III - 1. Hyperplans

III - 1 - 1. Image d'une forme linéaire

Dans tout ce chapitre, E désigne un K-ev non réduit à {0_E}, et E* son dual. Rappelons que tout élément de E* est une forme linéaire, donc, une application linéaire f de E dans K, K considéré comme K-ev de dimension 1. Le noyau et l'image de f ont la signification habituelle. Intéressons nous d'abord à l'image Im(f), l'étude du noyau Ker(f) demandant plus de préparation.
Im(f) étant un sev du but, ici K, cela ne laisse que deux possibilités : soit Im(f) = {0}, soit Im(f) = K.
Im(f) = {0} x E, f(x) = 0 f = O* (forme nulle).
Im(f) = K f est surjective.

Cela signifie que si f est non nulle, pour tout élément a de K, l'équation f(x) = a possède des solutions dans E.

III - 1 - 2. Hyperplans de E

Cela signifie que si désigne l'ensemble des sev de E ordonné par inclusion, les hyperplans de E sont les éléments maximaux de \{E}. On peut dire aussi qu'il n'existe aucun sev de E strictement compris entre H et E. Cette propriété de maximalité donne une caractérisation fondamentale des hyperplans.

Notation :
Soit a un vecteur non nul de E, la droite vectorielle engendrée par a est le sev D de E formé par les vecteurs du type k.a, où k décrit K. Nous écrirons : D = K.a.
Preuve :
1. On suppose donc que H E et qu'il existe une droite vectorielle D telle que E = H D. Si a est un vecteur non nul de D, nous avons D = K.a, avec a H, puisque E et H sont distincts. Considérons un sev F de E contenant H strictement. Il existe donc un élément b non nul dans F \ H. La décomposition E = H D signifie qu'il existe un unique couple (h,k) H × K tel que b = h + k.a. Comme b n'est pas dans H, k est non nul, donc inversible dans K et on peut écrire a = k^-1(b - h). Mais b et h sont dans F, donc a également par combinaison linéaire. Cela signifie que E = H D F, donc que F = E. H est bien un hyperplan de E.
2. Soit H un hyperplan de E. Par définition, H est strictement inclus dans E, donc, il existe a non nul, appartenant à E \ H. La droite vectorielle D = K.a vérifie H D = {0_E}. La somme de H et de D est donc directe et H D est un sev de E contenant H strictement. Par définition des hyperplans : H D = E.

III - 1 - 3. Premières conséquences

Tout hyperplan possède des supplémentaires, ces supplémentaires étant des droites vectorielles. Réciproquement, si un sev H de E possède une droite pour supplémentaire, H est un hyperplan de E.
Si E est de dimension finie n > 0, le théorème III - 2 entraine : les hyperplans de E sont les sev de dimension n-1.

Cas particuliers :
Si n = 1, un seul hyperplan H = {0_E}. Si n = 2, les hyperplans de E sont tous les sev de E de dimension 1 : ce sont les droites vectorielles de E. Si n = 3, les hyperplans de E sont les sev de dimension 2 : ce sont les plans vectoriels de E.
Pour un hyperplan H donné, la décompositon E = H D = H K.a n'est pas unique : tout vecteur a de E \ H convient. Par exemple dans E = R³, H étant un plan vectoriel donné, toute droite vectorielle D non incluse dans H fera l'affaire.
Par contre, pour une décomposition donnée de E : E = H K.a, l'écriture d'un vecteur quelconque x de E est unique : x E, ! (h_x , k_x) H×K, x = h_x + k_x.a. Les indices indiquent la dépendance des éléments de H et de K par rapport à x. En fait, h_x et k_x.a sont les images de x par les deux projecteurs associés à la somme directe.

