Fiche de mathématiques
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Exercices Théorème de Thalès

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Introduction
Utiliser le théorème de Thales pour répondre aux questions suivantes et résoudre les exercices.



exercice 1

Les quatre questions sont indépendantes.

1. ABC est un triangle, on sait que C' est un point de la droite (AB), B' un point de la droite (AC) et que \dfrac{\text{AC'}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AB'}}{\text{AC}}.
Les droites (BC) et (B'C') sont-elles parallèles ?

2. On sait que ABC est un triangle, M est un point du segment [AB] et N un point du segment [AC].
On donne : AM = 4, AB = 7, AN = 3.
Calculer, si c'est possible, AC ?

3. Sur la figure ci-dessous, les points M, A, N sont alignés, ainsi que les points P, A, Q.
Les droites (MP) et (QN) sont parallèles.
Deux exercices sur le théorème
 de Thalès - troisième : image 1

Calculer, si c'est possible, x et y.

4. Sur la figure ci-dessous, les points A, B, C sont alignés, ainsi que les points A, D et E.
On donne : AB = 3; BC = 2; AD = 5 et DE = 3.
Deux exercices sur le théorème
 de Thalès - troisième : image 2

Les droites (BD) et (CE) sont elles parallèles ?




exercice 2

Quelle est la hauteur de la tour ?
Deux exercices sur le théorème
 de Thalès - troisième : image 3




exercice 1

1. Dans l'énoncé proposé, on ne nous dit pas que les points A, B, C' d'une part et A, C, B' d'autre part sont alignés dans le même ordre. On peut donc avoir la configuration suivante :
Deux exercices sur le théorème
 de Thalès - troisième : image 4

Les droites (BC) et (B'C') ne sont pas parallèles.

2. L'énoncé ne nous dit pas que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Nous ne pouvons donc pas appliquer le théorème de Thalès.
Sans aucune autre donnée, nous ne pouvons pas déterminer AC.

3. Les droites (MN) et (QP) sont sécantes en A. Les droites (MP) et (QN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{AM}}{\text{AN}} = \dfrac{\text{AP}}{\text{AQ}} = \dfrac{\text{MP}}{\text{QN}}
Donc : \dfrac{3}{y} = \dfrac{x}{5} = \dfrac{\text{MP}}{\text{QN}}
Les données numériques ne sont pas suffisantes pour déterminer x et y.

4. Les points A, B, C d'une part et A, D, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{3}{5} = 0,6 et \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{5}{8} = 0,625.
Donc : \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} \neq \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}
Si les droites (BD) et (CE) étaient parallèles, on aurait d'après le théorème de Thalès \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}, ce qui n'est pas le cas.
Donc les droites (BD) et (CE) ne sont pas parallèles.




exercice 2

Déterminons AB :
Les droites (HA) et (GB) sont sécantes en O, les droites (HG) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{OH}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{OG}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{HG}}{\text{AB}}
De \dfrac{\text{HG}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{OG}}{\text{OB}}, on en déduit que : \text{AB} = \dfrac{\text{OB} \times \text{GH}}{\text{OG}}
Donc : \text{AB} = \dfrac{45,6 \times 0,2}{0,3} = 30,4 \text{ m}

Déterminons la hauteur de la tour :
30,4 + 1,7 = 32,1
La tour mesure 32,1 mètres.
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