Fiche de mathématiques
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Sujet de Brevet

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Sujet donné en 2004 dans les académies d'Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles.
12 points

Activités numériques

exercice 1

Les calculs devront être détaillés.

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : \text{A}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{3}\times\dfrac{8}{21}

2. Écrire B sous la forme aracine2, où a est un nombre entier : \text{B}=\sqrt{50}-2\sqrt{18}



exercice 2

On donne l'expression A = (2x + 3)2 + (2x + 3)(5x - 7)

1. Développer et réduire l'expression A.

2. Factoriser l'expression A.

3. Résoudre l'équation (2x + 3)(7x - 4) = 0.



exercice 3

1. Résoudre le système : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 2y & 76 \\ 4x + y & 115 \\ \end{array} \right.

2. Le responsable du CDI d'un collège voudrait renouveler le stock d'atlas et de dictionnaires.
Au 1er trimestre, il commande 1 atlas et 2 dictionnaires. La facture est de 76 euros.
Au 2ème trimestre, les prix n'ont pas changé, il commande 4 atlas et 1 dictionnaire. La facture est de 115 euros.
Quel est le prix d'un atlas ? Quel est le prix d'un dictionnaire ?



exercice 4

Après un contrôle, les notes de 25 élèves ont été regroupées dans le tableau reproduit ci-dessous.
notes n0 \le n < 44 \le n < 88 \le n < 1212 \le n < 1616 \le n < 20
nombres d'élèves167...3
1. Compléter le tableau en indiquant le nombre d'élèves ayant obtenu une note comprise entre 12 et 16 (16 exclu).

2. Combien d'élèves ont obtenu moins de 12 ?

3. Combien d'élèves ont obtenu au moins 8 ?

4. Quel est le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note comprise entre 8 et 12 (12 exclu) ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Tracer sur la copie un segment [EF] de longueur 7 cm et de milieu O.
Tracer le cercle de diamètre [EF] puis placer un point G sur le cercle tel que : FÊG = 26°.

2. Démontrer que le triangle EFG est un triangle rectangle en G.

3. Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre.

4. Déterminer la mesure de l'angle GÔF (justifier votre réponse).



exercice 2

On considère un cône de révolution semblable à celui qui est représenté ci-dessous avec : AO = 2 cm et BO = 3 cm.
sujet de brevet : image 3

1. Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

2. Calculer le volume du cône : donner en cm3 la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.



exercice 3

La figure ci-dessous donne le schéma d'une table à repasser.
sujet de brevet : image 4

Le segment [AD] représente la planche. Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds.
Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.
On donne : AD = 125 cm      AC = 100 cm      OA = 60 cm      OB = 72 cm      OE = 60 cm      OC = 50 cm.

1. Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB).

2. Calculer l'écartement EB en cm.


12 points

Problème

Dans un repère orthonormal (O, I, J), on considère les points A(-4; 3), B(3; 2) et C(1; -2).
L'unité graphique est le centimètre.

Partie A

1. Placer les points A, B, C dans le repère (O, I, J) ci-dessous.
sujet de brevet : image 5

2. a) Calculer AB.
    b) On admet que le calcul donne AC = \sqrt{50} et BC = \sqrt{20}.
Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?

3. Soit H le milieu du segment [BC]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2; 0).

4. Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ?

5. a) Prouver que AH = 3\sqrt{5}.
    b) Calculer l'aire du triangle ABC.

Partie B

1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AC}}.

2. Le point D est l'image du point B par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AC}}.
    a) Placer le point D.
    b) Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8; -3).

3. Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier.