III - 1 - 4. Noyau d'une forme linéaire

Voici le lien entre les hyperplans et les noyaux des formes linéaires.
D'abord, si f E* est la forme nulle, on a bien sûr Ker(f) = E. Sinon :
Preuve :
Si f est non nulle, alors H = Ker(f) est un sev de E strictement inclus dans E et Im(f) = K. Prenons un vecteur a dans E \ H, donc, f(a) est un scalaire non nul. Appelons D la droite vectorielle K.a. Comme f(a) est non nul, D H = {0_E}. La somme H + D est donc directe et F = H D est un sev de E contenant strictement H. Soit b un vecteur quelconque de E, considérons c = b - f(b)[f(a)]^-1.a. On a immédiatement f(c) = 0, donc c est dans H. Or, on peut écrire que : b = c + f(b)[f(a)]^-1.a, ce qui prouve que b appartient à H D. Donc, E = H K.a, ce qui prouve que H admet pour supplémentaire une droite vectorielle. Par le théorème III - 2 : H est un hyperplan.
Ce théorème possède une réciproque très importante :
Preuve :
Soient H un hyperplan de E, a E \ H et D = K.a. On sait qu'alors E = H K.a (théorème III - 2). Donc, pour tout x dans E, x = h_x + k_x.a (h_x H, k_x K).
Considérons l'application f : E K définie par f(x) = f( h_x + k_x.a) = k_x. Montrons qu'elle est linéaire. Soient r et r' deux éléments de K, x et x' deux vecteurs de E.
f(r.x + r'.x') = f[r(h_x + k_x.a) + r'(h_x' + k_x'.a)] = f[(r.h_x + r'.h_x') + (r.k_x + r'.k_x').a]. Dans le crochet figurent un élément de H : r.h_x + r'.h_x' et un élément de K.a : (r.k_x + r'.k_x').a. L'unicité de la décomposition sur la somme directe permet d'écrire : f(r.x + r'.x') = (r.k_x + r'.k_x').a = r.k_x.a + r'.k_x'.a = r.f(x) + r'.f(x'). f est bien élément de E*. De plus, f(a) = 1, donc, f est non nulle. Enfin, f(x) = 0 k_x = 0 x = h_x x H. Donc H = Ker(f). Nous avons bien mis en évidence une forme linéaire non nulle de noyau H.
Cherchons maintenant toutes les formes linéaires non nulles g telles que H = Ker(g). Soit f₀ une forme linéaire non nulle telle que Ker(f₀) = H.
a) Pour tout scalaire t K \ {0}, t.f₀(x) = 0 f₀(x) = 0, donc, H = Ker(t.f₀).
b) Soit g non nulle telle que Ker(g) = H. Considérons la forme linéaire : F = f₀(a).g - g(a).f₀.
x E, F(x) = F(h_x + k_x.a) = f₀(a).g(h_x + k_x.a) - g(a).f₀(h_x + k_x.a) = f₀(a).k_x.g(a) - g(a).k_x.f₀(a) = 0. Donc F = O*. Comme f₀(a) est non nul, on en déduit que g = g(a)[f₀(a)]^-1.f₀ : du type t.f₀, t K \ {0}. On peut dire que les formes linéaires de noyau H forment une droite vectorielle de E*, privée de O*.

Remarque :
Le fait de ne pas travailler en dimension finie rend les preuves plus difficiles. Par contre, ces théorèmes ont l'avantage de s'appliquer dans toutes les situations.

III - 2. Conséquences

III - 2 - 1. Exemples

Ex III - 1. E est le C-ev des applications continues de [0,1] dans C. Soit F : E C définie par F(f) = f(t)dt. F est une forme linéaire sur E. De plus, F est non nulle. En effet, si l'on prend par exemple g dans E telle g(t) = 1, alors, F(g) = 1. En appliquant le théorème III - 4 a), l'ensemble des applications h de E telles que h(t)dt = 0 est un hyperplan de E. On peut même écrire que E = C.g.

Ex III - 2. E = M_n(K) le K-ev des matrices carrées d'ordre n. Nous savons que ( II - 2.), tr : M tr(M) est une forme linéaire sur E. Elle est non nulle puisque tr(E₁₁) = 1. Donc, l'ensemble des matrices H de E telles que tr(H) = 0 est un hyperplan de E. Comme ici, dim(E) = n², on peut même dire que dim() = n² - 1.

Ex III - 3. E = C[X] le C-ev des polynômes à une indéterminée à coefficients complexes. Soit a un élément fixé de C. Appelons l'ensemble des polynômes P de E tels que P(a) = 0 (c'est-à-dire des polynômes ayant a pour racine). On sait que f_a : P P(a) est une forme linéaire sur E. Elle est non nulle puisque f_a(1) = 1 est non nul. Or, par construction, = Ker(f_a), donc, est un hyperplan de E.

