Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par ( mettre à la place de ).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :

3 x + y = 7 2 x - 3 y = 1

Première étape :

3 x + y = 7 (1) 2 x - 3 y = 1 (2)

Isoler y dans l'équation (1) Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)

y = ...................... (1') 2 x - 3 (..............) = 1

Deuxième étape :

Conserver l'équation (1') Effectuer les calculs dans l'équation (2)

y = ...................... ...................... = 1

y = ...................... ...................... = 1

Troisième étape :

Conserver l'équation (1') Calculer la valeur de x

y = ...................... ...................................

y = ...................... ...................................

Quatrième étape :

Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y Conserver la valeur de x

y = ................... x = ....................

y = ................... x = ....................

CONCLUSION :

x = y =

ou

S = {(      ;      )}

Phrase de conclusion : Le système

3 x + y = 7 2 x - 3 y = 1

admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :

Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système

(1) 3 x + 2 y = 7 (2) 5 x - 2 y = 1

Remarque : Coefficient de y dans (1) : ........... Coefficient de y dans (2) : ........... Ce sont deux nombres ........................

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape :

Ecrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2) ==> Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>

x =

Deuxième étape

Conserver la valeur de x ==> Remplacer x par sa valeur et calculer y ==>

x =

x =

x =

x =

CONCLUSION :

x = y =

ou

S = {( ; )}

Phrase de conclusion : Le système

3 x + 2 y = 7 5 x - 2 y = 1

admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :

Troisième méthode : Méthode graphique

Résoudre le système suivant :

2 x - y = - 1 (1) x + y = 1 (2)

L'équation (1) est celle de la droite D₁. La droite D₁ est d'équation y = .............
L'équation (2) est celle de la droite D₂. La droite D₂ est d'équation y = .............
Tracer les droites D₁ et D₂ sur le même graphique .

a) Tableau de valeurs :

D1 : y = ............. x           y

D2 : y = ............. x           y

b) Représentation graphique :











Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .

c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .

x = y =

ou

S = {( ; )}

Phrase de conclusion : Le système

2 x - y = -1 x + y = 1

admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :

exercice 1

a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution .

5 x + y = 3 6 x + 2 y = -2

2 x + 3 y = 7 y = 5 x

x = 2 y x + y = 1

19 x + 7 y = 26 - x + 3 y = 2

b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition .

(1) (2)

3 x + 2 y = 7 6 x - 5 y = - 4

×_______

Ecrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés .

Ecrire le nouveau système et le résoudre .

(1) (2)

3 x + 2 y = 7 6 x - 5 y = - 4

×_______ ×_______

Ecrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés .

Ecrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .

exercice 2

Résoudre

3 x + 7 y = 44 5 x - 11 y = - 40

Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Ecrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système . Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x .