Fiche de mathématiques
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Exercices de type Brevet

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exercice 1 - Amiens - Juin 1996

On considère les nombres :
\text{A} = \dfrac{7}{18} \times \dfrac{2}{7} - \left(\dfrac{5}{3}-1\right)^2 \text{B} = \dfrac{3\times10^2\times5\times10^4}{12\times(10^3)^3} \text{C} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{125}-7\sqrt{45}
En précisant les différentes étapes du calcul :

1. Écrire A sous la forme d'une fraction, la plus simple possible.

2. Donner l'écriture scientifique de B.

3. Écrire C sous la forme a\sqrt{5}, a étant un nombre entier relatif.



exercice 2 - Amiens - Juin 1996

On considère l'expression : E = (2x - 3)(5 - 2x) - (2x - 3 )2

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Résoudre l'équation (2x - 3)(-4x + 8) = 0



exercice 3 - Besançon - Juin 1996

1. Sachant que A = 2\sqrt{5} + 4    et    B = 2\sqrt{5} - 4,
Calculer la valeur exacte de A + B et de A × B.

2. On donne : C = \sqrt{147} - 2\sqrt{75} + \sqrt{12}.
Écrire C sous la forme a\sqrt{b}, où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible.



exercice 4 - Besançon - Juin 1996

On donne E = (2x + 3)2 - x(2x + 3).

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = -\dfrac{2}{3}.
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.

4. Résoudre l'équation suivante : (2x + 3)(x + 3) = 0.



exercice 5 - Besançon - Juin 1996

Monsieur Léon vend son appartement 77 000 euros. Il utilise cette somme de la façon suivante :
il donne les 3/7 de cette somme à sa fille;
il s'achète une voiture;
il place le reste à 4,5% d'intérêt par an.
Au bout d'un an, il perçoit 1 125 euros d'intérêts.

1. Combien d'argent a-t-il donné à sa fille ?

2. Quelle somme a-t-il placée ?

3. Quel était le prix de la voiture ?



exercice 6 - Amiens - Juin 1996

On considère l'expression D = (2x - 7)2 - 36.
1.Développer et réduire D.
2.Factoriser D.
3.Calculer la valeur exacte de D quand x = \sqrt{2}.



exercice 7 - Bordeaux - Juin 1996

Dans cet exercice, on utilisera le programme de calcul ci-après :
Programme de calcul
choisir un nombre x
retrancher 3 au double de x
élever le résultat au carré
retrancher 16 au résultat obtenu

1. Si on choisit x = 5, quel résultat final obtient-on ?

2. Indiquer, parmi les expressions suivantes, celle qui décrit le programme donné :
    a)2x - 32 - 16
    b)[(x -3)×2]2 - 16
    c)(2x -3)×2 - 16
    d)16 - [2 ×(x - 3)]2
    e)(2x - 3)2 - 16
    f) (3x - 16)2 - 2

3. a) On pose F = (3x - 16)2 - 2.
Développer et réduire F.
    b) On pose E = (2x - 3)2 - 16.
Montrer que E = (2x - 7)(2x + 1).

4. Pour quelles valeurs de x le programme de calcul donne-t-il le nombre 0 pour résultat final ?



exercice 8 - Caen - Juin 1996

1. On donne les expressions numériques :
A = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\times\dfrac{4}{3} B = \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\div\dfrac{2}{3}+1
Calculer A et B. On écrira les résultats sous le forme de fractions aussi simples que possible.

2.Ecrire les nombres C, D et E ci-dessous sous la forme a\sqrt{b}a est un entier et b un entier positif le plus petit possible.
C=\sqrt{300} D=2\sqrt{12}-\sqrt{27} E=\sqrt{21}\times\sqrt{14}




exercice 9 - Amiens - Juin 1996

On donne l'expression suivante : F = (2x + 3)2 - (x + 5)(2x + 3)

1. Développer et réduire F.

2. Factoriser F.

3. Résoudre l'équation (2x + 3)(x -2)= 0



exercice 10 - Amiens - Juin 1996

Calculer et mettre le résultat sous forme de fraction irréductible :
A = \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{21} B = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{14} C = \dfrac{2^3}{3^2}\div\dfrac{2^4}{3}




exercice 11 - Grenoble - Juin 1996

On donne : A = \left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)^2       et       B = \sqrt{250} - \sqrt{490} + 2\sqrt{81}

1. Écrire A et B sous la forme a+b\sqrt{c}, a, b et c étant des entiers relatifs.