Ex III - 4. Pour n > 1, soit J la matrice de M_n(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 (II - 4 - 5). J est la matrice d'un endomorphisme u de Rⁿ dans la base canonique B_n de Rⁿ. On sait que u est de rang 1, donc dim(Ker(u)) = n - 1. Ceci prouve que = Ker(u) est un hyperplan de Rⁿ. Il existe donc une forme linéaire f non nulle sur Rⁿ telle que : Ker(u) = = Ker(f). Pour trouver les éléments x de Rⁿ appartenant à Ker(u) au moyen de leurs coordonnées (x₁ , ... , x_n) dans B_n, on résout le système matriciel : J.X = O, X = ^t(x₁ ... x_n), O = ^t(0 , ... , 0). On obtient n fois la même condition : x₁ + ... + x_n = 0. Par le théorème I - 4, cette écriture nous donne les coordonnées de f dans la base duale de la base B_n : f(1 , ... , 1). On remarque que toute forme linéaire g ayant même noyau que f s'écrira k.f, k non nul et donnera donc k.x₁ + ... + k.x_n = 0, donc la même condition : x₁ + ... + x_n = 0.

III - 2 - 2. Equation d'un hyperplan

Soient E un K-ev, E {0_E}, H un hyperplan de E, f une forme linéaire (non nulle) telle que H = Ker(f). Nous avons donc : x H f(x) = 0 < x , f > = 0. Si g est une autre forme linéaire de noyau H, alors, g = k.f, (k non nul) et l'équation < x , g > = 0 s'écrira < x , k.f > = 0, donc : k.< x , f > = 0. Comme k 0, cela donne encore < x , f > = 0. L'équation d'inconnue x : < x , f > = 0 est donc indépendante du choix de la forme linéaire f de noyau H. Cette équation s'appelle une équation cartésienne de H. Elle est définie à un coefficient non nul près.

La situation la plus intéressante est lorsque dim(E) est finie, égale à n > 0. Prenons une base B_E de E et sa duale (B_E)* dans E*. Alors, si f a pour coordonnées (a₁ , ... , a_n) non toutes nulles sur (B_E)* et si x a pour coordonnées (x₁ , ... , x_n) sur B_E nous savons (théorème I - 4) que < x , f > = 0 a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 0.

On retrouve ce que l'on sait depuis longemps. Si n = 2, une droite vectorielle s'écrit a.x + by = 0, (a,b) (0,0). Si n = 3, un plan vectoriel s'écrit : ux + vy + wz = 0, (u,v,w) (0,0,0).

III - 3. Orthogonalité

III - 3 - 1. Définitions

Premiers exemples :
0_E est orthogonal à toute forme linéaire f de E*. La forme linéaire nulle O* est orthogonale à tout vecteur x de E.
Soit E de dimension finie rapporté à une base B_E = (e₁ , ... , e_n) et (B_E)* = (e₁* , ... , e_n*) sa base duale dans E*. Alors, e_i et e_j* sont orthogonaux pour j i.
La définition relie les éléments de E et de E*. On peut de même parler d'orthogonalité entre E* et E** : f E* et F E** sont orthogonaux ssi < f , F > = 0. Pour tenir compte de ces différents cas, nous considérerons l'écriture de gauche à droite : E E* E**. Alors, l'orthogonalité vers la droite se notera : A° et l'orthogonalité vers la gauche se notera : °B.


Par convention, nous poserons : ( _E)° = E* et °(_E*) = E.
Finalement : A° = {f E*, A Ker(f)} et °B = Ker(f).

