Fiche de mathématiques
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Interrogation de type Brevet

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Activités numériques (12 points)

1. On donne C = \sqrt{2} \sqrt{48} - 3\sqrt{54} + 5\sqrt{6}
Montrer que C est un entier

2. x désignant un nombre réel, on considère : f(x) = 4x² - 9 - (2x + 3)(3x - 4)
    a) Montrer que f(x) = (2x + 3)(1 - x)
    b) Calculer f(1); f\left(-\dfrac{3}{2}\right); f(0).
Écrire f\left(\dfrac{3}{8}\right) sous la forme d'une fraction irréductible.

3. J'ai cueilli 84 trèfles, certains ont 3 feuilles, les autres 4 feuilles. On compte en tout 258 feuilles.
    a) x désignant le nombre de trèfles à 3 feuilles et y celui des trèfles à quatre feuilles, poser en expliquant un système vérifié par x et y.
    b) Résoudre ce système et en déduire le nombre de trèfles à quatre feuilles.


Activités géométriques (12 points)

L'unité de longueur est le cm.
ABC est un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 10 cm. La hauteur issue de A relative au côté [BC] coupe la droite (BC) en I.
1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que I est le milieu du segment [BC]. Calculer AI.

3. Soit H le symétrique de I par rapport à O milieu du segment [AC]. Placer O et H sur la figure.
Montrer que le quadrilatère AHCI est un rectangle. Calculer HC.

4. Montrer que les droites (OI) et (AB) sont parallèles.

5. Calculer BH sachant que HC = 5\sqrt{3}


Problème (12 points)

Les parties I et II sont indépendantes.
L'unité de longueur est le cm. Voir la figure ci-jointe.
ABC est un triangle rectangle en A. AB = 6 et AC = 12.
E est un point du segment [AB] distinct de A et de B.
On pose EB = x.
La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.
La parallèle à la droite (AB) passant par F coupe la droite (AC) en G.
Le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle (on l'admettra).

un sujet de brevet des collèges - troisième : image 1


Partie I

1. Justifier les égalités \dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}.
Comparer les quotients \dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}}.

2. Sachant que \dfrac{x}{6} = \dfrac{\text{AG}}{12}, calculer AG en fonction de x.

3. Calculer AE en fonction de x.
Calculer l'aire A du rectangle AEFG en fonction de x.

Partie II

Voir la représentation graphique ci-jointe (Repère (O; I, J)).
Un point de cette courbe a pour abscisse x et pour ordonnée l'aire A correspondante.
En utilisant cette représentation graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles A est égale à 10 ?

2. Quelle est la plus grande valeur de A ? Quelle est la valeur de x correspondante ?
Où se trouve alors le point E du segment [AB] ?
un sujet de brevet des collèges - troisième : image 2




Activités numériques

1. Montrons que C est un entier :
C = \sqrt{2} \sqrt{48} - 3\sqrt{54} + 5\sqrt{6}\\ C = \sqrt{2} \times \sqrt{6 \times 8} - 3\sqrt{9 \times 6} + 5\sqrt{6}\\ C = \sqrt{2 \times 6 \times 8} - 3 \times 3\sqrt{6} + 5\sqrt{6}\\ C = \sqrt{16 \times 6} - 9\sqrt{6} + 5\sqrt{6}\\ C = 4\sqrt{6} - 9\sqrt{6} + 5\sqrt{6}\\ C = 0

2. a) Montrons que f(x) = (2x + 3)(1 - x) :
Pour cela, factorisons l'expression f(x) :
f(x) = 4x² - 9 - (2x + 3)(3x - 4)
f(x) = (2x)² - 3² - (2x + 3)(3x - 4)
On reconnaît tout d'abord l'identité remarquable de la forme a² - b² = (a - b)(a + b)
f(x) = (2x - 3)(2x + 3) - (2x + 3)(3x - 4)
f(x) = (2x + 3)[(2x - 3) - (3x - 4)]
f(x) = (2x + 3)(2x - 3 - 3x + 4)
f(x) = (2x + 3)(1 - x)

