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Fiche de mathématiques





exercice 1

Développer puis réduire chaque expression :
A = (3x + 2)2 - (x - 3)(x + 7)B = 2(x - 1)2 - 3(2x - 3)2
C = -(3x - 1)2 + (-x + 1)(-4x + 2)D = (\sqrt{3} - 1)(3 - \sqrt{2}) - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})2
E = (\dfrac{1}{2}x - 1)2 + (x - 3)(2x + 1)F = \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\left(\dfrac{4}{3}x - 3\right)




exercice 2

Factoriser les expressions suivantes :
A = (x - 1)(2x + 7) - (3x - 2)(x - 1)B = 4x2 + 1 + 4x
C = (x + 3)(3x - 1) - (1 - 3x)(5 + 2x) D = (2x - 5)(x + 2) - x2 - 4x - 4
E = (2x - 5)(x - 3) - (5 - 2x)(3x + 4) + 4x2 - 20x + 25 F = (3x + 1)2 - (3x + 1)(5x - 2) - 3x - 1




exercice 3

Résoudre les équations suivantes :
a) 2x + 7 = 0 b) (x - 1)(2x + 3) = 0
c) (2x - 3)(x - 1) + x2 - 2x + 1 = 0 d) (x - 2)(2x - 3) + (3x + 2)(2x - 3) = 0
e) x2 - 4 = 0 f) (4x - 3)2 - 4 = 0




exercice 4

1. x désigne un nombre tel que : -2 \le x \le 3.
Donner un encadrement de 3x.

2. x désigne un nombre tel que : 2 \le x \le 7.
Donner un encadrement de -2x.



exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée :
a) 2x > 6 b) -3x + 7 < 4
c) -2x > \dfrac{1}{2}d) 4x < -3
e) 2x - 5 < 3x + 4 f) x - 7 > 2x - 1




exercice 6

Calculer A, B et C en indiquant les étapes.
A = \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{8}{3}; on donnera les résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
B = (\sqrt{3} - 7)2; on donnera le résultat sous la forme a + bracinec, où a, b et c sont des nombres entiers.
C = \sqrt{5}0 + 2\sqrt{18}; on donnera le résultat sous la forme dracinee, où d et e sont des nombres entiers.



exercice 7

Mercredi, un musée a reçu la visite de 112 adultes et de 52 enfants. La recette s'élève à 776 euros.
Le jeudi, le tarif adulte est diminué de 30% et le tarif enfant de 40%. Ce jour-là, il y a eu 140 entrées d'adultes et 35 entrées d'enfants, pour une recette de 630 euros.
Quels sont les tarifs adulte et enfant pratiqués le mercredi ?



exercice 1

A = (3x + 2)2 - (x - 3)(x + 7)
A = (3x)2 + 2 × 3x × 2 + 22 - (x2 + 7x - 3x - 21)
A = 9x2 + 12x + 4 - (x2 + 4x - 21)
A = 9x2 + 12x + 4 - x2 - 4x + 21
A = 8x2 + 8x + 25

B = 2(x - 1)2 - 3(2x - 3)2
B = 2(x2 - 2x + 1) - 3((2x)2 - 2 × 2x × 3 + 32)
B = 2x2 - 4x + 2 - 3(4x2 - 12x + 9)
B = 2x2 - 4x + 2 - 12x2 + 36x - 27
B = -10x2 + 32x - 25

C = -(3x - 1)2 + (-x + 1)(-4x + 2)
C = -((3x)2 - 2 × 3x × 1 + 12) + 4x2 - 2x - 4x + 2
C = -(9x2 - 6x + 1) + 4x2 - 6x + 2
C = -9x2 + 6x - 1 + 4x2 - 6x + 2
C = -5x2 + 1

D = (\sqrt{3} - 1)(3 - \sqrt{2}) - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})2
D = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} × \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} - ((2\sqrt{5})2 + 2 × 2\sqrt{5} × \sqrt{3} + (\sqrt{3})2)
D = 3\sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2} - (4 × 5 + 4\sqrt{15} + 3)
D = 3\sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2} - (20 + 4\sqrt{15} + 3)
D = 3\sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2} - (23 + 4\sqrt{15})
D = 3\sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2} - 23 - 4\sqrt{15}
D = -26 - 4\sqrt{15} - \sqrt{6} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}

