Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Générale
Pondichéry - Session Avril 2013

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Durée de l'épreuve : 2 h00       Coefficient : 2
L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 199)
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Maîtrise de la langue : 4 points


5 points

exercice 1

Quatre affirmations sont données ci-dessous :

Affirmation 1 : \left(\sqrt{5} - 1 \right)\left(\sqrt{5} + 1\right) est un nombre entier.

Affirmation 2 : 4 n'admet que deux diviseurs.

Affirmation 3 : Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 17 faces.

Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2013 - troisième : image 1


Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.


8 points

exercice 2

Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d'une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux.
Le professeur donne un protocole expérimental à suivre:
    mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20° et 25°C ;
    arroser une fois par jour ;
    il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l'évaporation de l'eau.
Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination.

Taille en cm08121416171819202122
Effectif12242233442

1. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?

2. Donner l'étendue de cette série.

3. Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près.

4. Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.

5. On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm.
Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole ?

6. Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination.
Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas.


6 points

exercice 3

Le poids d'un corps sur un astre dépend de la masse et de l'accélération de la pesanteur.

On peut montrer que la relation est P = mg,
P est le poids (en Newton) d'un corps sur un astre (c'est-à-dire la force que l'astre exerce sur le corps),
m la masse (en kg) de ce corps,
g l'accélération de la pesanteur de cet astre.

1. Sur la terre, l'accélération de la pesanteur de la Terre g_{T} est environ de 9,8. Calculer le poids (en Newton) sur Terre d'un homme ayant une masse de 70 kg.

2. Sur la lune, la relation P = mg est toujours valable.
On donne le tableau ci-dessous de correspondance poids-masse sur la Lune :

Masse (ka)310254055
Poids (N)5,11742,56893,5

    a) Est-ce que le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité ?
    b) Calculer l'accélération de la pesanteur sur la lune noté g_{L}
    c) Est-il vrai que l'on pèse environ 6 fois moins lourd sur la lune que sur la Terre ?

3. Le dessin ci-dessous représente un cratère de la lune. BCD est un triangle rectangle en D.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2013 - troisième : image 2

    a) Calculer la profondeur BD du cratère. Arrondir au dixième de km près.
    b) On considère que la longueur CD représente 20% du diamètre du cratère.
Calculer la longueur AB du diamètre du cratère.


4 points

exercice 4

On donne la feuille de calcul ci-dessous.
 AB
 x2x^2 - 3x - 9
1- 2,511
2- 25
3- 1,50
4- 1- 4
5- 0,5- 7
60- 9
70,5- 10
81- 10
91,5- 9
102- 7
112,5- 4
1230
133,55
14411
154,518
16526
17  


La colonne B donne les valeurs de l'expression 2x^2 - 3x - 9 pour quelques valeurs de x de la colonne A.

1. Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B17 ?

2. À l'aide du tableur, trouver 2 solutions de l'équation : 2x^2 - 3x - 9 = 0.

3. L'unité de longueur est le cm.
Donner une valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle ci-dessous est égale à 5 cm2. Justifier.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2013 - troisième : image 3



7 points

exercice 5

Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm3.
Sa hauteur [SH] mesure 9 cm.

Le volume d'une pyramide est donné par la relation :
      \text{Volume d'une pyramide} = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}.

Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2013 - troisième : image 4


1. a) Vérifier que l'aire de ABCD est bien 36 cm2.
    b) En déduire la valeur de AB.
    c) Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à 12 + 6\sqrt{2} cm.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2013 - troisième : image 5

2. SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD.
On obtient alors la pyramide SMNOP telle que l'aire du carré MNOP soit égale à 4 cm2.
    a) Calculer le volume de la pyramide SMNOP.
Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
    b) Elise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.
Êtes-vous d'accord avec elle ?


6 points

exercice 6

Lancé le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargé d'analyser la planète Mars, appelée aussi planète rouge.
Il a atterri sur la planète rouge le 6 août 2012, parcourant ainsi une distance d'environ 560 millions de km en 255 jours.

