I. Vocabulaire

1. Angles adjacents - Angles opposés par le sommet

Définition : Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre.

Exemple :
Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O .
Elles définissent 4 angles : , , et .
Les angles et sont opposés par le sommet, ainsi que les angles et .


Propriété : Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.

Exemple : Dans l'exemple précédent : = et = .


Définition : Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés de part et d'autre du côté commun.

Exemple :
et sont deux angles adjacents.

Attention : les angles et ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d'autre du côté commun [Ox).


Remarque : Si et sont deux angles adjacents alors l'angle mesure la somme des mesure des deux autres : = + .

2. Angles complémentaires - Angles supplémentaires

Définition : Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Exemple :
Les angles et sont adjacents et complémentaires car + = 90°.







Définition : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.

Exemple :

Les angles et sont adjacents et supplémentaires car + = 180°.

3. Angles alternes-internes, angles correspondants.

On considère deux droites (d₁) et (d₂) coupées par une troisième (la sécante) (d).

Définition : Les angles situés entre (d₁) et (d₂), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternes-internes.

Exemple :
Les angles et sur la figure ci-contre sont alternes-internes






Définition : Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d₁) et l'autre du même côté de (d₂) sont correspondants.

Exemple :
Les angles et sur la figure ci-contre sont correspondants.

II. Angles et parallélisme

1. Propriétés

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure.

Exemple : On considère deux droites (d₁) et (d₂) parallèles coupées par une sécante (d).

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les angles et sont alternes-internes. Donc = .

Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les angles et sont correspondants. Donc = .

2. Propriétés réciproques

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : On considère deux droites (d₁) et (d₂) coupées par une sécante (d).

Les angles indiqués sur la figure sont alternes-internes et de même mesure (128°). Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

Les angles indiqués sur la figure sont correspondants et de même mesure (66°). Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

III. Somme des angles dans un triangle

1. Propriété

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

Exemple :
Sur la figure ci-contre :

+ + = 180°

ou plus simplement : + + = 180°


Soit = 100° et = 30°.
Comme + + = 180°, alors 100 + 30 + = 180
Soit 130 + = 180.
Donc = 180 - 130 = 50°.

2. Cas particuliers

Dans un triangle isocèle, les deux angles de base sont de même mesure.

Exemple :
Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Donc = (ou = ).

Si = 40°, on a alors + + = 40° + 2 = 180°
Donc 2 B = 140° soit B = 140/2 = 70°.


Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

Exemple :
les trois angles du triangle équilatéral sont de même mesure.
Donc si ABC est équilatéral, alors = = . Donc + + = 3 =180°. Donc = 60°.


Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Exemple :
Le triangle ABC est rectangle en A.
Les angles et sont donc complémentaires.
Donc + = 90°.
En effet, + + = 180° et = 90°.