Brevet Antilles - Guyane - Martinique 2005

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

I. Activités Numériques (12 points)

Exercice 1

On fera apparaître les étapes de chaque calcul.
1. Écrire A = $\text{[math]}$ sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Calculer B = $\text{[math]}$ .
3. Montrer que C = $\text{[math]}$ est un entier relatif.

Exercice 2

1. Les nombres 1 540 et 693 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
2. Donner la fraction irréductible égale $\text{[math]}$ .
On fera apparaître la méthode utilisée.

Exercice 3

Les notes de mathématiques obtenues par les 150 élèves d'un collège lors d'un brevet blanc sont réparties dans le tableau ci-dessous :

Note n	0 $\text{[math]}$ n < 8	8 $\text{[math]}$ n < 16	16 $\text{[math]}$ n < 24	24 $\text{[math]}$ n < 32	32 $\text{[math]}$ n $\text{[math]}$ 40
Nombre d'élèves	14	N	55	20	9

1. Calculer le nombre N.
2. Combien d'élèves ont obtenu moins de 24 ?
3. Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 ?

II. Activités Géométriques (12 points)

Exercice 1

1. Tracer un cercle de centre O et de diamètre AB = 11 cm.
Placer un point C sur le cercle tel que BC = 7 cm.
2. Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.
3. Calculer la distance AC.
4. Déterminer la mesure arrondie au degré près de l'angle $\text{[math]}$ .

Exercice 2

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire.
ABC est un triangle tel AB = 6 cm, AC = 7,2 cm et BC = 10 cm. Les points R et E appartiennent à la droite (AB), le point T appartient à la droite (AC). Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. On donne AR = 4,5 cm et BE = 2 cm.

1. Calculer AT, TR et AE.
2. Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?

III. Problème (12 points)

Exercice

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(3; 1), B(2; -2) et C(-6; 4).

Partie I
1. Placer les points A, B et C dans le repère.
2. On considère la fonction affine f : x fleche2 mx + p dont la représentation graphique est la droite (AB).
a) Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction f.
b) Déterminer les valeurs de m et p de la fonction f.

Partie II
1. Montrer que AC = $\text{[math]}$ .
2. On donne AB = $\text{[math]}$ et BC = 10.
Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
3. Calculer les coordonnées du vecteur $\text{[math]}$ .
4. Construire le point D image de C dans la translation de vecteur $\text{[math]}$ .
Déterminer graphiquement les coordonnées du point D.
5. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
6. On considère le cercle $\text{[math]}$ circonscrit au rectangle ABDC.
Déterminer les coordonnées de son centre puis construire $\text{[math]}$ .