2. En déduire que A - B est un nombre entier relatif.





exercice 1 - Amiens - Juin 1996

1. \text{A} = \dfrac{7}{18} \times \dfrac{2}{7} - \left(\dfrac{5}{3}-1\right)^2 = \dfrac{7\times2}{9\times2\times7} - \left(\dfrac{5}{3}-\dfrac{3}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{9} = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}

2. \text{B} = \dfrac{3\times10^2\times5\times10^4}{12\times(10^3)^3} = \dfrac{3\times5\times10^{2+4}}{12\times(10^3)^3} = \dfrac{3\times5\times10^{2+4}}{3\times4\times10^9} = \dfrac{5\times10^{6}\times10^{-9}}{4} = \dfrac{5\times10^{-3}}{4} = 1,25\times10^{-3}

3. \text{C} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{125}-7\sqrt{45} = 2\sqrt{5}+10\sqrt{5}-21\sqrt{5} = -9\sqrt{5}



exercice 2 - Amiens - Juin 1996

1. E = (2x - 3)(5 - 2x) - (2x - 3 )2
E = 10x - 4x2 - 15 + 6x - 4x2 + 12x - 9
E = -8x2 + 28x - 24

2. E = (2x - 3)(5 - 2x) - (2x - 3 )2
E = (2x - 3)(5 - 2x - (2x - 3))
E = (2x - 3)(5 - 2x - 2x + 3)
E = (2x - 3)(-4x + 8)
E = 4(2x -3)(-x + 2)

3.(2x - 3)(-4x + 8) = 0
2x - 3 = 0       ou       -4x + 8 = 0
2x = 3       ou       -4x = -8
x = \dfrac{3}{2}      ou       x = \dfrac{-8}{-4} = 2
Les solutions de l'équation sont 3/2 et 2.



exercice 3 - Besançon - Juin 1996

1. A + B = 2\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5} - 4
A + B= 4\sqrt{5}

A × B = (2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4)
A × B = 4 × 5 - 42
A × B = 20 - 16
A × B = 4

2. C = \sqrt{147} - 2\sqrt{75} + \sqrt{12}
C = \sqrt{49\times3} - 2\sqrt{25\times3} + \sqrt{4\times3}
C = 7\sqrt{3} - 2 × 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}
C = 7\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 2\sqrt{3}
C = -\sqrt{3}.



exercice 4 - Besançon - Juin 1996

1. E = (2x + 3)2 - x(2x + 3)
E = 4x2 + 12x + 9 - 2x2 - 3x
E = 2x2 + 9x + 9

2. E = (2x + 3)2 - x(2x + 3)
E = (2x + 3)(2x + 3 - x)
E = (2x + 3)(x + 3)

3. Pour x = -\dfrac{2}{3}, on a :
E = \left(2 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 3\right)\left(-\dfrac{2}{3} + 3\right) \\ E = \left(-\dfrac{4}{3} + \dfrac{9}{3}\right) \left(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{3}\right) \\ E = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{7}{3} \\ E = \frac{35}{9}

4. (2x + 3)(x + 3)= 0
2x + 3 = 0       ou       x + 3 = 0
2x = -3       ou       x = -3
x = \dfrac{-3}{2}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac{3}{2} et -3.



exercice 5 - Besançon - Juin 1996

1. Somme donnée à la fille : (3/7) × 77 000 = 33 000
Monsieur Léon donne 33 000 euros à sa fille.

2.Soit x la somme placée par monsieur Léon :
(4,5/100) x = 1 125
Donc : x = 1 125 × (100/4,5) = 25 000
Monsieur Léon a placé 25 000 euros.

