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Fiche de mathématiques





exercice 1

1. a) Tracer une droite \left(\Delta\right), puis marquer deux points A et B non situés sur la droite \left(\Delta\right) (la droite (AB) n'étant pas parallèle à la droite \left(\Delta\right)).
    b) Construire le symétrique du point A par rapport à la droite \left(\Delta\right).

2. A la règle seule, construire le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite \left(\Delta\right).



exercice 2

Tracer deux droites (d) et (d') perpendiculaires en O, puis marquer un point I tel que I n'appartienne ni à la droite (d), ni à la droite (d').

1. Construire le symétrique O' du point O par rapport au point I.

2. a) Construire le symétrique de la droite (d) par rapport au point I (règle et équerre).
    b) Construire le symétrique de la droite (d') par rapport au point I (à l'équerre seulement).



exercice 3

1. Placer quatre points A, B, C et D.
Construire le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC, puis le centre O' du cercle circonscrit au triangle ACD.

2. Montrer que la droite (OO') est la médiatrice du segment [AC].



exercice 4

1. Calculer les mesures des angles \widehat{\text{ADC}}, \widehat{\text{ABC}}, \widehat{\text{DCB}}, \widehat{\text{DCA}} (voir la figure à main levée ci-dessous).
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 1


2. Prouver que : CB = CD.



exercice 5

1. a) Tracer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, \widehat{\text{CAB}} = 38° et \widehat{\text{CBA}} = 52°.
    b) Construire le point D, symétrique du point B par rapport au point C.
    c) Tracer la médiatrice du segment [AD] qui coupe la droite (AC) en I.

2. Prouver que la droite (AC) est la médiatrice du segment [BD], puis en déduire la nature du triangle ADB.

3. a) Prouver que les triangles AID, AIB et BID sont isocèles.
    b) Calculer tous les angles de ces trois triangles.



exercice 6

1. Tracer un triangle ABC isocèle en A, puis placer un point P sur le segment [BC].
Tracer la parallèle à (AC) passant par P : elle coupe (AB) en M.
Tracer la parallèle à (AB) passant par P : elle coupe (AC) en N.

2. a) Comparer les angles \widehat{\text{BPM}} et \widehat{\text{BCA}}.
    b) Préciser la nature des triangles BMP et PNC.

3. Justifier l'affirmation suivante :
Quelle que soit la position du point P sur le segment [BC], le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à AB + AC.



exercice 1

1. a) On trace la droite \left(\Delta\right) puis on place les points A et B :
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 2

1. b) Pour tracer le symétrique d'un point par rapport à une droite, on commence par tracer la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Ensuite, à l'aide du compas, on reporte la distance entre le point et la droite de l'autre coté de la droite :
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 3


2. Pour tracer le symétrique d'une droite, il faut commencer par construire les symétriques de deux points appartenant à cette droite.
On connait déjà le symétrique de A par rapport à la droite \left(\Delta\right) : c'est le point A'.
Il faut donc trouver un autre symétrique d'un point de la droite (AB) par rapport à la droite \left(\Delta\right).
On appelle C le point d'intersection de la droite (AB) et de la droite \left(\Delta\right).
Le point D est un point de la droite \left(\Delta\right).
Le symétrique du point D par rapport à la droite \left(\Delta\right) est le point D lui-même.
On en conclut que le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite \left(\Delta\right) est la droite (A'D).
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 4




exercice 2

six exercices de géométrie pure - quatrième : image 5


1. Pour construire l'image du point O par rapport au point I, on trace la droite (OI) et on reporte au compas la longueur OI de l'autre coté.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 6


2. a) Je sais que O est un point de la droite (d) et que O' est le symétrique de O par rapport au point I.
Or, le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
J'en conclus que le symétrique de la droite (d) par rapport au point I est la droite parallèle à la droite (d) passant par le point O'.
Traçons cette droite parallèle (que l'on appelle (d1)) en utilisant l'équerre :
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 7


2. b) Je sais que O est un point de la droite (d') et que O' est le symétrique de O par rapport au point I.
Or, le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
J'en conclus que le symétrique (d2) de la droite (d') par rapport au point I est la droite parallèle à la droite (d') passant par le point O'.

De plus, je sais que es droites (d) et (d1) sont parallèles et que les droites (d) et (d') sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une et perpendiculaire à l'autre.
J'en conclus que les droites (d') et (d1) sont perpendiculaires.