1. Quelle a été la durée en heures du vol?

2. Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Arrondir à la centaine près.

Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation

3. Via le satellite Mars Odyssey, des images prises et envoyées par le Rover ont été retransmises au centre de la NASA.

Les premières images ont été émises de Mars à 7 h 48 min le 6 août 2012.

La distance parcourue par le signal a été de 248 \times 10^6 km à une vitesse moyenne de 300 000 km/s environ (vitesse de la lumière).
À quelle heure ces premières images sont-elles parvenues au centre de la NASA ?
(On donnera l'arrondi à la minute près).



exercice 1

Affirmation 1 :
\left( \sqrt{5} - 1 \right) \left( \sqrt{5} + 1 \right) = \left( \sqrt{5} \right)^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4
4 est bien un nombre entier, l'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2 :
Les diviseurs de 4 sont : 1, 2 et 4.
4 admet donc trois diviseurs, l'affirmation 2 est donc fausse.

Affirmation 3 :
Un cube a 6 faces, une pyramide à base carrée a 5 faces et un pavé droit a 6 faces.
Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent donc 17 faces (6 + 5 + 6 = 17). L'affirmation 3 est donc vraie.

Affirmation 4 :
Les points A, O, C d'une part et B, O, D d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{2,8}{5}       et       \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{2}{3,5}
Or, 2,8 \times 3,5 = 9,8       et       5 \times 2 = 10, donc \dfrac{OA}{OC} \neq \dfrac{OB}{OD}
Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, on aurait, d'après le théorème de Thalès, \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}, ce qui n'est pas le cas, donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
L'affirmation 4 est donc fausse.




exercice 2

1. 1 + 2 + 2 = 5
5 plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm.

2. 22 - 0 = 22
L'étendue de cette série est de 22 cm.

3. \dfrac{0 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 2 + 14 \times 4 + 16 \times 2 + 17 \times 2 + 18 \times 3 + 19 \times 3 + 20 \times 4 + 21 \times 4 + 22 \times 2}{1+2+2+4+2+2+3+3+4+4+2} = \dfrac{481}{29} \approx 16,6
La moyenne de cette série est d'environ 16,6 cm (valeur arrondie au dixième).

4. 29 = 14 + 1 + 14
La médiane est la 15e valeur, donc la médiane est 18 cm.
Ce qui signifie qu'au moins la moitié des plantules mesurent 18 cm et qu'au moins la moitié des plantules mesurent moins de 18 cm.

5. 24 élèves ont obtenu une plantule dont la taille est supérieure ou égale à 14 cm.
\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 100 = \dfrac{24}{29} \times 100 \approx 82,8
Donc 82,8% des élèves ont bien respecté le protocole.

6. Si on ajoute une valeur à cette série, elle sera alors composée de 30 valeurs au total.
La médiane sera alors entre la 15e et la 16e valeur.
Or, les 14e, 15e, 16e valeurs sont égales à 18 cm.
si la valeur ajoutée par le professeur est inférieure à 18 : les 15e et 16e valeurs sont toujours 18.
si la valeur ajoutée par le professeur est supérieure à 18 : les 15e et 16e valeurs sont toujours égales à 18.
si la valeur ajoutée par le professeur est 18 : les 15e et 16e valeurs sont toujours égales à 18.
La médiane ne changera donc pas.




exercice 3

1. P = 70 \times 9,8 = 686
le poids sur terre d'un homme ayant une masse de 70 kg est de 686 N.

2. a) On a : \dfrac{5,1}{3} = \dfrac{17}{10} = \dfrac{42,5}{25} = \dfrac{68}{40} = \dfrac{93,5}{55} = 1,7
Tous les quotients sont égaux, donc ce tableau est un tableau de proportionnalité.

2. b) on a : P = m g_L, donc le coefficient de proportionnalité est 1,7.
L'accélaration de la pesanteur sur la lune est gL = 1,7.

2. c) \dfrac{g_T}{g_L} = \dfrac{9,8}{1,7} \approx 5,8
On pèse donc environ 6 fois moins lourd sur la lune que sur la Terre.