3.Prix de la voiture :
77 000 - (33 000 + 25 000) = 77 000 - 58 000 = 19 000
La voiture coûtait 19 000 euros.



exercice 6 - Amiens - Juin 1996

1. D = (2x - 7)2 - 36
D = 4x2 - 28x + 49 - 36
D = 4x2 - 28x + 13

2. D = (2x - 7)2 - 36
D = (2x - 7)2 - 62
D = (2x - 7 - 6)(2x - 7 + 6)
D = (2x - 13)(2x - 1)

3. D = 4x2 - 28x + 13
D= 4 ×(racine2)2 - 28racine2 + 13
D = 8 - 28racine2 + 13
D = 21 - 28racine2



exercice 7 - Bordeaux - Juin 1996

1. 2 ×5 - 3 = 10 - 3 = 7
72 = 49
49 - 16 = 33

2. (2x - 3)2 - 16
La bonne expression est la e).

3. a) F = (3x - 16)2 - 2
F = 9x2 - 96x + 256 - 2
F = 9x2 - 96x + 254

3. b) E = (2x - 3)2 - 16
E = (2x - 3)2 - 42
E = (2x - 3 - 4)(2x - 3 + 4)
E = (2x - 7)(2x + 1)

4. Le programme de calcul donne le nombre 0 pour résultat final si E = 0, donc :
(2x - 7)(2x + 1) = 0
2x - 7 = 0       ou       2x + 1 = 0
2x = 7       ou       2x = -1
x = \dfrac{7}{2}       ou       x = \dfrac{-1}{2}
Les solutions de l'équation sont 7/2 et -1/2.
Le programme de calcul donne le nombre 0 pour résultat final pour x = 7/2 et x = -1/2.



exercice 8 - Caen - Juin 1996

1. A = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\times\dfrac{4}{3} = \dfrac{15}{21} - \dfrac{8}{21} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{7}{7\times3} = \dfrac{1}{3}
B = \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\div\dfrac{2}{3}+1 = \left(\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\right)\div\dfrac{2}{3}+1 = \dfrac{1}{6}\div\dfrac{2}{3}+1 = \dfrac{1}{3\times2}\times\dfrac{3}{2}+1 = \dfrac{1}{4}+1 = \dfrac{5}{4}

2. C = \sqrt{300} = \sqrt{100\times3} = 10\sqrt{3}
D = 2\sqrt{12}-\sqrt{27} = 2\sqrt{4\times3}-\sqrt{9\times3} = 2\times2\sqrt{3}-3\sqrt{3}= 4\sqrt{3}-3\sqrt{3} = \sqrt{3}
E = \sqrt{21}\times\sqrt{14} = \sqrt{21\times14} = \sqrt{7\times3\times7\times2} = 7\sqrt{6}



exercice 9 - Amiens - Juin 1996

1. F = (2x + 3)2 - (x + 5)(2x + 3)
F = 4x2 + 12x + 9 - 2x2 - 3x - 10x - 15
F = 2x2 - x - 6

2. F = (2x + 3)2 - (x + 5)(2x + 3)
F = (2x + 3)(2x + 3 - (x + 5))
F = (2x + 3)(2x + 3 - x - 5)
F = (2x + 3)(x - 2)

3.(2x + 3)(x - 2) = 0
2x + 3 = 0       ou       x - 2 = 0
2x = -3       ou       x = 2
x = \dfrac{-3}{2}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac{3}{2} et 2.



exercice 10 - Amiens - Juin 1996

A = \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{21}= \dfrac{9}{42} + \dfrac{10}{42} = \dfrac{19}{42}

B = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{14} = \dfrac{2\times3\times3}{3\times7\times2} = \dfrac{3}{7}

C = \dfrac{2^3}{3^2}\div\dfrac{2^4}{3} = \dfrac{2^3}{3^2}\times\dfrac{3}{2^4} = \dfrac{2^3\times3}{3^2\times2^4} = \dfrac{1}{6}



exercice 11 - Grenoble - Juin 1996

1. A = \left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)^2
A = 2 - 2\sqrt{10} + 5
A = 7 - 2\sqrt{10}

B = \sqrt{250} - \sqrt{490} + 2\sqrt{81}
B = \sqrt{25\times10} - \sqrt{49\times10} + 2\times9
B = 5\sqrt{10} - 7\sqrt{10} + 18
B = 18 - 2\sqrt{10}

2. A - B = 7 - 2\sqrt{10} - (18 - 2\sqrt{10})
A - B = 7 - 2\sqrt{10} - 18 + 2\sqrt{10}
A - B = -11
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