III - 3 - 2. Exemples

{0_E}° = {f E*, < 0_E , f > = 0} = E*
E° = {f E*, x E, < x , f > = 0} = {O*}
°{O*} = {x E, < x , O* > = 0} = E
°{f} = {x E, < x , f > = 0} = Ker(f). Donc Ker(f) = E si f = O* ou Ker(f) est un hyperplan de E si f est non nulle.
Soit H un hyperplan de E, H° = {f E*, x H, < x , f > = 0} = {f E*, H Ker(f)}. La maximalité de H nous permet de distinguer deux cas : Ker(f) = E ou Ker(f) = H. Dans le premier cas, f = O*, dans le second cas, f est du type k.f₀ où f₀ est une forme linéaire non nulle de noyau H, et k un scalaire non nul. Ces deux cas se résument en un seul : f = k.f₀ , f₀ forme linéaire non nulle de noyau H, k scalaire quelconque.
Finalement, H° = K.f₀ : c'est la droite vectorielle engendrée par f₀.

III - 3 - 3. Lien entre parties et sous-espaces

Dans chaque cas du théorème III - 6, on voit que l'orthogonal est toujours un sev ( de E ou de E*). Cette propriété est toujours vraie :
Preuve :
Par définition : A° = {f E*, x A, < x , f > = 0}. La forme nulle s'annulant sur tout élément de A, O* A°, donc, A° est une partie non vide de E*. Si k et k' sont deux éléments de K, f et f ' deux éléments de A°, x A, < x , a.f + a'.f ' > = a.< x , f > + a'.< x , f ' > = 0. Donc, a.f + a'.f ' appartient à A°. Conclusion : pour toute partie A non vide de E, A° est un sev de E*.
Même principe pour °B. On remarque que le vecteur nul 0_E annule toute forme de B, donc 0_E °B, donc, °B est non vide. Si k et k' sont dans K, x et x' dans °B, f B, < k.x + k'.x' , f > = k.< x , f > + k'.< x' , f > = 0. Donc, k.x + k'.x' appartient à °B. Conclusion : pour toute partie B non vide de E*, °B est un sev de E.
Pour °B, on aurait pu utiliser la caractérisation : °B = Ker(f), l'intersection de sev de E étant un sev de E.
Les conventions : (_E)° = E* et °(_E*) = E montrent que A vide ou B vide vérifient encore le théorème III - 7.
A une partie non vide de E. Désignons par (x_a)_aA la famille des éléments de A. On sait que vec(A) est le plus petit sev de E contenant A, et aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de A. Donc, tout élément x de vec(A) s'écrira : x = k_a.x_a où les scalaires k_a sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux.
f A° x_a A, < x_a , f > = 0 x vec(A), < x , f > = <k_a.x_a , f > = k_a.< x_a , f > = 0. Donc : f [vec(A)]°. D'où A° [vec(A)]°. Réciproquement, si la forme f appartient à [vec(A)]°, elle prend la valeur 0 sur tous les éléments de vec(A), en particulier sur les éléments de A. Donc : f A°.
La méthode pour prouver que °B = °[vec(B)] est exactement la même.
Ce résultat est précieux : la recherche de l'orthogonal d'un sev revient à chercher seulement l'orthogonal d'une partie génératrice de ce sev.

III - 3 - 4. Inclusions, réunion

Preuve :
(I) A A' E. f (A')° a' A', < a' , f > = 0 a A, < a , f > = 0 f A°.
(II) Même méthode pour B et B'.
Remarquer que l'orthogonalité "inverse les inclusions".
Preuve :
f _i (A_i )° i, f (A_i )° i, x A_i, < x , f > = 0 f ( _i A_i )°. Donc : _i (A_i)° (_i A_i )°
Réciproquement : i, A_{i i} A_i i, (_i A_i )° (A_i )° (Théorème III - 9) ( _i A_i )° _i (A_i)°.
La preuve pour les parties de E* est la même.

III - 3 - 5. Somme directe

Soit E un K-ev, on suppose que E est somme directe de deux sev F et G.
E = F G = vec(F G) E° = [vec(F G)]° {O*} = (F G)° {O*} = F° G° (I)
Nous savons que E = F G pour tout x de E, il existe un unique couple (y,z) de F×G tel que x = y + z. Soient p et q les projecteurs associés à la décomposition E = F G. En clair, p et q sont les deux endomorphismes de E définis par p(x) = y et q(x) = z. Alors, x E, x = p(x) + q(x) signifie que Id_E = p + q. En composant à gauche par un élément quelconque f de E*, cela donne : f E*, f o Id_E = f o p + f o q f = f o p + f o q. les deux applications f o p et f o q sont linéaires de E dans K, donc ce sont deux éléments de E*.

