Fiche de mathématiques

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

Composition de mathématiques A - (XLC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces vectoriels de dimension infinie.

Préambule

Une racine $n$ -ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des racines $n$ -ièmes de l'unité.

Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ . Si $\mathcal{E}$ est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de $\mathcal{E}$ est noté $\mathcal{L}(\mathcal{E})$ et le groupe des automorphismes de $\mathcal{E}$ est noté $\text{GL}(\mathcal{E})$ . On note $\text{Id}_{\mathcal{E}}$ l'application identité de $\mathcal{E}$ . Si $u\in\mathcal{L}(\mathcal{E})$ , on note $\mathbb{C}[ u]$ la sous-algèbre $\lbrace P(u) | P\in\mathbb{C}[X]\rbrace$ de $\mathcal{L}(\mathcal{E})$ des polynômes en $u$ .

On note $\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$ . Si $f$ est une fonction de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$ , on note $\text{Supp}(f)$ l'ensemble des $k\in\mathbb{Z}$ tels que $f(k)\neq0$ . On appelle cet ensemble le support de $f$ . Dans tout le problème, $V$ désigne l'ensemble des fonctions de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$ dont le support est un ensemble fini.

I - Opérateurs sur les fonctions à support fini

1. a. Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ . Étant donné $f\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ , on définit $E(f)\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ par $E(f)(k)=f(k+1),\ k\in\mathbb{Z}$ .

1. b. Montrer que $E\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^{\mathbb{Z}})$ et que $V$ est stable par $E$ .

Dans la suite, $E$ désignera uniquement l'endomorphisme de $V$ induit.

2. Montrer que $E\in\text{GL}(V)$ .

3. Pour $i\in\mathbb{Z}$ , on définit $v_i$ dans $\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ par
$v_i(k)=\left\lbrace\begin{array}{l}1\ \text{si}\ k=i,\\0\ \text{si}\ k\neq i.\end{array}\right.$
3. a. Montrer que la famille $\lbrace v_i\rbrace_{i\in\mathbb{Z}}$ une base de $V$ .

3. b. Calculer $E(v_i)$ .

Soient $\lambda,\mu\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ . On définit les applications linéaires $F, H\in\mathcal{L}(V)$ respectivement par
$H(v_i)=\lambda(i)v_i\qquad \text{et}\qquad F(v_i)=\mu(i)v_{i+1},\qquad i\in \mathbb{Z}.$

4. Montrer que $H\circ E=E\circ H+2E$ si et seulement si pour tout $i\in\mathbb{Z},\ \lambda(i)=\lambda(0)-2i$ .

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.

5. Montrer que $E\circ F=F\circ E+H$ si et seulement si pour tout $i\in\mathbb{Z},\ \mu(i)=\mu(0)+I(\lambda(0)-1)-i^2$ .

6. a. Montrer que pour $f\in V$ , l'espace vectoriel engendré par les $H^n(f),\ n\in\mathbb{N}$ , est de dimension finie.

6. b. En déduire qu'un sous-espace non réduit à $\lbrace0\rbrace$ de $V$ , stable par $H$ , contient au moins un des $v_i$ .

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que $\lambda(0)=0,\ \mu(0)=1$ .

7. a. Montrer que $F\in\text{GL}(V)$ .

7. b. Montrer que $E$ et $F$ ne sont pas d'ordre fini dans le groupe $\text{GL}(V)$ .

7. c. Calculer le noyau de $H$ et montrer que $H^r\neq\text{Id}_V$ pour $r\ge1$ .

8. On note $\mathbb{C}[X]$ l'algèbre des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée $X$ .

8. a. Montrer que $\mathbb{C}[E]$ est isomorphe (en tant qu'algèbre) à $\mathbb{C}[X]$ .

8. b. Montrer que $\mathbb{C}[F]$ est isomorphe (en tant qu'algèbre) à $\mathbb{C}[X]$ .

8. c. Montrer que $\mathbb{C}[H]$ est isomorphe (en tant qu'algèbre) à $\mathbb{C}[X]$ .

II - Intermède

Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair $\ell \ge 3$ et $q$ une racine primitive $\ell$ -ième de l'unité.

9. Montrer que $q^2$ est une racine primitive $\ell$ -ième de l'unité.

Soient $W_{\ell} =\displaystyle\bigoplus_{0\le i< \ell}\mathbb{C}v_i$ et $a\in\mathbb{C}^*$ .

10. On considère l'élément $G_a$ de $\mathcal{L}(W_{\ell})$ dont la matrice dans la base $\lbrace v_i\rbrace _{0\le i< \ell}$ est :
$\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0&a\\1&0&0&\cdots&0&0\\0&1&0&\cdots&0&0\\\vdots&0&\ddots&\ddots& \vdots&\vdots\\0&\vdots&\ddots&\ddots&0&0\\0&0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$
10. a. Calculer $G_a^{\ell}$ . Montrer que $G_a$ est diagonalisable.