2. b) Calcul de valeurs particulières de f :
On a vu que f(x) = (2x + 3)(1 - x), donc :
f(1) = (2 × 1 + 3)(1 - 1) = 0

f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = \left(2 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) + 3\right)\left(1 - \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)\\ \hspace{30pt} = (-3 + 3)\left(1 - \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right) = 0

f(0) = (2 × 0 + 3)(1 - 0) = 3

f\left(\dfrac{3}{8}\right) = \left(2 \times \dfrac{3}{8} + 3\right)\left(1 - \dfrac{3}{8}\right)\\ \hspace{30pt} = \left(\dfrac{6}{8} + \dfrac{24}{8}\right)\left(\dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8}\right)\\ \hspace{30pt} = \dfrac{30}{8} \times \dfrac{5}{8}\\ \hspace{30pt} = \dfrac{2 \times 15 \times 5}{2 \times 4 \times 8}\\ \hspace{30pt} = \dfrac{75}{32}

3. a) Choix des inconnues :
Soit x le nombre de trèfles à 3 feuilles, soit y le nombre de trèfles à 4 feuilles.

Mise en équation :
Le nombre total de trèfles est 84, donc x + y = 84
Les trèfles à 3 feuilles ont au total 3x feuilles et les trèfles à 4 feuilles ont au total 4y feuilles.
Or, en tout, il y a 258 feuilles, donc 3x + 4y = 258.
On obtient le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  84 \\ 3x + 4y  &  258 \\ \end{array} \right.

3. b) Résolution du système :
soit par substitution :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  84 \\ 3x + 4y  &  258 \\ \end{array} \right.
A l'aide de la première équation, on peut écrire x = 84 - y.
En remplaçant cette expression de x dans la deuxième équation, on obtient :
3(84 - y) + 4y = 258
252 - 3y + 4y = 258
y = 258 - 252
y = 6

En remplaçant y par 6 dans l'expression de x, on a :
x = 84 - 6 = 78

soit par combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  84 \\ 3x + 4y  &  258 \\ \end{array} \right.
On multiplie la première équation par 3 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + 3y  &  252 \\ 3x + 4y  &  258 \\ \end{array} \right.
Et on soustrait ces deux équations membre à membre :
3x - 3x + 3y - 4y = 252 - 258
-y = -6
y = 6

En remplaçant y par 6 dans la première équation, on a :
x + 6 = 84
x = 84 - 6
x = 78

D'où : il y a 78 trèfles à 3 feuilles et 6 trèfles à 4 feuilles.


Activités géométriques

1.
un sujet de brevet des collèges - troisième : image 3

Figure


2. Montrons que I est le milieu du segment [BC] :
La droite (AI) est la hauteur du triangle ABC relative au sommet A. Or dans un triangle équilatéral, la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice relatives à un même sommet ou côté sont confondues.
Donc, la droite (AI) est aussi la médiatrice du segment [BC].
Or, une médiatrice coupe un segment en son milieu. Donc I est le milieu de [BC].

Calculons AI :
On sait que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
Donc : AI = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} cm

ou :
(AI) est la hauteur relative à [BC], donc les droites (AI) et (BC) sont perpendiculaires. Le triangle ABI est donc rectangle en I.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABI rectangle en I :
AB² = BI² + AI²
AI² = AB² - BI²
Comme I est le milieu de [BC], alors : BI = \dfrac{1}{2}BC, donc BI = 5 cm.
De plus on sait que AB = 10 cm, ainsi :
AI² = 10² - 5²
AI² = 100 - 25
AI² = 75
AI = \sqrt{75} (AI est forcément positif car il s'agit d'une longueur)
AI = \sqrt{25 \times 3}
AI = 5\sqrt{3} cm

3. Montrons que le quadrilatère AHCI est un rectangle :
Les segments [AC] et [HI] sont les diagonales du quadrilatère AHCI.
Par hypothèse O est le milieu de [AC].
De plus H est le symétrique de I par rapport à O, donc O est le milieu du segment [IH].
Or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Le quadrilatère AHCI est donc un parallélogramme.