3. a) Dans le triangle BCD rectangle en D, on a :
\tan \widehat{BCD} = \dfrac{BD}{CD}, donc \tan 4,3° = \dfrac{BD}{29}
D'où : BD = 29 \tan 23° \approx 2,18
la profondeur BD du cratère est d'environ 2,2 km (valeur arrondie au dixième de km).

3. b) On sait que CD représenté 20% du diamètre du cratère, donc : CD = \dfrac{20}{100} \times AB
29 = 0,2 \times AB\\ AB = \dfrac{29}{0,2} = 145
Le cratère a pour diamètre 145 km.




exercice 4

1. Pour x = 6,
2x^2 - 3x - 9 = 2 \times 6^2 - 3 \times 6 - 9 = 72 - 18 - 9 = 45
Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, on obtient 45 dans la cellule B17.

2. A l'aide du tableur, deux solutions de l'équation 2x^2 - 3x - 9 = 0 sont -1,5 et 3.

3. L'aire du rectangle est :
AB \times AD = (2x + 3)(x - 3) = 2x \times x + 2x \times (-3) + 3 \times x + 3 \times (-3) = 2x^2 - 6x + 3x - 9 = 2x^2 - 3x - 9.
D'après le tableur, l'équation 2x^2 - 3x - 9 = 5 admet pour solutions -2 et 3,5.
Or, x - 3 représente une longueur, donc x doit être supérieure à 3. La seule solution possible est donc 3,5.
Pour x = 3,5, l'aire du rectangle est égale à 5 cm².




exercice 5

1. a) On sait que le volume de la pyramide est de 108 cm³, donc :
\dfrac{\text{aire de la base} \times 9}{3} = 108\\ \text{aire de la base} \times 9 = 108 \times 3 \\ \text{aire de la base} = \dfrac{108 \times 3}{9} \\ \text{aire de la base} = 36
L'aire de ABCD est de 36 cm².

1. b) L'aire du carré ABCD est donné par : AB².
Donc : AB² = 36, soit AB = 6 cm

1. c) Déterminons AC : dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
AC^2 = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 = 6^2 + 6^2 \\ AC^2 = 72 \\ AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

Périmètre du triangle ABC :
AB + BC + AC = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}
Le périmètre du triangle ABC est égal à 12 + 6\sqrt{2} cm.

2. a) SMNOP est une réduction de SABCD. L'aire du carré MNOP est égale à 4 cm². On a alors la relation (k est le coefficient de réduction) :
{\cal{A}}_{\text{MNOP}} = k^2 {\cal{A}}_{\text{ABCD}} \\ 4 = k^2 \times 36 \\ k^2 = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\\ k = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}

Volume de la pyramide SMNOP :
{\cal{V}}_{SMNOP} = k^3 \times {\cal{V}}_{SABCD} \\ {\cal{V}}_{SMNOP} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 \times 108 \\ {\cal{V}}_{SMNOP} = 4
Le volume de la pyramide SMNOP est de 4 cm³.

2. b) le triangle MNO est une réduction du triangle ABC, donc :
{\cal{P}}_{MNO} = k \times {\cal{P}}_{ABC} = \dfrac{1}{3} \times  {\cal{P}}_{ABC}}
Elise a donc raison, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3 pour obtenir le périmètre de MNO.




exercice 6

1. La durée du vol est de 255 jours.
255 × 24 = 6120
le vol a duré 6 120 heures.

2. v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{560 000 000}{6 120} \approx 91 500
la vitesse moyenne du Rover est d'environ 91 500 km/h (valeur arrondie à la centaine).

3. v = \dfrac{d}{t}, donc :
t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{248 \times 10^6}{300 000} \approx 826,6667
826,6667 \text{ s} = \dfrac{826,667}{60} \approx 13,77
Les premières images sont parvenues au centre de la NASA environ 14 minutes plus tard, soit à :
7 h 48 min + 14 min = 7 h 62 min = 8 h 02 min
les premières images sont parvenues à environ 8 h 02 min au centre de la NASA.
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