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I. Divisibilité
Proposition :
L'ensemble
des entiers relatifs muni des lois addition 
et multiplication 
est un anneau intègre.
L'ensemble
Définition :
Soit \in \mathbb{Z}^2)
.
On dit que
divise 
et on note 
si et seulement s'il existe 
tel que : 
.
Soit
On dit que
Au lieu de Remarques :
Proposition :
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Remarque :
La relation Pour
Théorème - Définition : Division Euclidienne
Soit \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*)
.
Il existe alors un couple unique \in \mathbb{Z}^2)
tel que : )
.
On dit que
(resp. 
) est le quotient (resp. reste ) de la division euclidienne de par .
Soit
Il existe alors un couple unique
On dit que
II. Plus grand commun diviseur (pgcd) - Plus petit commun multiple (ppcm)
1. Généralités
Proposition - Définition :
Soient
,  \in (\mathbb{Z}^*)^n)
.
Notation :
Soient
- L'ensemble des diviseurs communs à
est fini et admet un plus grand élément (pour l'ordre
) appelé plus grand commun diviseur de
.
- L'ensemble des éléments de
multiples communs de
.
Pour
Exemples :
1.
2.
Remarque :
1.
2.
Proposition
Soient \in (\mathbb{Z}^*)^n \: , \: \rho = \text{pgcd}(x_1 , \cdots , x_n ) \: , \: \mu = \text{ppcm}( x_1 , \cdots , x_n ) \: , \: (a \, , \, b) \in (\mathbb{Z}^*)^n)
.
Soient
-
et
.
-
.
-
.
Proposition
 \in (\mathbb{Z}^*)^n)
.
-
.
-
.
2. Algorithme d'Euclide
Proposition
Soit \in \mathbb{N}^2)
avec 
, d'après la division euclidienne de par il existe  \in \mathbb{N}^2)
tel que : 
et 
.
Dans ce cas, on a :
.
L'algorithme :
Soit
Dans ce cas, on a :
Soit
Construisons un algorithme permettant de calculer
- Si
alors :
.
- Si
. Par division enclidienne de
avec
tel que :
et
. Alors :
.
2. Si
Ainsi, on construit les couples
Comme
On a alors :
Le
Exemples :
2006 = 1 × 2005 + 1
2005 = 2005 × 1 + 0
Alors :
2006 = 1 × 1998 + 8
1998 = 249 × 8 + 6
8 = 1 × 6 + 2
6 = 3 × 2 + 0
Alors :
III. Nombres Premiers entre eux
Définition :
Soient)
.
On dit que
sont premiers entre eux si  = 1)
.
Remarque :
Soient
On dit que
Exemple :
Soient
Donc
Théorème de Bezout :
Soit \in (\mathbb{Z}^*)^2)
, alors on a :  \in \mathbb{Z}^2)
tel que 
.
Soit
Théorème de Bezout généralisé :
Soient \in (\mathbb{Z}^*)^2)
.
Pour que soient premiers entre eux dans leur ensemble, il faut et il suffit qu'il existe  \in \mathbb{Z}^n)
tel que : 
.
Soient
Pour que
Théorème de Gauss :
 \in (\mathbb{Z}^*)^3 \: : \: \{a/bc \\ a \wedge b = 1 \. \Longrightarrow \: a/c)
Proposition :
Soient
, on a :
 \: \Longleftrightarrow \: a \wedge (\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i) = 1)
.
Soient
Proposition :
 \in (\mathbb{Z}^*)^2 \, , \, \forall (k \, , \, l) \in (\mathbb{N}^*)^2 \: : \\
a \wedge b = 1 \: \Longleftrightarrow \: a^k \wedge b^l = 1)
Corollaire :
 \in (\mathbb{Z}^*)^2 \: , \: \forall k \in \mathbb{N}^* \: : \\
a^k \wedge b^k = (a \wedge b ) ^k)
Corollaire :
Soient \in (\mathbb{Z}^*)^n)
.
Si
sont premiers entre eux deux à deux, alors :  = \| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \|)
Soient
Si
Théorème :
Soit \in (\mathbb{Z}^* ) ^2)
, on a alors :  (a \vee b ) = |ab|)
.
Soit
IV. Nombres Premiers
Définition :
Soit
.
On dit que
est premier si 
et les seuls diviseurs de dans 
sont 
et 
.
Soit
On dit que
Proposition :
Soient
avec premier, alors :
Si
, alors 
.
Soient
Si
Proposition :
Soit.
premier  \in \mathbb{Z}^2 \: : \: p/ab \: \Longrightarrow \: (p/a \text{ ou } p/b)))
Soit
Propositions :
1. Tout nombre entier relatif différent de -1 et 1 admet au moins un diviseur premier.
2. L'ensemble des nombres premiers noté
est infini.
1. Tout nombre entier relatif différent de -1 et 1 admet au moins un diviseur premier.
2. L'ensemble des nombres premiers noté
Théorème de décomposition en facteurs premiers :
Soit
, alors il existe  \in \mathfrak{P}^m \text{ et } \mu_1 \, , \, \cdots \, , \, \mu_m ) \in (\mathbb{N}^*)^m \hspace{10pt} (m \in \mathbb{N}^*))
uniques tels que :
avec 
Soit
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