De plus, les droites (AI) et (BC) sont perpendiculaires, donc les droites (AI) et (IC) le sont aussi.
Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Le quadrilatère AHCI est donc un rectangle.

Calculons HC :
Comme AHCI est un rectangle, alors ses côtés opposés sont de même longueur.
D'où : HC = AI = 5\sqrt{3}

4. Montrons que les droites (OI) et (AB) sont parallèles :
On sait que, dans le triangle ABC, I est le milieu du segment [BC] et que O est le milieu du segment [BC].
Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
D'où : les droites (OI) et (AB) sont parallèles.

5. Calculons BH :
Comme AHCI est un rectangle, alors les droites (HC) et (IC) sont perpendiculaires ou encore les droites (BC) et (HC) sont perpendicualires. Le triangle BCH est donc rectangle en C.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle BCH rectangle en C :
BH² = BC² + HC²
BH² = 10² + (5\sqrt{3}
BH² = 100 + 25 × 3
BH² = 175
BH = \sqrt{175} car BH est une longueur
BH = \sqrt{25 \times 7}
BH = 5\sqrt{7} cm


Problème

PARTIE I

1. Justifions les égalités :
Les droites (BA) et (BC) sont sécantes en B.
E est un point de la droite (BA), F est un point de la droite (BC).
De plus, les droites (EF) et (AC) sont parallèles.
Alors, d'après le théorème de Thalès, on a : \dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}

Les droites (CA) et (CB) sont sécantes en C.
G est un point de la droite (CA), F est un point de la droite (CB).
De plus, les droites (GF) et (AB) sont parallèles.
Alors, d'après le théorème de Thalès, on a : \dfrac{\text{CG}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{FC}}{\text{BC}}
Or, G est un point du segment [AC], donc CG = AC - AG et F est un point du segment [BC], donc FC = BC - BF. D'où :
\displaystyle \frac{\text{AC - AG}}{\text{AC}} = \frac{\text{BC - BF}}{\text{BC}}\\ 1 - \displaystyle \frac{\text{AG}}{\text{AC}} = 1 - \frac{\text{BF}}{\text{BC}}\\ \displaystyle \frac{\text{AG}}{\text{AC}} = \frac{\text{BF}}{\text{BC}}

On a montré que \displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{BA}} = \frac{\text{BF}}{\text{BC}} et que \displaystyle \frac{\text{AG}}{\text{AC}} = \frac{\text{BF}}{\text{BC}}.
Donc : \displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{BA}} = \frac{\text{AG}}{\text{AC}}

2. Calculons AG en fonction de x :
On sait que : \displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{BA}} = \frac{\text{AG}}{\text{AC}}, donc :
\displaystyle \frac{x}{6} = \frac{\text{AG}}{12}
12x = 6 AG
Donc : AG = \displaystyle \frac{12x}{6}
AG = 2x cm.

3. Calculons AE en fonction de x :
Comme E est un point du segment [AB], alors :
AE = AB - EB
AE = 6 - x cm.

Calculons l'aire A du rectangle AEFG en fonction de x :
A = AG × AE
A = 2x(6 - x)

PARTIE II

1. A l'aide du graphique, en rouge sur le dessin, les valeurs de x pour lesquelles A est égale à 10 sont 1 et 5.
On peut d'ailleurs retrouver ces valeurs par le calcul. En effet, pour x = 1, on a A = 2 × 1 × (6 - 1) = 10 et pour x = 5, on a A = 2 × 5 × (6 - 5) = 10.

2. A l'aide du graphique, en vert sur le dessin, la plus grande caleur de A est 18 cm². Elle est réalisée pour x = 3 cm.

un sujet de brevet des collèges - troisième : image 4
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