I. La lettre pour généraliser (produire une expression littérale)

Remarque : le mot "littéral" a la même racine que le mot "lettre"
Exemple : Observer la suite de motifs composés de points bleus ci-dessous. Donner le nombre de points bleus en fonction du numéro de l'étape.

Réponse :
Compter à chaque étape le nombre de points bleus est trop long.
On remarque qu'à chaque étape, on rajoute deux points bleus par rapport à l'étape précédente.

À l'étape 0, le nombre de point bleu est 1

À l'étape 1, le nombre de point bleu est 3 soit le point d'origine, auquel on ajoute points

À l'étape 2, le nombre de point bleu est 5 soit le point d'origine, auquel on ajoute points

À l'étape 3, le nombre de point bleu est 7 soit le point d'origine, auquel on ajoute points



À l'étape n, le nombre de point bleu est soit le point d'origine, auquel on ajoute points

Si on appelle n le numéro de l'étape, alors le nombre de points bleus est donné par l'expression littérale .

Si on veut calculer le nombre de points bleus à l'étape 17 par exemple, il suffit de remplacer la lettre par 17 dans l'expression littérale (voir paragraphe IV. Substituer) : . Il y a 35 points bleus dans le motif à l'étape 17.

II. La lettre pour prouver (utiliser la distributivité simple)

Exemple : On donne les deux programmes de calcul ci-dessous.

Matt affirme : "Si je choisis le même nombre de départ pour les programmes A et B, alors j'obtiens le même résultat final. Ceci est vrai pour n'importe quel nombre de départ que je choisis."
Matt a-t-il raison ? Justifier.

Réponse :
Pour déterminer si Matt a raison, il est impossible de tester les programmes de calcul avec tous les nombres qui existent ! On va donc utiliser des expressions littérales.

Si on appelle n le nombre choisi au départ, alors le résultat du programme A est et le résultat du programme B est .

Ces deux expressions littérales sont égales pour n'importe quel nombre n d'après la propriété de distributivité. En effet :



Exemples :
peut s'écrire
et peut s'écrire

III. Développer, factoriser, réduire

Remarque : Pour développer, factoriser ou réduire, on utilise la propriété de distributivité.


Exemples :
L'expression 3(y+5) est un produit (c'est le produit de 3 par y+5). On peut la développer, ce qui donne 3y+15.
L'expression 3y+3z est une somme (c'est la somme de 3y et de 3z). On peut la factoriser, ce qui donne 3(y+z).

IV. Substituer pour vérifier ou réfuter (calculer une expression littérale)

Exemple : Les égalités ci-dessous sont-elles vraies pour n'importe quelle valeur de la lettre a ? Justifier.

Egalité n°1 :
Egalité n°2 :

Réponse :
L'égalité n°1 n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur du nombre a car si on remplace par exemple a par 3, alors l'égalité devient fausse :


En revanche, l'égalité n°2 est vraie pour n'importe quelle valeur du nombre a. On peut le vérifier en testant plusieurs valeurs, et on le prouve en utilisant la propriété de distributivité.