Fiche de mathématiques

Ensemble et Application (Partie 1)

I. Théorie des ensembles

a) Egalité

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On dit que $E$ est égal à $F$ et on note $E=F$ si : $\forall x \in E \Longleftrightarrow x \in F$

b) Inclusion

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On dit que $E$ est inclus dans $F$ et on note $E \subset F$ si : $\forall x \; \text{ : } \; x \in E \Rightarrow x \in F$
Ensemble et application Partie I : image 1

Ensemble et application Partie I : image 1

Remarque :
$E = F \Leftrightarrow (E \subset F \text{ et } F \subset E)$

c)Intersection

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On appelle intersection de $E$ et $F$ et on note $E \cap F$ la partie des élements qui sont à la fois dans $E$ et dans $F$ .
On a donc $E \cap F = \lbrace x / x \in F \text{ et } x \in E \rbrace$
Ensemble et application Partie I : image 2

Ensemble et application Partie I : image 2

Propriété :

Soient $E$ , $F$ et $G$ trois ensembles :

$E \subset F \Longleftrightarrow E \cap F = E$
$(E \cap F) \cap G = E \cap( F \cap G)$

d) Réunion

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On appelle réunion de $E$ et $F$ et on note $E \cup F$ l'ensemble $\lbrace x / x \in E \text{ ou } x \in F\rbrace$

Propriété :

Soient $E$ , $F$ et $G$ trois ensembles :

$E \subset F \Longleftrightarrow E \cup F = F$
$(E \cup F) \cup G = E \cup (F\cup G)$
$E\cap (F\cup G) = (E\cap F)\cup (E \cap G)$
$E \cup (F \cap G) = (E \cup F) \cap (E \cup G)$

e) Différence

Soit $E$ un ensemble, $A$ et $B$ deux parties de $E$ .
On appelle différence de $A$ et $B$ et on note $A \backslash B$ l'ensemble $A \backslash B = \lbrace x \in E / x \in A \text{ et } x \not \in B \rbrace$

Propriété :

$A \subset B \Longleftrightarrow A \backslash B = \emptyset$

f) Complémentaire

Soit $E$ un ensemble, $A$ une partie de $E$ .
On appelle complémentaire de $A$ dans $E$ et on note $C^A_{E}$ l'ensemble $\lbrace x \in E$ / $x \not \in A \rbrace$

g) Différence symétrique

Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
On appelle différence symétrique et on note $A \triangle B$ l'ensemble définie par : $A \triangle B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$

Propriétés :

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois ensembles :

$A \triangle A = \emptyset$
$A \triangle B = ( A \cup B) \backslash (A \cap B)$
$A \cap(B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A\cap C)$

II. Ensemble des parties d'un ensemble

Soit $E$ un ensemble.
L'ensemble des parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$ et on a : $\mathcal{P }(E) = \lbrace A / A \subset E\rbrace$
On a donc $A \in \mathcal{P }(E) \Longleftrightarrow A \subset E$

Exemple :
Soit $E = \lbrace a ,b,c \rbrace$
On a alors : $\mathcal{P}(E) = \lbrace \emptyset , \lbrace a\rbrace , \lbrace b\rbrace , \lbrace c\rbrace , \lbrace a,b\rbrace , \lbrace a,c\rbrace , \lbrace c,b\rbrace , \lbrace a,b,c\rbrace \rbrace$

III. Produit Cartésien

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, on définit le produit cartésien qu'on notera $E \times F$ l'ensemble : $E \times F = \lbrace (a,b) / a \in E , b \in F \rbrace$
Et on convient : si l'un des ensembles est vide alors : $E \times F = \emptyset$

Merci à Panter

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