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Arithmétique dans Z

I. Divisibilité

Proposition :
L'ensemble des entiers relatifs muni des lois addition et multiplication est un anneau intègre.
Définition :
Soit .
On dit que divise et on note si et seulement s'il existe tel que : .

* Au lieu de divise , on dit aussi : est un diviseur de , ou encore est un multiple de .

Remarques :
* .
* .

Proposition :
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .

Remarque :
* La relation de divisibilité n'est pas une relation d'ordre sur .
* Pour , on pose et on a : et .
Théorème - Définition : Division Euclidienne
Soit .
Il existe alors un couple unique tel que : .
On dit que (resp. ) est le quotient (resp. reste ) de la division euclidienne de par .


II. Plus grand commun diviseur (pgcd) - Plus petit commun multiple (ppcm)

1. Généralités

Proposition - Définition :
Soient , .
Notation :
Pour on note : .

Exemples :
1. .
2. .

Remarque :
:
1.
2.
Proposition
Soient .
  1. et .
  2. .
  3. .
Proposition
.
  1. .
  2. .


2. Algorithme d'Euclide

Proposition
Soit avec , d'après la division euclidienne de par il existe tel que : et .
Dans ce cas, on a : .

L'algorithme :
Soit avec tel que .
Construisons un algorithme permettant de calculer .

1. Si alors : .
2. Si alors on réitère.
Ainsi, on construit les couples tels que :

Comme et que sont non nuls, le procédé s'arrête au bout d'un nombre fini d'étapes. Il existe donc dans tels que :

On a alors : .
Le de et est le denier reste non nul dans la succession des diviseurs euclidiennes de par .

Exemples :
* .

2006 = 1 × 2005 + 1
2005 = 2005 × 1 + 0
Alors :

* .
2006 = 1 × 1998 + 8
1998 = 249 × 8 + 6
8 = 1 × 6 + 2
6 = 3 × 2 + 0
Alors : .

III. Nombres Premiers entre eux

Définition :
Soient .
On dit que sont premiers entre eux si .
Remarque :
sont dits premiers entre eux deux à deux si : et .

Exemple :
Soient .

Donc sont premiers entre eux.
Théorème de Bezout :
Soit , alors on a : tel que .
Théorème de Bezout généralisé :
Soient .
Pour que soient premiers entre eux dans leur ensemble, il faut et il suffit qu'il existe tel que : .
Théorème de Gauss :
Proposition :
Soient , on a :
.
Proposition :
Corollaire :
Corollaire :
Soient .
Si sont premiers entre eux deux à deux, alors :
Théorème :
Soit , on a alors : .


IV. Nombres Premiers

Définition :
Soit .
On dit que est premier si et les seuls diviseurs de dans sont et .
Proposition :
Soient avec premier, alors :
Si , alors .
Proposition :
Soit .
premier
Propositions :
1. Tout nombre entier relatif différent de -1 et 1 admet au moins un diviseur premier.
2. L'ensemble des nombres premiers noté est infini.
Théorème de décomposition en facteurs premiers :
Soit , alors il existe uniques tels que :
avec

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