Fiche de mathématiques

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par (mettre à la place de).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$

Première étape :
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + y = 7 & (1)\\ 2 x - 3 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} y = ...................... & (1')\\ 2 x - 3 (..............) = 1 & \;\\ \end{array} \right.$

Deuxième étape :
Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2)
$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.$

Troisième étape :
Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x
$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.$

Quatrième étape :
Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x
$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.$

CONCLUSION : $\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + 2 y = 7 & (1)\\ 5 x - 2 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Remarque :
* Coefficient de y dans (1) : ...........
* Coefficient de y dans (2) : ...........
Ce sont deux nombres ........................

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .

Première étape :
Écrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2)
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>
$\left \lbrace \begin{array}{l} \; \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

Deuxième étape
Conserver la valeur de x
Remplacer x par sa valeur et calculer y
$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

CONCLUSION : $\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x - 2 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

Troisième méthode : Méthode graphique

Résoudre le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 x - y = - 1 & (1)\\ x + y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$

L'équation (1) est celle de la droite D₁. La droite D₁ est d'équation y = .............
L'équation (2) est celle de la droite D₂. La droite D₂ est d'équation y = .............
Tracer les droites D₁ et D₂ sur le même graphique .

a) Tableaux de valeurs : D₁ : y = .............

x
y

D₂ : y = .............

x
y

b) Représentation graphique :

Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .

c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .
$\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x - y = -1 \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

exercice 1

a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution .

$\left \lbrace \begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ 6 x + 2 y = -2 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x + 3 y = 7 \\ y = 5 x \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2 y \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} 19 x + 7 y = 26 \\ - x + 3 y = 2 \\ \end{array} \right.$

b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition.
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \;\\ \end{array} \right.$ Écrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre .
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \times \_\_\_\_\_\_\\ \end{array} \right.$ Écrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .

exercice 2

Résoudre $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 7 y = 44 \\ 5 x - 11 y = - 40 \\ \end{array} \right.$
Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Écrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x.

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