E = (\dfrac{1}{2}x - 1)2 + (x - 3)(2x + 1)
E = (\dfrac{1}{2}x)2 - 2 × \dfrac{1}{2}x × 1 + 12 + 2x2 + x - 6x - 3
E = \dfrac{1}{4}x2 - x + 1 + 2x2 + x - 6x - 3
E = \dfrac{9}{4}x2 - 6x - 2

F = \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\left(\dfrac{4}{3}x - 3\right)
F = \left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 - 2 \times \dfrac{1}{2}x \times \dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{4}{3}x + 3\right)
F = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{9} - \left(\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{17}{6}x + 3\right)
F = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{9} - \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{17}{6}x - 3
F = - \dfrac{5}{12}x^2 + \dfrac{13}{6}x - \dfrac{23}{9}



exercice 2

A = (x - 1)(2x + 7) - (3x - 2)(x - 1)
A = (x - 1)[(2x + 7) - (3x - 2)]
A = (x - 1)(2x + 7 - 3x + 2)
A = (x - 1)(-x + 9)

B = 4x2 + 1 + 4x
B = (2x)2 + 2 × 2x × 1 + 12
B = (2x + 1)2

C = (x + 3)(3x - 1) - (1 - 3x)(5 + 2x)
C = (x + 3)(3x - 1) + (3x - 1)(5 + 2x)
C = (3x - 1)[(x + 3) + (5 + 2x)]
C = (3x - 1)(x + 3 + 5 + 2x)
C = (3x - 1)(3x + 8)

D = (2x - 5)(x + 2) - x2 - 4x - 4
D = (2x - 5)(x + 2) - (x2 + 2 × x × 2 + 22)
D = (2x - 5)(x + 2) - (x + 2)2
D = (x + 2)[(2x - 5) - (x + 2)]
D = (x + 2)(2x - 5 - x - 2)
D = (x + 2)(x - 7)

E = (2x - 5)(x - 3) - (5 - 2x)(3x + 4) + 4x2 - 20x + 25
E = (2x - 5)(x - 3) - (5 - 2x)(3x + 4) + (2x)2 - 2 × 2x × 5 + 52
E = (2x - 5)(x - 3) + (2x - 5)(3x + 4) + (2x - 5)2
E = (2x - 5)[(x - 3) + (3x + 4) + (2x - 5)]
E = (2x - 5)(x - 3 + 3x + 4 + 2x - 5)
E = (2x - 5)(6x - 4)
E = 2(2x - 5)(3x - 2)

F = (3x + 1)2 - (3x + 1)(5x - 2) - 3x - 1
F = (3x + 1)2 - (3x + 1)(5x - 2) - (3x + 1)
F = (3x + 1)[(3x + 1) - (5x - 2) - 1]
F = (3x + 1)(3x + 1 - 5x + 2 - 1)
F = (3x + 1)(-2x + 2)
F = 2(3x + 1)(-x + 1)



exercice 3

a) 2x + 7 = 0
équivaut à : 2x = - 7
x = - 7/2
S = \left\lbrace -\dfrac{7}{2}\right\rbrace

b) (x - 1)(2x + 3) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
x - 1 = 0        ou        2x + 3 = 0
x = 1        ou        2x = -3
x = 1        ou        x = -\dfrac{3}{2}
D'où : S = \left\lbrace -\dfrac{3}{2}; 1\right\rbrace

c)(2x - 3)(x - 1) + x2 - 2x + 1 = 0
équivaut successivement à :
(2x - 3)(x - 1) + (x - 1)2 = 0
(x - 1)(2x - 3 + x - 1) = 0
(x - 1)(3x - 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
x - 1 = 0        ou        3x - 4 = 0
x = 1        ou        3x = 4
x = 1        ou        x = \dfrac{4}{3}
D'où : S = \left\lbrace 1; \dfrac{4}{3}\right\rbrace

d) (x - 2)(2x - 3) + (3x + 2)(2x - 3)= 0
équivaut successivement à :
(2x - 3)(x - 2 + 3x + 2) = 0
4x(2x - 3) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
4x = 0        ou        2x - 3 = 0
x = 0        ou        2x = 3
x = 0        ou        x = \dfrac{3}{2}
D'où : S = \left\lbrace 0; \dfrac{3}{2}\right\rbrace