De plus, y F, f o q(y) = 0, donc, f o q F° et, z G, f o p(z) = 0, donc, f o p G°. D'après ce qui précède, cela signifie que E* = F° + G° (II). En rassemblant (I) et (II), on a bien E* = F° G°.

Exemple :
Pour tout hyperplan H de E, on a E = H K.a, a E \ H. Le théorème III - 11 permet alors d'écrire dans ce cas la décomposition E* = H° (K.a)°. Le théorème III - 6 donne H° = K.f₀, avec Ker(f₀) = H. Donc, on en déduit que (K.a)° = {a}° est un hyperplan de E*. Une conséquence : il existe au moins une forme linéaire f ne s'annulant pas sur le vecteur (non nul) a.

Remarque :
On peut se poser des questions d'orthogonaux itérés en effectuant des aller-retours entre E et E*. Soient F un sev de E, F° (sev de E*) l'orthogonal de F, °(F°) (sev de E) l'orthogonal de F° et enfin, (°(F°))° (sev de E*) l'orthogonal de °(F°). Nous avons donc deux sev de E : F et °(F°) et deux sev de E* : F° et (°(F°))°. Comparons ces sev.

a) Etude dans E : comparaison de F et °(F°)

x F f F°, < x , f > = 0 x °(F°). Donc : F °(F°). La preuve de l'inclusion réciproque est plus délicate à prouver en dimension non finie. Nous l'admettrons.

b) Etude dans E* : comparaison de F° et (°(F°))°

f F° x °(F°), < x , f > = 0 f (°(F°))°. Donc : F° (°(F°))°. Mais ici, la réciproque fonctionne facilement. En effet, si l'on admet a), F °(F°), donc, d'après le théorème III - 9, (°(F°))° F°. Finalement : F° = (°(F°))°.

III - 4. Transposition

III - 4 - 1. Définition

Soient E₁ et E₂ deux K-ev, u un élément de (E₁ , E₂). Appelons y* un élément quelconque de (E₂)*. Alors, l'application y*_° u est linéaire (composée de deux applications linéaires) de E₁ dans K. Donc, y*_° u est un élément de (E₁)*. Finalement, on construit une application de (E₂)* vers (E₁)* définie par : y* y*_° u. Appelons ^tu cette application. Nous avons donc : y* (E₂)*, ^tu(y*) = y*o u.
(a,b)K², (y*,z*)[(E₂)*]², ^tu(a.y* + b.z*) = (a.y* + b.z*) _° u = a.(y*_° u) + b.(z*_° u) = a.^tu(y*) + b.^tu(z*). Ceci montre que ^tu est élément de ((E₂)*, (E₁)*).
La formule ^tu(y*) = y*o u donne aussi :x E₁, y* (E₂)*, [^tu(y*)](x) = [y*_° u](x). En utilisant les crochets de dualité : < x , ^tu(y*) > = < u(x) , y* >.
Soit v ((E₂)*, (E₁)*) telle que x E₁, y* (E₂)*, < x , v(y*) > = < u(x) , y* >. Alors, x E₁, y* (E₂)*, v(y*)(x) = (y*_° u)(x) y* (E₂)*, v(y*) = y*_° u = ^tu(y*) v = ^tu. Cela entraine l'unicité de ^tu.
Cette propriété sera exploitée ainsi : x E₁, y* (E₂)*, < x , v(y*) > = < u(x) , y* > v = ^tu.

Remarque :
u : E₁ E₂ donne ^tu : (E₂)* (E₁)* : on retourne et on passe aux duaux.

