Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2005

Brevet Antilles - Guyane - Martinique 2005

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

I. Activités Numériques (12 points)

exercice 1

On fera apparaître les étapes de chaque calcul.

1. Écrire A = $\dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{5}}$ sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B = $5^3 - \left(2^4 + 7,5\right)^2$ .

3. Montrer que C = $\left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right)$ est un entier relatif.

exercice 2

1. Les nombres 1 540 et 693 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

2. Donner la fraction irréductible égale $\dfrac{1540}{693}$ .
On fera apparaître la méthode utilisée.

exercice 3

Les notes de mathématiques obtenues par les 150 élèves d'un collège lors d'un brevet blanc sont réparties dans le tableau ci-dessous :

Note n	0 $\small \leq$ n < 8	8 $\small \leq$ n < 16	16 $\small \leq$ n < 24	24 $\small \leq$ n < 32	32 $\small \leq$ n $\small \leq$ 40
Nombre d'élèves	14	N	55	20	9

1. Calculer le nombre N.

2. Combien d'élèves ont obtenu moins de 24 ?

3. Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 ?

II. Activités Géométriques (12 points)

exercice 1

1. Tracer un cercle de centre O et de diamètre AB = 11 cm.
Placer un point C sur le cercle tel que BC = 7 cm.

2. Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.

3. Calculer la distance AC.

4. Déterminer la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ .

exercice 2

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire.
ABC est un triangle tel AB = 6 cm, AC = 7,2 cm et BC = 10 cm. Les points R et E appartiennent à la droite (AB), le point T appartient à la droite (AC). Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. On donne AR = 4,5 cm et BE = 2 cm. sujet du brevet 2005 : image 1

1. Calculer AT, TR et AE.

2. Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?

III. Problème (12 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(3; 1), B(2; -2) et C(-6; 4).

Partie I

1. Placer les points A, B et C dans le repère.

2. On considère la fonction affine f : x fleche2

mx + p dont la représentation graphique est la droite (AB).
a) Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction f.
b) Déterminer les valeurs de m et p de la fonction f.

Partie II

1. Montrer que AC = $3\sqrt{10}$ .

2. On donne AB = $\sqrt{10}$ et BC = 10.
Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ .

4. Construire le point D image de C dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ .
Déterminer graphiquement les coordonnées du point D.

5. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

6. On considère le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au rectangle ABDC.
Déterminer les coordonnées de son centre puis construire $\mathcal{C}$ .

Voir la correction