logo

Fiche de mathématiques




Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
Les calculatrices sont autorisées.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est interdit.
L'ensemble du sujet est à rendre avec la copie.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points


4 points

exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, écris sur ta copie (sans justification) le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse.
 QuestionRéponse ARéponse BRéponse C
1\dfrac{15 - 9 \times  10^{-3}}{5 \times  10^2} = ?14,8229,982 \times 10^{-3}1,2 \times  10^{-5}
2Combien faut-il de temps pour parcourir 800 m à la vitesse moyenne de 40 km/h ?1 min 12 s1 min 20 s1 min 2 s
3Si on triple l'arête d'un cube alors par combien est multiplié le volume du cube ?3927
4Quelle est l'expression factorisée de 25x^2 - 16 ?(5x - 4)^2(5x - 8)(5x + 8)(5x + 4) (5x - 4)



4 points

exercice 2

1. Calcule PGCD(405 ; 315). Précise la méthode utilisée et indique les calculs.

2. Dans les bassins d'eau de mer filtrée d'une ferme aquacole de bénitiers destinés à l'aquariophilie, on compte 9 bacs contenant chacun 35 bénitiers de 12,5 cm et 15 bacs contenant chacun 27 bénitiers de 17,5 cm.
L'exploitant souhaite répartir la totalité des bénitiers en des lots de même composition :
Par lot, même nombre de bénitiers de 12,5 cm et même nombre de bénitiers de 17,5 cm.
    a) Quel est le plus grand nombre de lots qu'il pourra réaliser ? Justifie ta réponse.
    b) Quelle sera la composition de chaque lot ?


4 points

exercice 3

Dans l'Océan Pacifique Nord, des déchets plastiques qui flottent se sont accumulés pour constituer une poubelle géante qui est, aujourd'hui, grande comme 6 fois la France.

1. Sachant que la superficie de la France est environ 550 000 km2, quelle est la superficie actuelle de cette poubelle géante ?

2. Sachant que la superficie de cette poubelle géante augmente chaque année de 10 %, quelle sera sa superficie dans un an ?

3. Que penses-tu de l'affirmation «dans 4 ans, la superficie de cette poubelle aura doublé» ? Justifie ta réponse.


4 points

exercice 4

1. Construis un triangle ABC rectangle en C tel que AB = 10 cm et AC = 8 cm.

2. Calcule la longueur BC (en justifiant précisément).

3. a) Place le point M de l'hypoténuse [AB] tel que AM = 2 cm.
    b) Trace la perpendiculaire à [AC] passant par M. Elle coupe [AC] en E.
    c) Trace la perpendiculaire à [BC] passant par M. Elle coupe [BC] en F.
    d) À l'aide des données de l'exercice, recopie sur ta copie la proposition que l'on peut directement utiliser pour prouver que le quadrilatère MFCE est un rectangle.

Proposition 1 : Si un quadrilatère a 4 angles droits alors c'est un rectangle.
Proposition 2 : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur.
Proposition 3 : Si un quadrilatère a 3 angles droits alors c'est un rectangle.


4 points

exercice 5

Pour cet exercice, on utilise uniquement la courbe donnée ci-dessous qui représente une fonction f.

En laissant apparaître les tracés utiles sur le graphique ci-dessous :
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 4


1. Donne une valeur approchée de f(2).

2. Donne l'(ou les) antécédent(s) de 5 par la fonction f.

3. Place, sur la courbe de la fonction f un point S qui te semble avoir la plus petite ordonnée.

4. Par lecture graphique, donne des valeurs approchées des coordonnées de ton point S.


4,5 points

exercice 6

Sur un parking, une commune veut regrouper 6 conteneurs à déchets du même modèle A ou B. Les deux modèles sont fabriqués dans le même matériau qui a partout la même épaisseur.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 5

   * le conteneur A est un pavé droit à base carrée de côté 1 m, et de hauteur 2 m
   * le conteneur B est constitué de deux demi-sphères de rayon 0,58 m et d'un cylindre de même rayon et de hauteur 1,15 m

1. a) Vérifie que les 2 conteneurs ont pratiquement le même volume.
    b) Quels peuvent être les avantages du conteneur A ?

2. On souhaite savoir quel est le conteneur le plus économique à fabriquer.
    a) Calcule l'aire totale des 6 faces du conteneur A.
    b) Vérifie que, pour le conteneur B, l'aire totale, arrondie à 0,1 m2 près, est 8,4 m2.
    c) Quel est le conteneur le plus économique à fabriquer ? Justifie ta réponse.