e) x2 - 4 = 0 équivaut à :
(x - 2)(x + 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
x - 2 = 0        ou        x + 2 = 0
x = 2        ou        x = -2
D'où : S = {-2; 2}

f) (4x - 3)2 - 4 = 0
équivaut à :
(4x - 3 - 2)(4x - 3 + 2) = 0
(4x - 5)(4x - 1) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
4x - 5 = 0        ou        4x - 1 = 0
4x = 5        ou        4x = 1
x = \dfrac{5}{4}       ou        x = \dfrac{1}{4}
D'où : S = \left\lbrace \dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{4}\right\rbrace



exercice 4

1. Encadrement de 3x :
3 ×(-2) \le 3x \le 3 × 3
-6 \le 3x \le 9

2. Encadrement de -2x :
-2 × 2 \ge -2x \le -2 × 7
-4 \ge -2x \ge -14
-14 \le -2x \le -4



exercice 5

a) 2x > 6
équivaut à : x > \dfrac{6}{2}
x > 3
sept exercices de révisions - troisième : image 1


b) -3x + 7 < 4
équivaut à : -3x < -3
x > 1
sept exercices de révisions - troisième : image 2


c) -2x > \dfrac{1}{2}
équivaut à : x < -\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}
x < -\dfrac{1}{4}
sept exercices de révisions - troisième : image 3


d) 4x < -3
équivaut à : x < - \dfrac{3}{4}
sept exercices de révisions - troisième : image 4


e) 2x - 5 < 3x + 4
équivaut à : 2x - 3x < 4 + 5
- x < 9
x > -9
sept exercices de révisions - troisième : image 5


f) x - 7 > 2x - 1
équivaut à : x - 2x > - 1 + 7
- x > 6
x < -6
sept exercices de révisions - troisième : image 6




exercice 6

A = \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{8}{3}
A = \dfrac{2}{7} + \dfrac{8}{21}
A = \dfrac{6}{21} + \dfrac{8}{21}
A = \dfrac{14}{21}
A = \dfrac{2}{3}

B = (\sqrt{3} - 7)2
B = (\sqrt{3})2 - 2 × \sqrt{3} × 7 + 72
B = 3 - 14\sqrt{3} + 49
B = 52 - 14\sqrt{3}

C = \sqrt{5}0 + 2\sqrt{18}
C = \sqrt{25 \times 2} + 2\sqrt{9 \times 2}
C = 5\sqrt{2} + 2 × 3\sqrt{2}
C = 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}
C = 11\sqrt{2}



exercice 7

Soit x le prix d'un billet adulte et y le prix d'un billet enfant.
'Le musée a reçu la visite de 112 adultes et 52 enfants pour une recette de 776 euros' se traduit par : 112x + 52y = 776

Le jeudi, le tarif est réduit.
* le tarif adulte est de : x - \dfrac{30}{100}x = x - 0,3x = 0,7x
* le tarif enfant est de : y - \dfrac{40}{100}y = y - 0,4y = 0,6y
Le jour du tarif réduit, il y a eu 140 entrées adultes à 0,7x euros et 35 entrés enfants à 0,6y euros pour une recette de 630 euros.
Donc : 140 × 0,7x + 35 × 0,6y = 630,
soit 98x + 21y = 630

D'où le système :
\left \lbrace \begin{array}{l} 112x + 52y = 776 \\ 98x + 21y  = 630 \\ \end{array} \right.

En divisant la première ligne par 4 et la deuxième ligne par 7, le système s'écrit alors :
\left \lbrace \begin{array}{l} 28x + 13y = 194 \\ 14x + 3y  = 90 \\ \end{array} \right.

Résolvons ce système en utilisant la méthode par combinaison. En multipliant la deuxième ligne par 2, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{l} 28x + 13y = 194  \\ 28x + 6y  = 180 \\ \end{array} \right.

En soustrayant les deux équations, on obtient :
13y - 6y = 194 - 180
7y = 14
y = 2

En remplaçant y par 2 dans 14x + 3y = 90, on obtient :
14x + 3 × 2 = 90
14x = 90 - 6
14x = 84
x = \dfrac{84}{14}
x = 6

D'où : un adulte paye le billet 6 euros et un enfant le paye 2 euros.






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