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Fiche de mathématiques




I. Vocabulaire

1. Angles adjacents - Angles opposés par le sommet

Définition :
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 1 Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O .
Elles définissent 4 angles : \widehat{xOt}, \widehat{tOy}, \widehat{yOz} et \widehat{zOx}.
Les angles \widehat{zOx} et \widehat{tOy} sont opposés par le sommet, ainsi que les angles \widehat{xOt} et \widehat{yOz}.

Propriété :
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.



*Exemple : Dans l'exemple précédent : \widehat{zOx} = \widehat{tOy} et \widehat{xOt} = \widehat{yOz}.

Définition :
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés de part et d'autre du côté commun.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 2 \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont deux angles adjacents.

Attention : les angles \widehat{xOz} et \widehat{xOy} ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d'autre du côté commun [Ox).


Remarque : Si \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont deux angles adjacents alors l'angle \widehat{xOz} mesure la somme des mesure des deux autres : \widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz}.


2. Angles complémentaires - Angles supplémentaires

Définition :
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 3Les angles \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont adjacents et complémentaires car \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 90°.

Définition :
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.



*Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 4 Les angles \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont adjacents et supplémentaires car \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180°.


3. Angles alternes-internes, angles correspondants.

On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une troisième (la sécante) (d).
Définition :
Les angles situés entre (d1) et (d2), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternes-internes.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 5 Les angles \widehat{tAw} et \widehat{xBz} sur la figure ci-contre sont alternes-internes

Définition :
Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d1) et l'autre du même côté de (d2) sont correspondants.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 6Les angles \widehat{a_1} et \widehat{xBz} sur la figure ci-contre sont correspondants.



II. Angles et parallélisme

1. Propriétés

* Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
* Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure.



*Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) parallèles coupées par une sécante (d).
les angles - cours de cinquième : image 7

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Les angles \widehat{a_1} et \widehat{b_2} sont alternes-internes.
Donc \widehat{a_1} = \widehat{b_2}.
les angles - cours de cinquième : image 8

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Les angles \widehat{a_1} et \widehat{b_1} sont correspondants.
Donc \widehat{a_1} = \widehat{b_1}.


2. Propriétés réciproques

* Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
* Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.



*Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (d).
les angles - cours de cinquième : image 9

Les angles indiqués sur la figure sont
alternes-internes et de même mesure (128°).
Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
les angles - cours de cinquième : image 10

Les angles indiqués sur la figure sont
correspondants et de même mesure (66°).
Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.



III. Somme des angles dans un triangle

1. Propriété

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 11 Sur la figure ci-contre :

\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°

ou plus simplement : \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°


Soit \widehat{A} = 100° et \widehat{B} = 30°.
Comme \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°, alors 100 + 30 + \widehat{C} = 180
Soit 130 + \widehat{C} = 180.
Donc \widehat{C} = 180 - 130 = 50°.

2. Cas particuliers

Dans un triangle isocèle, les deux angles de base sont de même mesure.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 12 Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Donc \widehat{ABC} = \widehat{ACB} (ou \widehat{B} = \widehat{C}).

Si \widehat{A} = 40°, on a alors \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 40° + 2 \widehat{B} = 180°
Donc 2 B = 140° soit B = 140/2 = 70°.

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.



*Exemple :
les trois angles du triangle équilatéral sont de même mesure.
Donc si ABC est équilatéral, alors \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C}. Donc \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 3 \widehat{A}=180°. Donc \widehat{A}= 60°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.



*Exemple :
les angles - cours de cinquième : image 13 Le triangle ABC est rectangle en A.
Les angles \widehat{C} et \widehat{B} sont donc complémentaires.
Donc \widehat{B} + \widehat{C} = 90°.
En effet, \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° et \widehat{A} = 90°.






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