Fiche de mathématiques

parallèles et angles

Cours sur les angles

I. Vocabulaire

1. Angles adjacents - Angles opposés par le sommet

Définition :

Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 1

Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O .
Elles définissent 4 angles : $\widehat{xOt}$ , $\widehat{tOy}$ , $\widehat{yOz}$ et $\widehat{zOx}$ .
Les angles $\widehat{zOx}$ et $\widehat{tOy}$ sont opposés par le sommet, ainsi que les angles $\widehat{xOt}$ et $\widehat{yOz}$ .

Propriété :

Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.

Exemple : Dans l'exemple précédent : $\widehat{zOx}$ = $\widehat{tOy}$ et $\widehat{xOt}$ = $\widehat{yOz}$ .

Définition :

Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés de part et d'autre du côté commun.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 2

$\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont deux angles adjacents.

Attention : les angles $\widehat{xOz}$ et $\widehat{xOy}$ ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d'autre du côté commun [Ox).

Remarque : Si $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont deux angles adjacents alors l'angle $\widehat{xOz}$ mesure la somme des mesure des deux autres : $\widehat{xOz}$ = $\widehat{xOy}$ + $\widehat{yOz}$ .

2. Angles complémentaires - Angles supplémentaires

Définition :

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 3

Les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents et complémentaires car $\widehat{xOy}$ + $\widehat{yOz}$ = 90°.

Définition :

Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 4

Les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents et supplémentaires car $\widehat{xOy}$ + $\widehat{yOz}$ = 180°.

3. Angles alternes-internes, angles correspondants.

On considère deux droites (d₁) et (d₂) coupées par une troisième (la sécante) (d).

Définition :

Les angles situés entre (d₁) et (d₂), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternes-internes.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 5

Les angles $\widehat{tAw}$ et $\widehat{xBz}$ sur la figure ci-contre sont alternes-internes

Définition :

Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d₁) et l'autre du même côté de (d₂) sont correspondants.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 6

Les angles $\widehat{a_1}$ et $\widehat{xBz}$ sur la figure ci-contre sont correspondants.

II. Angles et parallélisme

1. Propriétés

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure.

Exemple : On considère deux droites (d₁) et (d₂) parallèles coupées par une sécante (d).

les angles - cours de cinquième : image 7

Les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.
Les angles $\widehat{a_1}$ et $\widehat{b_2}$ sont alternes-internes.
Donc $\widehat{a_1}$ = $\widehat{b_2}$ .

les angles - cours de cinquième : image 8

Les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.
Les angles $\widehat{a_1}$ et $\widehat{b_1}$ sont correspondants.
Donc $\widehat{a_1}$ = $\widehat{b_1}$ .

2. Propriétés réciproques

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : On considère deux droites (d₁) et (d₂) coupées par une sécante (d).

les angles - cours de cinquième : image 9

Les angles indiqués sur la figure sont
alternes-internes et de même mesure (128°).
Donc les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.

les angles - cours de cinquième : image 10

Les angles indiqués sur la figure sont
correspondants et de même mesure (66°).
Donc les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.

III. Somme des angles dans un triangle

1. Propriété

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 11

Sur la figure ci-contre :

$\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = 180°

ou plus simplement : $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 180°

Soit $\widehat{A}$ = 100° et $\widehat{B}$ = 30°.
Comme $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 180°, alors 100 + 30 + $\widehat{C}$ = 180
Soit 130 + $\widehat{C}$ = 180.
Donc $\widehat{C}$ = 180 - 130 = 50°.

2. Cas particuliers

Dans un triangle isocèle, les deux angles de base sont de même mesure.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 12

Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Donc $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (ou $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ ).

Si $\widehat{A}$ = 40°, on a alors $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 40° + 2 $\widehat{B}$ = 180°
Donc 2 B = 140° soit B = 140/2 = 70°.

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

Exemple :
les trois angles du triangle équilatéral sont de même mesure.
Donc si ABC est équilatéral, alors $\widehat{A}$ = $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ . Donc $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 3 $\widehat{A}$ =180°. Donc $\widehat{A}$ = 60°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Exemple :

les angles - cours de cinquième : image 13

Le triangle ABC est rectangle en A.
Les angles $\widehat{C}$ et $\widehat{B}$ sont donc complémentaires.
Donc $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 90°.
En effet, $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = 180° et $\widehat{A}$ = 90°.

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