De même, je sais que les droites (d') et (d2) sont parallèles et que les droites (d') et (d1) sont perpendicualires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une et perpendiculaire à l'autre.
J'en conclus que les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires.
Donc, pour trouver l'image de la droite (d') par rapport au point I, il nous suffit de tracer la perpendiculaire à la droite (d1), image de la droite (d) passant pas O'.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 8




exercice 3

1. Pour construire le centre du cercle circonscrit à un triangle, il faut tracer deux médiatrices du triangle.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 9


2. On sait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Or, le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices d'un triangle.
Donc, O appartient à la médiatrice du segment [AC].
De même, on sait que O' est le centre du cercle circonscrit au triangle ACD.
Donc, O' appartient à la médiatrice du segment [AC].
Une droite étant déinie par deux points distincts, on en déduit que la droite (OO') est la médiatrice du segment [AC].
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 10




exercice 4

1.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 11


* Mesure de l'angle \widehat{\text{ADC}} :
Les angles \widehat{\text{ADC}} et \widehat{\text{BDC}} sont deux angles supplémentaires.
Or, la somme des mesures de deux angles supplémentaires est égale à 180°.
Donc : \widehat{\text{ADC}} = 180 - \widehat{\text{BDC}} = 180 - 68 = 112^o

* Mesure de l'angle \widehat{\text{ABC}} :
La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{ABC}} = 180 - \widehat{\text{BAC}} - \widehat{\text{ACB}} = 180 - 44 - 68  = 68^o

* Mesure de l'angle \widehat{\text{DCB}} :
La somme des mesures des angles du triangle BDC est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{DCB}} = 180 - \widehat{\text{CDB}} - \widehat{\text{DBC}} = 180 - 68 - 68 =  44^o (car \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{DBC}})

* Mesure de l'angle \widehat{\text{DCA}} :
\widehat{\text{DCA}} = \widehat{\text{BCA}} - \widehat{\text{BCD}} = 68 - 44 = 24^o

2. On sait que \widehat{\text{CDB}} = 68^o et on a montré que \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{DBC}} = 68^o, donc \widehat{\text{CDB}} = \widehat{\text{DBC}}
Le triangle DBC est donc isocèle en C.
On an conclut que BC = CD.



exercice 5

1. a) On trace un segment [AB] de longueur 6 cm.
On trace une demi-droite [Ax) telle que \widehat{\text{BAx}} = 38^o.
On trace une demi-droite [By) telle que \widehat{\text{ABy}} = 52^o.
Le point d'intersection de ces deux demi-droites est le point C.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 12


1. b) Le point D est sur la droite (BC) et DC = BC. On prend donc le compas pour reporter la longueur BC.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 13


1. c) La médiatrice de [AD] coupe le segment [AD] en son milieu et est perpendiculaire à la droite (AD).
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 14


2. *Montrons que la droite (AC) est la médiatrice du sement [BD] :
On sait que D est le symétrique du point B par rapport au point C.
Donc, C est le milieu du segment [BD].

La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale 180°, donc :
\widehat{\text{ABC}} + \widehat{\text{ACB}} + \widehat{\text{CAB}} = 180\\ \widehat{\text{ACB}} + 52 + 38 = 180\\ \widehat{\text{ACB}} = 180 - 52 - 38 = 90^o
Comme \widehat{\text{ACB}} = 90^o, alors les droites (BC) et (AC) sont perpendicualires.
D étant un point de la droite (BC), alors les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires.

On a montré que C est le milieu du segment [BD] et que les droites (BD) et (AC) sont perpendicualires.
On en conclut que la droite (AC) est la médiatrice du segment [BD].

    * Nature du triangle ADB :
A est un point de la médiatrice du segment [BD].
Or, si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
On en conclut que : AD = AB.
Comme AD = AB, alors le triangle ABD est isocèle en A.

3. a) *Montrons que le triangle AID est isocèle :
De même, I est un point de la médiatrice du segment [AD], donc IA = ID.
Comme IA = ID, alors le triangle AID est isocèle en I.

     * Montrons que le triangle AIB est isocèle :
On sait que I est un point de la médiatrice du segment [AD] et que I est aussi un point de la médiatrice du segment [BD].
Or, les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
On en déduit que les médiatrices du triangle ABD sont concourantes en I.
Le point I appartient donc à la médiatrice du segment [AB].
Donc : IA = IB.
On en conclut que le triangle AIB est isocèle en I.

     * Montrons que le triangle BID est isocèle :
On sait que I est un point de la médiatrice du segment [BD].
On en déduit que ID = IB.
Comme ID = IB, alors le triangle BID est isocèle en I.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 15


3. b) * Mesures des angles du triangle AID :
Comme le triangle ABD est isocèle en A, alors les hauteurs, médiatrices, bissectrices et médianes passant par le sommet A sont confondues.
La droite (AC), médiatrice du segment [DB] est également la bissectrice de l'angle \widehat{\text{BAD}}.
Donc : \widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{CAD}} = 38^o.
Comme I est un point du segment [AC], alors : \widehat{\text{IAD}} = 38^o