Activités numériques

exercice 1

1. \text{A}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{3}\times\dfrac{8}{21}
\text{A}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{7\times8}{3\times7\times3}
\text{A}=\dfrac{6}{9}-\dfrac{8}{9}
\text{A}=-\dfrac{2}{9}

2. \text{B}=\sqrt{50}-2\sqrt{18}
\text{B}=\sqrt{2\times25}-2\sqrt{2\times9}
\text{B}=5\sqrt{2}-2\times3\sqrt{2}
\text{B}=5\sqrt{2}-6\sqrt{2}
\text{B}=-\sqrt{2}



exercice 2

1.Développement de l'expression A :
A = (2x + 3)2 + (2x + 3)(5x - 7)
A = (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 + 2x × 5x + 3 × 5x - 2x × 7 - 3 × 7
A = 4x2 + 12x + 9 + 10x2 + 15x - 14x - 21
A = 14x2 + 13x - 12
2.Factorisation de l'expression A :
A = (2x + 3)2 + (2x + 3)(5x - 7)
A = (2x + 3)[(2x + 3) + (5x - 7)]
A = (2x + 3)[2x + 3 + 5x - 7]
A = (2x + 3)(7x - 4)

3.Résolution de l'équation (2x + 3)(7x - 4) = 0 :
C'est une équation produit-nul.
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
2x + 3 = 0        ou        7x - 4 = 0
2x = -3        ou        7x = 4
x = -\dfrac{3}{2}        ou        x = \dfrac{4}{7}
Les solutions de l'équation sont donc -\dfrac{3}{2} et \dfrac{4}{7}.



exercice 3

1. Résolution du système par la méthode de votre choix :
par la méthode de substitution :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 2y & 76 \\ 4x + y & 115 \\ \end{array} \right.
D'après la deuxième équation, on peut écrire y = 115 - 4x.
On remplace y par cette expression dans la première équation :
x + 2(115 - 4x) = 76
x + 230 - 8x = 76
-7x = -154
x = \dfrac{-154}{-7} = 22

Donc y = 115 - 4 \times 22 = 27.
Le couple (22 ; 27) est solution du système.

par la méthode de combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 2y & 76 \\ 4x + y & 115 \\ \end{array} \right.
On multiplie la première équation par 4 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4x + 8y & 304 \\ 4x + y & 115 \\ \end{array} \right.
On soustrait les deux équations membre à membre :
7y = 304 - 115
7y = 189
y = \dfrac{189}{7} = 27

On remplace y par 27 dans la première équation :
x + 2 \times 27 = 76
x = 76 - 54
x = 22
Le couple (22 ; 27) est solution du système.

2. Soit x le prix d'un atlas et y le prix d'un dictionnaire.
Au 1er trimestre, le CDI commande 1 atlas et 2 dictionnaires ; la facture est égale à x + 2y ou 76 euros, d'où l'équation : x + 2y = 76.
Au 2ème trimestre, le CDI commande 4 atlas et 1 dictionnaire ; la facture est égale à 4x + y ou 115 euros, d'où l'équation : 4x + y = 115.
On retrouve donc le système       \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + 2y & 76 \\ 4x + y & 115 \\ \end{array} \right.       que l'on a résolu dans la question 1.
On a trouvé x = 22 et y = 27.
On peut donc conclure qu'un atlas coûte 22 euros et un dictionnaire coûte 27 euros.



exercice 4

1.Il y a au total 25 élèves et à partir du tableau, on peut calculer :
1 + 6 + 7 + 3 = 17 élèves ont une note qui n'est pas comprise entre 12 et 16 (exclu).
Donc 8 (= 25 - 17) élèves ont une note comprise entre 12 et 16 (exclu).

2. Le nombre d'élèves qui ont obtenu moins de 12 correspond au nombre d'élèves dont la note est strictement inférieure à 12 c'est-à-dire les 7 élèves qui ont eu une note comprise entre 8 et 12 (exclu), les 6 élèves qui ont eu une note comprise entre 4 et 8 (exclu) et l'élève ayant obtenu une note inférieure à 4.
Au total, 7 + 6 + 1 = 14 élèves ont obtenu moins de 12.

3. Le nombre d'élèves qui ont obtenu au moins 8 correspond au nombre d'élèves dont la note est supérieure à 8.
Donc, 7 + 8 + 3 = 18 élèves ont obtenu au moins 8.
7 élèves sur 25 ont obtenu une note comprise entre 8 et 12 (exclu) soit un pourcentage égal à \dfrac{7}{25}\times100 = 28, donc 28 % des élèves ont obtenu une note comprise entre 8 et 12 (exclu).