10. b. Soit $b$ une racine $\ell$ -ième de $a$ . Calculer les vecteurs propres de $G_a$ et les valeurs propres associées en fonction de $b,\ q$ et des $v_i$ .

On définit une application linéaire $P_a:V \rightarrow V$ par $P_a(v_i)=a^pv_r$ où $i\in\mathbb{Z}$ , on définit $r$ et $p$ respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne de $i$ par $\ell$ ; autrement dit, $i=p \ell+r$ où $0\le r< \ell$ et $p\in\mathbb{Z}$ .

11. Montrer que $P_a$ est un projecteur d'image $W_{\ell}$ .

III - Opérateurs quantiques

12. Montrer que $H\circ E=q^2 E\circ H$ si et seulement si pour tout $i\in\mathbb{Z},\ \lambda(i) =\lambda(0)q^{-2i}$ .

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que $\lambda(0)\neq0$ .

13. Montrer que $H\in GL(V)$ .

14. Montrer que $E\circ F=F\circ E+H-H^{-1}$ si et seulement si
pour tout $i\in\mathbb{Z},\ \mu(i)=\mu(i-1)+\lambda(0)q^{-2i}-\lambda(0)^{-1}q^{2i}$ .

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.

15. a. Montrer que $\lambda$ et $\mu$ sont périodiques sur $\mathbb{Z}$ , de périodes divisant $\ell$ .

15. b. Montrer que la période de $\lambda$ est égale à $\ell$ .

15. c. Montrer que la période de $\mu$ est aussi égale à $\ell$ .

16. Soit $C=(q-q^{-1})E\circ F+q^{-1}H+qH^{-1}$ avec $H^{-1}$ l'inverse de $H$ .

16. a. Montrer que $C=(q-q^{-1})F\circ E+qH+q^{-1}H^{-1}$ .

16. b. Pour $i\in\mathbb{Z}$ , montrer que $v_i$ est un vecteur propre de $C$ .

16. c. En déduire que $C$ est une homothétie de $V$ dont on calculera le rapport $R(\lambda(0),\mu(0),q)$ en fonction de $\lambda(0),\ \mu(0)$ et $q$ .

16. d. On fixe $q$ et $\lambda(0)$ . Montrer que l'application $\mu(0)\mapsto R(\lambda(0), \mu(0),q)$ est une bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{C}$ .

16. e. On fixe $q$ et $\mu(0)$ . Montrer que l'application $\lambda(0)\mapsto R(\lambda(0), \mu(0),q)$ est une surjection de $\mathbb{C}^*$ sur $\mathbb{C}$ mais pas une bijection.

IV - Opérateurs quantiques modulaires

Soient $\ell, W_{\ell},a,P_a$ comme dans la partie II. On dit qu'un élément $\phi$ de $\mathcal{L}(V)$ est compatible avec $P_a$ si $P_a\circ\phi\circ P_a=P_a\circ\phi$ .

17. a. Montrer que si $\phi\in\mathcal{L}(V)$ commute avec $P_a$ , alors $\phi$ est compatible avec $P_a$ .

17. b. Montrer que $H$ et $H^{-1}$ sont compatibles avec $P_a$ .

Soit $\mathcal{U}_q$ l'ensemble des endomorphismes $\phi\in\mathcal{L}(V)$ qui sont compatibles avec $P_a$ .

18. Montrer que $\mathcal{U}_q$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(V)$ .

19. Montrer que $E\in\mathcal{U}_q$ et $F\in\mathcal{U}_q$ .

20. a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbres $\Psi_a:\mathcal{U}_q\rightarrow\mathcal{L}(W_{\ell})$ tel que
$\forall\phi\in\mathcal{U}_q,\ \Psi_a(\phi)\circ P_a=P_a\circ\phi$ .

20. b. Montrer que $\phi\in\mathcal{U}_q$ est contenue dans le noyau de $\Psi_a$ si et seulement si l'image de $\phi$ est dans le sous-espace de $V$ engendré par les vecteurs $v_i-a^pv_r,\ i\in\mathbb{Z}$ , où $i=p \ell+r$ est la division euclidienne de $i$ par $\ell$ .

21. On étudie dans cette question $\Psi_a(E)$ .

21. a. Déterminer $\Psi_a(E)(v_0)$ .

21. b. En déduire $\Psi_a(E^{\ell})$ .

21. c. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel $\mathbb{C}[\Psi_a(E)]$ .

21. d. Calculer les vecteurs propres de $\Psi_a(E)$ .

22. Soit $W$ un sous-espace non nul de $W_{\ell}$ stable par $\Psi_a(H)$ .

22. a. Montrer que $W$ contient au moins un des vecteurs $v_i$ .

22. b. Que dire si $W$ est de plus stable par $\Psi_a(E)$ ?

23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $R(\lambda(0),\mu(0),q)$ pour que l'opérateur $\Psi_a(F)$ soit nilpotent.

Publié par david9333/ le 30-11--0001

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