III - 4 - 2. Premières propriétés

a) (a,b) K², (u,v)[(E₁ , E₂)]², < x , ^t(a.u + b.v)(y*) > = < (a.u + b.v)(x) , y* >
< x , ^t(a.u + b.v)(y*) > = a.< u(x) , y* > + b.< v(x) , y* > = a.< x , ^tu(y*) > + b.< x , ^tv(y*) >
< x , ^t(a.u + b.v)(y*) > = a.< u(x) , y* > + b.< v(x) , y* > = < x , a.^tu(y*) > + b.^tv(y*) >
Donc : ^t(a.u + b.v) = a.^tu + b.^tv. (I)
Cela signifie que l'application T : (E₁ , E₂) ((E₂)*, (E₁)*), définie par : T(u) = ^tu, est linéaire.


b) u (E₁ , E₂), v (E₂ , E₃), v _° u (E₁ , E₃), ^tu ((E₂)*, (E₁)*), ^tv ((E₃)* , (E₂)*), et enfin ^t(v _° u) ((E₃)*, (E₁)*). Nous avons les schémas suivants :
E₁ E₂ E₃ E₁ E₃ (E₃)* (E₁)*
(E₃)*(E₂)*(E₁)* (E₃)* (E₁)*. Il est donc légitime de comparer ^t(v o u) et ^tu o ^tv.
x E₁, z* (E₃)*, < x , ^t(v _° u)(z*) > = < (v _° u)(x) , z* > = < u(x) , ^tv(z*) > = < x , (^tu _° ^tv)(z*) >
Donc : ^t(v _° u) = ^tu _° ^tv. (II).


c) Supposons que E₁ = E₂ = E. Alors, u (E) et ^tu (E*).
x E, y* E*, < x, y* > = < Id_E(x) , y* > = < x , Id_E*(y*) >. Donc ^t(Id_E) = Id_E*. (III)

d) Soient E et E' deux K-ev isomorphes, u un isomorphisme de E sur E'. Il existe donc un isomorphisme v de E' sur E tel que : u _° v = Id_E' et v _° u = Id_E. Les propriétés précédentes donnent par transposition :
^tv _° ^tu = Id_(E')* et ^tu _° ^tv = Id_E*. Donc : u isomorphisme de E sur E' ^tu isomorphisme de E' sur E. (IV).
En particulier, si E = E', on en déduit que : ^t( u^-1 ) = ( ^tu )^-1 (V).

III - 4 - 3. Comparaison entre certains sous-espaces

Soient u un élément de (E₁ , E₂), et F un sev de E₁. Alors, l'orthogonal de F : F° est un sev de (E₁)*. Il est donc intéressant de regarder les correspondances. (Un schéma sagittal est très conseillé).
F E₁ u(F) E₂ (u(F))° (E₂)*. Par ailleurs, F° (E₁)* ^tu^-1(F°) (E₂)*. Il est donc naturel de vouloir comparer dans (E₂)* les deux sous-espaces : (u(F))° et ^tu^-1(F°).
y* (u(F))° z u(F), < z , y* > = 0. Or, z u(F), il existe x F tel que z = u(x). Ainsi, nous aurons donc : x F, < u(x) , y* > = 0. Or, x F, < u(x) , y* > = 0 x F, < x , ^tu(y*) > = 0. Cette dernière égalité signifie que : y* (u(F))° y* ^tu^-1(F°).
Conséquences :
Prenons F = E₁, alors, d'une part u(F) = u(E₁) = Im(u), d'autre part (F)° = (E₁)° = {O₁*} (forme nulle sur E₁). Enfin, par définition, ^tu^-1({O₁*}) = Ker( ^tu ). D'où : (Im(u))° = Ker( ^tu ). Supposons maintenant que u soit surjective, c'est-à-dire Im(u) = E₂, alors : (Im(u))° = (E₂)° = {O₂*} = Ker( ^tu ). Donc ^tu est injective.

III - 4 - 4. Passage aux quotients

Rappelons que si E est un K-ev et F un sev de E, la relation définie dans E par : x y x - y F, est une relation d'équivalence dans E. La classe de tout élément x est = {x + ?, ? F} = x + F. L'ensemble de ces classes se note E/F. On peut alors munir E/F d'une structure de K-ev en posant et a. = .
L'application linéaire surjective : E E/F définie par (x) = est appelée la surjection canonique.
Cela étant, il existe un théorème universel très utile dans la pratique.
Soient E un K-ev, F un sev de E. Nous savons que F°, orthogonal de F, est le sev de E* constitué des formes linéaires f telles que F Ker(f). Appliquons le théorème III - 17 à tout élément f de F°. Considérons la surjection canonique : E E/F. D'après le théorème III - 16, sa transposée ^t : (E/F)* E* est injective. Donc, par le théorème III - 17, (E/F)* est isomorphe à Im(^t ). Mais cette propriété étant vraie pour tout élément f de F°, on a Im(^t ) = F°. Conclusion :

