Fiche de mathématiques
Chapitre : parallèles et angles

Cours sur les angles

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Pré requis
Dans cette fiche tu vas découvrir les différents types d'angles qu'on peut rencontrer en géométrie. Il faut donc que tu aies bien compris la notation des angles. Il faudra également que tu sois bien attentif aux différentes définitions que tu verras afin d'être en mesure d'identifier précisément le type d'angle qu'on te demande d'étudier.

Enjeu
Ce chapitre est l'occasion de construire les premiers raisonnements en géométrie. Tu apprendras donc à construire des raisonnements pour montrer que des droites sont parallèles, perpendiculaires ou que des points sont alignés. Il faut que tu sois rigoureux dans ta façon d'écrire tes raisonnements afin qu'ils soient compréhensibles par tous.

I. Vocabulaire

1. Angles adjacents - Angles opposés par le sommet

Définition :
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 1 Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O .
Elles définissent 4 angles : \widehat{xOt}, \widehat{tOy}, \widehat{yOz} et \widehat{zOx}.
Les angles \widehat{zOx} et \widehat{tOy} sont opposés par le sommet, ainsi que les angles \widehat{xOt} et \widehat{yOz}.

Propriété :
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.



Exemple : Dans l'exemple précédent : \widehat{zOx} = \widehat{tOy} et \widehat{xOt} = \widehat{yOz}.

Définition :
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés de part et d'autre du côté commun.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 2 \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont deux angles adjacents.

Attention : les angles \widehat{xOz} et \widehat{xOy} ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d'autre du côté commun [Ox).


Remarque : Si \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont deux angles adjacents alors l'angle \widehat{xOz} mesure la somme des mesure des deux autres : \widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz}.


2. Angles complémentaires - Angles supplémentaires

Définition :
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 3Les angles \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont adjacents et complémentaires car \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 90°.

Définition :
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.



Exemple :

Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 4 Les angles \widehat{xOy} et \widehat{yOz} sont adjacents et supplémentaires car \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180°.


3. Angles alternes-internes, angles correspondants.

On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une troisième (la sécante) (d).
Définition :
Les angles situés entre (d1) et (d2), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternes-internes.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 5 Les angles \widehat{tAw} et \widehat{xBz} sur la figure ci-contre sont alternes-internes

Définition :
Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d1) et l'autre du même côté de (d2) sont correspondants.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 6Les angles \widehat{a_1} et \widehat{xBz} sur la figure ci-contre sont correspondants.



II. Angles et parallélisme

1. Propriétés

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure.



Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) parallèles coupées par une sécante (d).
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 7

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Les angles \widehat{a_1} et \widehat{b_2} sont alternes-internes.
Donc \widehat{a_1} = \widehat{b_2}.
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 8

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Les angles \widehat{a_1} et \widehat{b_1} sont correspondants.
Donc \widehat{a_1} = \widehat{b_1}.


2. Propriétés réciproques

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.



Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (d).
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 9

Les angles indiqués sur la figure sont
alternes-internes et de même mesure (128°).
Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 10

Les angles indiqués sur la figure sont
correspondants et de même mesure (66°).
Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.



III. Somme des angles dans un triangle

1. Propriété

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 11 Sur la figure ci-contre :

\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°

ou plus simplement : \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°


Soit \widehat{A} = 100° et \widehat{B} = 30°.
Comme \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°, alors 100 + 30 + \widehat{C} = 180
Soit 130 + \widehat{C} = 180.
Donc \widehat{C} = 180 - 130 = 50°.

2. Cas particuliers

Dans un triangle isocèle, les deux angles de base sont de même mesure.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 12 Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Donc \widehat{ABC} = \widehat{ACB} (ou \widehat{B} = \widehat{C}).

Si \widehat{A} = 40°, on a alors \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 40° + 2 \widehat{B} = 180°
Donc 2 B = 140° soit B = 140/2 = 70°.

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.



Exemple :
les trois angles du triangle équilatéral sont de même mesure.
Donc si ABC est équilatéral, alors \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C}. Donc \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 3 \widehat{A}=180°. Donc \widehat{A}= 60°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.



Exemple :
Angles : angles adjacents, opposés, angles complémentaires, alternes, correspondantes...  - Cours de cinquième : image 13 Le triangle ABC est rectangle en A.
Les angles \widehat{C} et \widehat{B} sont donc complémentaires.
Donc \widehat{B} + \widehat{C} = 90°.
En effet, \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° et \widehat{A} = 90°.
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