Comme le triangle AID est isocèle en I, alors les angles \widehat{\text{IAD}} \text{ et } \widehat{\text{ADI}} sont de même mesure.
Donc : \widehat{\text{ADI}} = 38^o

La somme des mesures des angles du triangle IAD est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{ADI}} + \widehat{\text{DIA}} + \widehat{\text{IAD}} = 180^o\\ 38 + \widehat{\text{DIA}} + 38 = 180\\ \widehat{\text{DIA}} = 180 - 38 - 38\\ \widehat{\text{DIA}} = 104^o

     * Mesures des angles du triangle AIB :
On sait que \widehat{\text{CAB}} = 38^o. Comme I est un point du segment [AC], alors \widehat{\text{IAB}} = 38^o.
Comme le triangle AIB est isocèle en I, alors \widehat{\text{ABI}} = \widehat{\text{IAB}} = 38^o.

La somme des mesures des angles du triangle AIB est égale à 180°, donc :
\widehat{\text{BIA}} = 180 - 38 - 38\\ \widehat{\text{BIA}} = 104^o

     * Mesures des angles du triangle BID :
On a :
\widehat{\text{BIA}} + \widehat{\text{DIB}} + \widehat{\text{DIA}} = 360^o\\ \text{Donc : } 104 + \widehat{\text{DIB}} + 104 = 360\\ \widehat{\text{DIB}} = 360 - 104 - 104\\ \widehat{\text{DIB}} = 152^o

La somme des mesures des angles du triangle BID est égale à 180°. Donc :
\widehat{\text{IBD}} + \widehat{\text{BDI}} + \widehat{\text{DIB}} = 180^o
Comme le triangle DIB est isocèle en I, alors \widehat{\text{IBD}} = \widehat{\text{BDI}}, donc :
\widehat{\text{IBD}} + \widehat{\text{BDI}} + \widehat{\text{IBD}} = 180^o\\ 2\widehat{\text{IBD}} + 152 = 180\\ 2\widehat{\text{IBD}} = 180 - 152\\ 2\widehat{\text{IBD}} = 28\\ \widehat{\text{IBD}} = \frac{28}{2}\\ \widehat{\text{IBD}} = 14^o
Donc : \widehat{\text{IBD}} = \widehat{\text{BDI}} = 14^o



exercice 6

1. Hypothèses :
ABC isocèle en A,
P appartient à [BC],
les droites (PM) et (AC) sont parallèles,
les droites (PN) et (AB) sont parallèles.
six exercices de géométrie pure - quatrième : image 16


2. a) Comparons les angles \widehat{\text{BPM}} et \widehat{\text{BCA}} :
Les angles \widehat{\text{BPM}} et \widehat{\text{BCA}} sont deux angles correspondants définis par les droites (PM) et (AC) et la sécante (PC).
On sait que les droites (PM) et (AC) sont parallèles et que la droite (PC) est sécante à (PM) et (AC).
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants définis par ces deux parallèles et la sécante sont de même mesure.
On en déduit que les angles correspondants \widehat{\text{BPM}} et \widehat{\text{BCA}} sont de même mesure : \widehat{\text{BPM}} = \widehat{\text{BCA}}.

2. b) * Nature du triangle BMP :
On a vu, à la question précédente, que \widehat{\text{BPM}} = \widehat{\text{BCA}}.
Comme le triangle ABC est isocèle en A, alors \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{BCA}}.
Donc : \widehat{\text{BPM}} = \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{PBM}}.
On en conclut que le triangle BMP est isocèle en M.

    * Nature du triangle PNC :
Les angles \widehat{\text{CPN}} et \widehat{\text{PBM}} sont deux angles correspondants définis par les droites (PN) et (BM) et la sécante (PM).
On sait que les droites (PN) et (BM) sont parallèles et que la droite (PM) est sécante à (PN) et (BM).
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants définis par ces deux parallèles et la sécante sont de même mesure.
On en déduit que les angles correspondants \widehat{\text{CPN}} et \widehat{\text{PBM}} sont de même mesure : \widehat{\text{CPN}} = \widehat{\text{PBM}}.

Comme le triangle ABC est isocèle en A, alors \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{BCA}}.
Donc : \widehat{\text{CPN}} = \widehat{\text{PBM}} (= \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{BCA}}) = \widehat{\text{PCN}}.
On en conclut que le triangle PNC est isocèle en N.

3. Le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à :
AN + NP + MP + AM = (AC - NC) + NP + MP + (AB - MB)
Or, le triangle PNC est isocèle en N, donc NC = NP. Le triangle BMP est isocèle en M, donc MP = MB. Donc :
AN + NP + MP + AM = AC - NP + NP + MB + AB - MB
= AC + AB
Donc : quelle que soit la position du point P sur le segment [BC], le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à AB + AC.



Merci à Profilmauricette mauricette pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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