Formulaire :
b = base ; c = côté ; L = longueur ; l = largeur ; h = hauteur ; r = rayon
* Aire d'un rectangle : L \times l
* Aire d'un carré : c \times c
* Aire d'un triangle : \dfrac{b x h}{2}
* Aire d'un disque : \pi r^2
* Aire latérale d'un cylindre : 2\pi r h
* Aire d'une sphère : 4\pi r^2
* Volume d'un pavé droit : L \times l \times h
* Volume d'un cylindre : \pi r^2 \times h
* Volume d'une sphère : \dfrac{4}{3}\pi r^3




5 points

exercice 7

Document 1 : Extrait de la liste alphabétique des élèves de la 3\up{e} 4 et d'informations relevées en E. P. S. pour préparer des épreuves d'athlétisme.
PrénomsDate de naissanceAnnéeTaille en mNombre de pas réalisés sur 100 m
Lahaina26-oct.19971,81110
Manuarii20-mai19971,62123
Maro-Tea5-nov.19981,56128
Mehiti5-juin19971,60125
Moana10-déc.19971,80111
Rahina14-mai19971,53130


Document 2 : Dans le croquis ci-dessous, le tiki représente Moana, élève de 3e4.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 6
Moana a d'abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s'est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la 7ème noix de coco.
À l'aide d'informations qui proviennent des documents précédents, calcule la hauteur du cocotier en expliquant clairement ta démarche.
Dans cet exercice, tout essai, toute idée exposée et toute démarche, même non aboutis ou mal formulés seront pris en compte pour l'évaluation.


7 points

exercice 8

Soit l'expérience aléatoire suivante :
* tirer au hasard une boule noire, noter son numéro ;
* tirer au hasard une boule blanche, noter son numéro;
* puis calculer la somme des 2 numéros tirés.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 7


1. On a simulé l'expérience avec un tableur, en utilisant la fonction ALEA() pour obtenir les numéros des boules tirées au hasard.
Voici les résultats des premières expériences :
 ABCD
1ExpérienceNuméro de la boule noireNuméro de la boule blancheSomme
2n°1426
3n°2123
4n°3235
5n°4336
6n°5358
7n°6437

    a) Décris l'expérience n°3.
    b) Parmi les 4 formules suivantes, recopie sur ta feuille celle qui est écrite dans la case D5 :
2\star\text{A}4           =\text{B}4+\text{C}4           =\text{B}5+\text{C}5           =\text{SOMME}(\text{D}5)
    c) Peut-on obtenir la somme 2 ? Justifie.
    d) Quels sont les tirages possibles qui permettent d'obtenir la somme 4 ?
Quelle est la plus grande somme possible ?

2. Sur une seconde feuille de calcul, on a copié les résultats obtenus avec 50 expériences, avec 1 000 expériences, avec 5 000 expériences et on a calculé les fréquences des différentes sommes.
 ABCDEFGHI
1Somme3456789effectif total
2effectif5109888250
3fréquence0,10,20,180,160,160,16  
4 
5Somme3456789effectif total
6effectif7916116726116672941 000
7fréquence0,0790,1610,1670,2610,1660,0720,094 
8 
9Somme3456789total
10effectif4058448511 2218714103985 000
11fréquence0,0810,16880,17020,24420,17420,0820,0796 

    a) Quelle est la fréquence de la somme 9 au cours des 50 premières expériences ? Justifie.
    b) Quelle formule a-t-on écrite dans la case B7 pour obtenir la fréquence de la somme 3 ?
    c) Donne une estimation de la probabilité d'obtenir la somme 3.







exercice 1

(Aucune justification n'est demandée, elle est donnée à titre indicatif).
n°1 Réponse B
car : \dfrac{15 - 9 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2} = \dfrac{15 - 0,009}{500} = \dfrac{14,991}{500} = 0,029 982 = 29,982 \times 10^{-3}

n°2 Réponse A
car : 800 m = 0,8 m
v = \dfrac{d}{t} donc t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0,8}{40} = 0,02 \text{ h}
Or, 0,02 h = 0,02 × 60 min = 1,2 min = 1 min + 0,2 min = 1 min + 0,2 ×, 60 s = 1 min 12 s

n°3 Réponse C
car : Si on triple l'arête d'un cube alors le volume du cube est multiplié par 3³ = 27.

n°4 Réponse C
car : 25 x^2 - 16 = (5 x)^2 - 4^2 = (5 x - 4)(5 x + 4)



exercice 2

1. Calculons PGCD(405 ; 315) à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
      405 = 315 × 1 + 90
      315 = 90 × 3 + 45
      90 = 45 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 45, donc PGCD(405 ; 315) = 45.

2. a) Nombre de bénitiers de 12,5 cm : 9 × 35 = 315
Nombre de bénitiers de 17,5 cm : 15 × 27 = 405
Le nombre de lots doit diviser le nombre de bénitiers de 12,5 cm (315) et le nombre de bénitiers de 17,25 cm (405).
L'exploitant veut le plus grand nombre de lots. C'est donc le PGCD de 315 et 405.
L'exploitant pourra donc réaliser au maximum 45 lots.

2. b) On a : 315 : 45 = 7     et     405 : 45 = 9.
Chaque lot sera composé de 7 bénitiers de 12,5 cm et 9 bénitiers de 17,5 cm.



exercice 3

1. 550 000 × 6 = 3 300 000
La superficie actuelle de la poubelle géante est de 3 300 000 km².

2. Augmenter un nombre de 10% revient à le multiplier par 1 + \dfrac{10}{100} = 1,1
3 300 000 × 1,1 = 3 630 000
Sa superficie dans un an sera de 3 630 000 km².

