

2. a) 1 113 - (152 + 143 + 164 + 189 + 157 + 163) = 1 113 - 968 = 145
145 passagers ont emprunté ce vol le mercredi.

2. b) $\dfrac{1113}{7} = 159$
En moyenne, il y avait 159 passagers par jour dans l'avion cette semaine là.

3. a) La formule saisie dans la cellule I2 pour obtenir le nombre total de passagers au cours de la semaine 1 est : $\boxed{=\text{SOMME(B2:H2)}}$

3. b) La formule saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par jour au cours de la semaine 1 est : $\boxed{=\text{I}2:7}$

4. La capacité maximale de l'avion est de 190 passagers.
Or, $\dfrac{80}{100} \times 190 = 152 < 166$ , l'objectif est donc atteint.

Partie II

1. Le signal est émis à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde.
$\dfrac{300 000}{0,0003}{1} = 90$
Le signal atteint l'avion et revient au radar : il a alors parcouru 90 km. L'avion est donc bien à 45 km du radar de la tour de contrôle.

2. Dans le triangle RAi rectangle en I, on a :
$\sin \widehat{R} = \dfrac{AI}{AR}$
Donc : $AI = AR \times \sin \widehat{R} = 45 \times \sin 5° \approx 3,922 \text{ km}$
L'avion est à 3,9 km (valeur arrondie à la centaine de mètres) d'altitude à cet instant.

Partie III

1. L'avion aura parcouru 450 mètres.

2. L'avion a atterri, il ne bouge plus. L'avion est à l'arrêt.

3. L'avion met 20 secondes pour s'arrêter.

Publié par Cel/Cel le 30-11--0001

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