III - 5. Etude en dimensions finies

III - 5 - 1. Introduction

Dans toute la suite, nous allons travailler dans des K-ev de dimensions finies strictement positives. Nous savons d'après le chapitre I que cela entraine des résultats remarquables.
dim(E) = dim(E*) = dim(E**) (théorème I - 1)
E et E** sont canoniquement isomorphes (théorème I - 3). Cet isomorphisme T de E sur E** étant défini par : pour tout x dans E, pour tout y* dans E*, < y* , T(x) > = < x , y* >. On peut se permettre d'identifier E et E** en confondant x et T(x).
La présence de bases duales.
Enfin, dans le chapitre III, nous avons donné la dimension commune à tous les hyperplans de E : si dim(E) = n > 0, tout hyperplan H a pour dimension n-1.

III - 5 - 2. Dimension de l'orthogonal

Soient E un K-ev de dimension n > 0, F un sev de E, dim(F) = p.
Si p = 0, F = {0_E} F° = {0_E}° = E*. Donc, dim(F°) = n
Si p = n, F = E F° = E° = {O*}. Donc, dim(F°) = 0
Si 0 < p < n, soit B_F = (e₁ , ... , e_p) une base de F complétée pour former une base de E, B_E = (e₁ , ... , e_n). Considérons la base duale de B_E : (B_E)* = (e₁* , ... , e_n*).
f F° f [vec((e₁ , ... , e_p)]° = {e₁ , ... , e_p}° j, 1 < j < p, < f , e_j > = 0. Or, nous savons (théorème I - 5) que les scalaires < f , e_j > sont les coordonnées de f sur (B_E)*. Donc, f F° f = a_p+1.e_p+1* + ... + a_n.e_n*. Cela signifie que F° = vec(e_p+1* , ... , e_n*). Ceci montre que dim(F°) = n-p.
Ce résultat va enfin nous permettre de comparer sans trop de difficulté les deux sev de E : F et °(F°) du théorème III - 12. En effet, on a déjà F °(F°). D'autre part, dim[°(F°)] = codim(F°) = dim(F). Donc, en dimension finie, on a bien F = °(F°). Rappelons que cela induit : F° = (°(F°))°

III - 5 - 3. Quelques conséquences

E un K-ev de dimension n > 0, G un sev du dual E*. Nous savons que °G est un sev de E et que G° est un sev de E**. En dimensions non finies il était délicat de comparer les trois sev de E* : G, (°G)° et °(G°).
x** G° y* G, < y* , x** > = 0 y* G, < y* , T(x) > = 0 T(x) G°.
Donc, G° = T(°G) : G° et °G sont canoniquement isomorphes. De plus, le théorème III - 19 appliqué à E* nous donne dim(G°) = dim(E*) - dim(G) = dim(E) - dim(G). D'où : dim(°G) = dim(G°) = dim(E) - dim(G) = codim(G). On remarquera la symétrie entre E et E** par rapport à E*. Certains auteurs appelle cette propriété l'effet miroir. Si l'on identifie E et E**, on peut alors confondre °G avec G°, ce qui revient à replier autour de E* le schéma : E ? E* ? E** qui transmet : °G ? G ? G°. Finalement, en identifiant E et E**, on peut se dispenser de distinguer °G et G°.
Soit G un sev de E*, °G son orthogonal dans E, (°G)° l'orthogonal de °G dans E*. On dispose ainsi de deux sev de E* : G et (°G)°. Pour les dimensions : dim((°G)°) = codim(codim(G)) = dim(G). Pour une inclusion : f G x °G, < x , f > = 0 x (°G)°. On en déduit que G = (°G)°.
Soit G un sev de E*, G° son orthogonal dans E**, °(G°) l'orthogonal de G° dans E*. On a donc encore deux sev de E* : G et °(G°). Pour les dimensions : dim(°(G°)) = codim(codim(G)) = dim(G). Pour une inclusion : f G F G°, < f , F > = 0 f °(G°). On en déduit que G = °(G°).