3. Superficie actuelle de la poubelle géante : 3 300 000 km²
Dans un an : 3 630 000 km²
Dans 2 ans : 3 630 000 × 1,1 = 3 993 000 km²
Dans 3 ans : 3 993 000 × 1,1 = 4 831 530 km²
dans 4 ans : 4 392 300 × 1,1 = 4 831 530 km²
dans 4 ans, la superficie de la poubelle sera de 4 831 530 km².
Or, 3 300 000 × 2 = 6 600 000 > 4 831 530.
Donc : dans 4 ans, la superficie de cette poubelle n'aura pas doublé. L'affirmation est fausse.

ou : Dans 4 ans, la superficie aura été multipliée par : \left( 1 + \dfrac{1}{100} \right)^4 = 1,4641
Or, 1,4641 < 2, donc dans 4 ans, la superficie de cette poubelle n'aura pas double. L'affirmation est fausse.



exercice 4

1. Programme de construction :
* Tracer un segment [AC] de longueur 8 cm.
* Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par C.
* Trac er un arc de cercle de centre A et de rayon 10 cm.
* Appeler B un point d'intersection de la perpendiculaire et de l'arc de cercle.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 1

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC², donc :
BC² = AB² - AC²;
BC² = 10² - 8²
BC² = 100 - 64
BC² = 36
BC = \sqrt{36}
BC = 6 cm
La longueur BC est égale à 6 cm.

3. a) b) c) cf figure

3. d) On sait que le quadrilatère MFCE a trois angles droits.
La proposition est donc la n°3 : si un quadrilatère a 2 angles droits, alors c'est un rectangle.



exercice 5

1. f(2) = 6,5 (cf pointillés bleu)
2. Les antécédents de 5 par la fonction f sont : 5 et 7,75. (cf pointillés rouge)
3. cf courbe
4. Le point S a pour coordonnées (6,5 ; 4,75). (cf pointillés vert)
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 2




exercice 6

1. a) Volume du conteneur A :
L \times \ell \times h = 1 \times 1 \times 2 = 2
Le volume du conteneur A est de 2 m³.

Volume du conteneur B :
Volume des deux demi-boules + volume du cylindre
= \dfrac{4}{3} \pi R^3 + \pi R^2 \times h = \dfrac{4}{3} \pi \times 0,58^3 + \pi \times 0,58^2 \times 1,15 \approx 2,03
Le volume du conteneur B est d'environ 2,03 m³.

Donc : les deux conteneurs ont pratiquement le même volume.

1. b) Le conteneur A est un pavé droit, il sera plus facile à poser sur le sol et à entreposer.

2. a) Aire totale des six faces du conteneur A :
2 × (1 × 1) + 4 × (1 × 2) = 2 + 8 = 10
L'aire totale des six faces du conteneur A est de 10 m².

2. b) Aire totale du conteneur B :
Aire de deux demi-sphères + Aire latérale du cylindre
= 4 \pi R^2 + 2 \pi R h \\ = 4 \pi \times 0,58^2 + 2 \times \pi \times 0,58 \times 1,15 \\ \approx 8,4
L'aire totale, arrondie à 0,1 m² près, du conteneur B est 8,4 m².

2. c) 10 > 8,4, donc le conteneur le plus économique à fabriquer est le conteneur B.



exercice 7

Longueur d'un pas : sur 100 m, Moana réalise 111 pas.
100 : 111 \approx 0,9 m

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2013 - troisième : image 8

Les droites (DE) et (CB) sont sécantes en A. Les droites (DC) et (BE) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a : \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{EB}{DC}
donc : \dfrac{2,7}{9} = \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{1,8}{DC}
De \dfrac{2,7}{9} = \dfrac{1,8}{DC} on déduit DC = \dfrac{9 \times 1,8}{2,7} = 6
La hauteur du cocotier est de 6 m.



exercice 8

1. a) Expérience n° 3 : on tire une boule noire n° 2 puis on tire la boule blanche n° 3.
La somme obtenue est 2 + 3 = 5.

1. b) La formule écrite dans la case D5 est \boxed{=\text{B}5+\text{C}5}

1. c) La boule noire portant le plus petit numéro est la boule n° 1. La boule blanche portant le plus petit numéro est la boule n° 2. La somme minimale que l'on peut obtenir est donc : 1 + 2, soit 3.
On ne peut donc pas obtenir la somme 2.

1. d) * Les tirages possibles qui permettent d'obtenir la somme 4 sont :
\bullet boule noire n° 1 et boule blanche n° 3
\bullet boule noire n° 2 et boule blanche n° 2
* La boule noire portant le plus grand numéro est la boule n° 4. La boule blanche portant le plus grand numéro est la boule n° 5. La plus grande somme possible est donc 4 + 5, soit 9.

2. a) \dfrac{2}{50} = 0,04
La fréquence de la somme 9 est 0,04.

2. b) La formule écrite dans la case B7 est \boxed{=\text{B}6:\$\text{I}\$6}

2. c) La probabilité d'obtenir la somme 3 est environ 0,08.






brevet de maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014