Activités géométriques

exercice 1

1.
sujet de brevet : image 12

2. On sait que [EF] est le diamètre du cercle et G est un point de ce cercle. Or si un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre d'un cercle et un point de ce cercle, alors il est rectangle.
Donc le triangle EFG est rectangle en G.
3. Dans le triangle EFG rectangle en G, on peut utiliser la trigonométrie :
sin FÊG = \dfrac{\text{FG}}{\text{EF}}
sin 26° = \dfrac{\text{FG}}{7}
Donc FG = 7 × sin 26°
FG \approx 3,1 cm (arrondi au millimètre).

4. L'angle GÔF est l'angle au centre qui intercepte le même arc que l'angle inscrit GÊF.
Or, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.
Donc GÔF = 26 × 2 = 52°.



exercice 2

1.[AO] est la hauteur du cône donc le triangle AOB est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AO2 + OB2
AB2 = 22 + 32
AB2 = 4 + 9
AB2 = 13
Donc AB = \sqrt{13} (valeur exacte) ou AB \approx 3,6 cm (valeur arrondie au dixième).

2. Le volume d'un cône de révolution se calcule avec la formule : V = \dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}h est la hauteur (ici AO) et R est le rayon du disque de base (ici OB).
Soit : V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 2}{3}
Donc V = 6\pi (valeur exacte) ou V \approx 19 cm3 (valeur arrondie à l'unité).



exercice 3

1. Les points A, O, B et C, O, E sont alignés dans le même ordre.
\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}=\dfrac{60}{72}=\dfrac{5}{6}        et        \dfrac{\text{OC}}{\text{OE}}=\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}
Donc \dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{OC}}{\text{OE}}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EB) sont parallèles.

2. Les droites (AB) et (EC) sont sécantes en O. De plus, on vient de montrer que les droites (AC) et (EB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité suivante :
\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{OC}}{\text{OE}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{EB}}
Soit \dfrac{5}{6}=\dfrac{100}{\text{EB}}
\text{EB} = \dfrac{100\times6}{5} = 120
Donc : EB = 120 cm.


Problème

Partie A

1.
sujet de brevet : image 23


2. a) AB2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2
AB2 = (3 - (- 4))2 + (2 - 3)2
AB2 = 72 + (- 1)2
AB2 = 49 + 1
AB2 = 50 donc AB = \sqrt{50}.

    b) Le triangle ABC est donc isocèle de sommet principal A car AB = AC = racine50.

3. Le milieu H du segment [BC] a pour coordonnées : \left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right) soit \left(\dfrac{3+1}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)
Le point H a donc pour coordonnées (2 ;0).

4. (AH) passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. (AH) est donc la médiatrice du segment [BC].
Or dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la hauteur issue du sommet principal.
Donc [AH] est une hauteur du triangle ABC.

5. a) Le triangle AHB est rectangle en H.
De plus, HB = \dfrac{\text{BC}}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}        et        AB = \sqrt{50}.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AH2 + HB2
50 = AH2 + 5
AH2 = 45
AH = \sqrt{45} = \sqrt{9\times5} = 3\sqrt{5}.
AH = 3\sqrt{5} cm

    b) Aire du triangle ABC : \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{2\sqrt{5}\times3\sqrt{5}}{2} = 3 \times 5 = 15.
L'aire du triangle ABC est donc 15 cm2.

Partie B

1.Coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AC}} : (xC - xA ; yC - yA) soit (1 - (-4); -2 - 3).
\overrightarrow{\text{AC}}(5 ; -5).

2. a) voir graphique

    b) D est l'image du point B par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AC}}, donc \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AC}}.
Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont les mêmes coordonnées.
Or les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BD}} sont (xD - xB ; yD - yB) soit (xD - 3 ; yD - 2).
On en déduit donc que : xD - 3 = 5 et yD - 2 = -5.
Donc xD = 5 + 3 = 8 et yD = -5 + 2 = -3.
Le point D a pour coordonnées (8 ; -3).

3. On a : \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AC}}, donc ACDB est un parallélogramme.
De plus AB = AC. Or si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
Donc ACDB est un losange.
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