Fiche de mathématiques

Interrogation de type Brevet

- Activités numériques - (12 points)

1. On donne C = $\sqrt{2} \sqrt{48} - 3\sqrt{54} + 5\sqrt{6}$
Montrer que C est un entier

2. x désignant un nombre réel, on considère : f(x) = 4x² - 9 - (2x + 3)(3x - 4)
  a) Montrer que f(x) = (2x + 3)(1 - x)
  b) Calculer f(1); $f\left(-\frac32\right)$ ; f(0).
Ecrire $f\left(\frac38\right)$ sous la forme d'une fraction irréductible.

3. J'ai cueilli 84 trèfles, certains ont 3 feuilles, les autres 4 feuilles. On compte en tout 258 feuilles.
  a) x désignant le nombre de trèfles à 3 feuilles et y celui des trèfles à quatre feuilles, poser en expliquant un système vérifié par x et y.
  b) Résoudre ce système et en déduire le nombre de trèfles à quatre feuilles.

- Activités géométriques - (12 points)

L'unité de longueur est le cm.
ABC est un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 10 cm. La hauteur issue de A relative au côté [BC] coupe la droite (BC) en I.
1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
2. Montrer que I est le milieu du segment [BC]. Calculer AI.
3. Soit H le symétrique de I par rapport à O milieu du segment [AC]. Placer O et H sur la figure.
Montrer que le quadrilatère AHCI est un rectangle. Calculer HC.
4. Montrer que les droites (OI) et (AB) sont parallèles.
5. Calculer BH sachant que HC = 5 $\sqrt{3}$

- Problème - (12 points)

Les parties I et II sont indépendantes.
L'unité de longueur est le cm. Voir la figure ci-jointe.
ABC est un triangle rectangle en A. AB = 6 et AC = 12.
E est un point du segment [AB] distinct de A et de B.
On pose EB = x.
La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.
La parallèle à la droite (AB) passant par F coupe la droite (AC) en G.
Le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle (on l'admettra).

un sujet de brevet des collèges - troisième : image 1

- Partie I -
1. Justifier les égalités $\frac{\text{BE}}{\text{BA}} = \frac{\text{BF}}{\text{BC}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \frac{\text{AG}}{\text{AC}} = \frac{\text{BF}}{\text{BC}}$ .
Comparer les quotients $\frac{\text{BE}}{\text{BA}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \frac{\text{AG}}{\text{AC}}$ .
2. Sachant que $\frac{x}{6} = \frac{\text{AG}}{12}$ , calculer AG en fonction de x.
3. Calculer AE en fonction de x.
Calculer l'aire A du rectangle AEFG en fonction de x.

- Partie II -
Voir la représentation graphique ci-jointe (Repère (O; I, J)).
Un point de cette courbe a pour abscisse x et pour ordonnée l'aire A correspondante.
En utilisant cette représentation graphique, répondre aux questions suivantes :
1. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles A est égale à 10 ?
2. Quelle est la plus grande valeur de A ? Quelle est la valeur de x correspondante ?
Où se trouve alors le point E du segment [AB] ?