Les Racines Carrées

I. Carré d'un nombre

Pour tout nombre a, le carré de a est a²= a × a.
a² est le carré de a.
Problème : On connaît a² et on veut retrouver a.
a² = 25, alors a = 5 ou a = -5.
AB est une longueur. AB² = 13, alors AB = 13 (AB est positif car c'est une longueur).
troncature au millième: AB 3,605
arrondi au centième: AB 3,60

II. Racine carrée d'un nombre positif

Valeur exacte - Valeurs approchées

ABCD rectangle avec : AB = 3 ; BC = 2.
Calcul de la longueur de la diagonale :
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
AC² = AB² + BC²
AC² = 13
La valeur exacte de AC est : 13

Définition : la racine carrée de a est le nombre positif qui, élevé au carré donne a.
On la note .
()² = a

III. Racine carrée d'un produit

Exemples :

a et b sont positifs. Comparer et .
()² = a × b
()² = (a)² × (b)² = a × b

Conclusion : =

IV. Racine carrée d'un quotient

Comparer: et .

Conclusion : =

V. Exemples de calculs

VI. Utilisation en géométrie

La diagonale d'un carré de côté a mesure .
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure .

VII. Equation du type x² = a

Si a est négatif, alors l'équation x² = a n'a pas de solutions.
Si a est nul, alors l'équation x² = 0 a une solution qui est : x = 0.
Si a est positif : x² = a
équivaut à : x² - a = 0
x² - (a)² = 0
(x - a)(x + a) = 0
x - a = 0       ou       x + a = 0
x = a         ou         x = -a

Conclusion : L'équation x² = a avec a positif a deux solutions qui sont : a et -a

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© Tom_Pascal & Océane 2006