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Fiche de mathématiques





Activités numériques (12 points)

1. On donne C = \sqrt{2} \sqrt{48} - 3\sqrt{54} + 5\sqrt{6}
Montrer que C est un entier

2. x désignant un nombre réel, on considère : f(x) = 4x² - 9 - (2x + 3)(3x - 4)
    a) Montrer que f(x) = (2x + 3)(1 - x)
    b) Calculer f(1); f\left(-\dfrac{3}{2}\right); f(0).
Écrire f\left(\dfrac{3}{8}\right) sous la forme d'une fraction irréductible.

3. J'ai cueilli 84 trèfles, certains ont 3 feuilles, les autres 4 feuilles. On compte en tout 258 feuilles.
    a) x désignant le nombre de trèfles à 3 feuilles et y celui des trèfles à quatre feuilles, poser en expliquant un système vérifié par x et y.
    b) Résoudre ce système et en déduire le nombre de trèfles à quatre feuilles.


Activités géométriques (12 points)

L'unité de longueur est le cm.
ABC est un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 10 cm. La hauteur issue de A relative au côté [BC] coupe la droite (BC) en I.
1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que I est le milieu du segment [BC]. Calculer AI.

3. Soit H le symétrique de I par rapport à O milieu du segment [AC]. Placer O et H sur la figure.
Montrer que le quadrilatère AHCI est un rectangle. Calculer HC.

4. Montrer que les droites (OI) et (AB) sont parallèles.

5. Calculer BH sachant que HC = 5\sqrt{3}


Problème (12 points)

Les parties I et II sont indépendantes.
L'unité de longueur est le cm. Voir la figure ci-jointe.
ABC est un triangle rectangle en A. AB = 6 et AC = 12.
E est un point du segment [AB] distinct de A et de B.
On pose EB = x.
La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.
La parallèle à la droite (AB) passant par F coupe la droite (AC) en G.
Le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle (on l'admettra).

un sujet de brevet des collèges - troisième : image 1


Partie I

1. Justifier les égalités \dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}.
Comparer les quotients \dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}}.

2. Sachant que \dfrac{x}{6} = \dfrac{\text{AG}}{12}, calculer AG en fonction de x.

3. Calculer AE en fonction de x.
Calculer l'aire A du rectangle AEFG en fonction de x.

Partie II

Voir la représentation graphique ci-jointe (Repère (O; I, J)).
Un point de cette courbe a pour abscisse x et pour ordonnée l'aire A correspondante.
En utilisant cette représentation graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles A est égale à 10 ?

2. Quelle est la plus grande valeur de A ? Quelle est la valeur de x correspondante ?
Où se trouve alors le point E du segment [AB] ?
un sujet de brevet des collèges - troisième : image 2










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