Tu auras besoin, dans ce chapitre de savoir correctement utiliser
les outils de géométrie : compas, rapporteur, équerre. Tu seras, en effet, amené à tracer
des figures possédant des longueurs ou des angles particuliers. Tu pourras également
avoir besoin des propriétés vues en sixième pour faire des démonstrations.
Enjeu :
Ce chapitre te fournit des éléments caractéristiques sur les parallélogrammes
dont tu auras besoin dans toute ta scolarité. C'est également le moment où tu construis
tes premières démonstrations. Il faudra donc que tu sois particulièrement attentif à tes
enchaînements logiques.
I Définition d'un parallélogramme
Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés
opposés sont parallèles deux à deux.
est un parallélogramme : et
Comment tracer un parallélogramme à l'aide des droites parallèles?
Par exemple, sur la figure précédente, on veut placer le point tel que
soit un parallélogramme.
On identifie les 2 côtés connus : ici les côtés et ;
On trace la parallèle à passant par ;
On trace la parallèle à passant par ;
Le point d'intersection des deux droites est le point .
Remarque : Il est très important de vérifier que le parallélogramme qu'on obtient
correspond bien à celui qui est demandé. Il est très fréquent de voir, par exemple,
un parallélogramme alors qu'on demandait le parallélogramme .
II Propriétés d'un parallélogramme
On va voir dans cette partie une série de propriétés que possède un parallélogramme.
La partie suivante sera consacrée aux propriétés qui montrent qu'un quadrilatère est un
parallélogramme.
Propriété (longueurs) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses
côtés opposés sont de même longueur.
Utilisation
On sait que est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Donc et .
Comment tracer un parallélogramme avec un compas?
On connaît les sommets , et du parallélogramme .
A l'aide du compas, on reporte la longueur à partir du point .
A l'aide du compas, on reporte la longueur à partir du point .
Le point est le point d'intersection des deux arcs de cercle.
Propriété (diagonales) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses
diagonales se coupent en leur milieu.
Utilisation
On sait que est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc est le milieu de et de .
Propriété (symétrie) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le
point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
Utilisation
On sait que est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en .
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le
point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
Donc est le centre de symétrie du parallélogramme .
Propriété (angles) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles
opposés ont la même mesure.
Utilisation
On sait que est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Donc et .
III Propriétés caractéristiques
On va voir dans cette partie, des propriétés qui vont nous permettre de montrer qu'un
quadrilatère est en fait un parallélogramme.
Propriété (longueurs) :
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux
de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère on a et .
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux
de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.
Propriété (diagonales) :
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur
milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Utilisation
On sait que les diagonales et du
quadrilatère se coupent en leur milieu.
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur
milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.
Propriété (angles) :
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère on a on a
et .
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.
Propriété (parallélisme) :
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à
deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère est parallèle à
et est parallèle à .
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à
deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.
Propriété (longueur et parallélisme) :
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont
parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère : est parallèle à ; .
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont
parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.
IV Les parallélogrammes particuliers
Voici quelques propriétés qui permettront de montrer qu'un parallélogramme est un losange, un
rectangle ou un carré.
Propriété (losange) :
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de
même longueur alors c'est un losange.
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme , .
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de
même longueur alors c'est un losange.
Donc est un losange.
Propriété (losange) :
Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires
alors c'est un losange.
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme , et sont
perpendiculaires.
Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires
alors c'est un losange.
Donc est un losange.
Propriété (rectangle) :
Si un parallélogramme possède deux côtés perpendiculaires
alors c'est un rectangle.
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme , et sont
perpendiculaires.
Si un parallélogramme possède deux côtés perpendiculaires
alors c'est un rectangle.
Donc est un rectangle.
Propriété (rectangle) :
Si les diagonales d'un parallélogramme sont de même longueur
alors c'est un rectangle.
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme on a .
Si les diagonales d'un parallélogramme sont de même longueur
alors c'est un rectangle.
Donc est un rectangle.
Propriété (carré) :
Si un parallélogramme est à la fois un losange et un rectangle
alors c'est un carré.
V Aires
Propriété (parallélogramme) :
L'aire d'un parallélogramme est
Propriété (losange) :
L'aire d'un losange est
Propriété (rectangle) :
L'aire d'un rectangle est
Propriété (carré) :
L'aire d'un carré est
Publié par Prof digiSchool
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