III - 5 - 4 - Double transposition

Soient E₁ et E₂ deux K-ev de dimensions finies n₁ et n₂, u (E₁ , E₂). On sait qu'alors ^tu (E₂* , E₁*). On peut également considérer ^t(^tu) (E₁** , E₂**). Appelons T₁ : E₁ E₁** et T₂ : E₂ E₂** les isomorphismes canoniques. Nous avons, x₁ E₁, y₂* E₂* :
< y₂* , ^t(^tu) _° T₁(x) > = < ^tu(y₂*) , T₁(x₁) > = < x₁ , ^tu(y₂*) > = < u(x₁) , y₂* >
< y₂* , T_{2 °} u(x₁) > = < u(x₁) , y₂* >
On en déduit que ^t(^tu) _° T₁ = T_{2 °} u. Donc que : ^t(^tu) = T_{2 °} u _° (T₁)^-1.
Ceci montre que si l'on identifie E₁ et E₂ avec leurs biduaux, on a ^t(^tu) = u.

III - 5 - 5. Etude de la transposée

Rappelons que E₁ et E₂ étant deux K-ev, u un élément de (E₁ , E₂), y* un élément quelconque de (E₂)*, la transposée de u est l'élément ^tu de ((E₂)*, (E₁)*) défini par : y* (E₂)*, ^tu(y*) = y*_° u. Tout ce qui a été vu en dimensions quelconques reste naturellement valable. En particulier, nous savons déjà que : Ker(^tu) = (Im(u))°.

a) Appelons n₁ et n₂ les dimensions de E₁ et E₂. Dans (E₂)*, dim[(Im(u))°] = codim(Im(u)) = n₂ - rg(u). D'autre part, toujours dans (E₂)*, dim(Ker(^tu)) = n₂ - rg(^tu). Conclusion : rg(^tu) = rg(u).

b) Im(^tu) et (Ker(u))° sont deux sev de (E₁)*. D'abord, il est simple de vérifier que ces deux sev de E₁* ont même dimension. Montrons une inclusion. x* Im(^tu) il existe y* (E₂)* tel que x* = ^tu(y*). Alors,x Ker(u) : < x , x* > = < x , ^tu(y*) > = < u(x) , y* > = < 0(E₂) , y* > = 0. Donc, x* Im(^tu) x* (Ker(u))°. Ceci montre que Im(^tu) = (Ker(u))°.


c) Posons dim(E₁) = p, dim(E₂) = q et munissons E₁ et E₂ de bases B₁ = (a₁ , ... , a_p) et B₂ = (b₁ , ... , b_q). Nous munissons E₁* et E₂* des bases duales correspondantes. (B₁)* = (a₁* , ... , a_p*) et (B₂)* = (b₁* , ... , b_q*). Soient A = Mat(u, B₁, B₂) = (a_ij), et A' = Mat( ^tu, (B₂)*, (B₁)*) = (b_ij). Nous savons que a_ij est la coordonnée n°i du vecteur colonne n°j. Cela signifie que a_ij = < u(a_j) , b_i* >.
Si nous adaptons ce résultat à A', en notant (B₁)** = (a₁** , ... , a_p**) la base duale de (B₁)* dans E₁**, cela donne : b_ij = < ^tu(b_j*) , a_i** >. En identifiant E₁ et son bidual, b_ij = < a_i , ^tu(b_j*) > = < u(a_i) , b_j* > = a_ji.

III - 5 - 6. Conclusion

Comme nous le voyons, les propriétés concernant la dualité sont très étendues. Ce chapitre III a donné quelques pistes pour faire face à la plupart des questions concernant cette théorie.
Dans un chapitre IV on trouvera quelques exercices portant sur la dualité.
Il faut savoir que la dualité est également omniprésente en analyse : formes différentielles, mesures, distributions... Cependant, les formes linéaires utilisées sont continues ou ont des restrictions continues. L'espace des formes linéaires continues sur un R ou un C-espace vectoriel topologique E s'appelle le dual topologique de E.