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Ensemble et Application (Partie 2)

I. Fonction - Application

a) Graphe - Correspondance

Soient et deux ensembles.
On appelle graphe toute partie de et on appelle correspondance tout triplet tel que est un graphe de .

Exemple :
Soit et .
On a alors : est un graphe de et est une correspondance.

b) Fonction

Soient et deux ensembles, et est un graphe de .
est appelé fonction si pour tout , il existe au plus tel que .

Exemple :
Dans l'exemple précédent, n'est pas une fonction car pour , les couples et appartiennent tout les deux à .

Vocabulaire :
Si est une fonction :

• est appelé l'ensemble de Départ
• est appelé l'ensemble d'Arrivée
• L'ensemble est appelé Domaine de définition de la fonction.
• L'ensemble est appelé Ensemble image.

c) Application

Une application est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de départ, elle sera notée par :

• est appelé image de par l'application .
• est appelé antécédent de par .

Exemple :
Soient et deux applications, on a :
car

d) Restriction et prolongement

Soient et deux ensembles, soit , soit une application, soit une autre application définie par : ,
est appelée restriction de sur et on note :
Soient trois ensembles tels que : , soit deux applications définies respectivement sur et sur par : et ,
on dit que est un prolongement de si :

e) Composition de deux applications :

Soient trois ensembles, soient et deux applications.
L'application définie par : est appelée composé de et et on note : .

Remarque :
Généralement : , mais il y a des exceptions (l'application constante par exemple).

Exemple :
et
Déterminons :
On a :

II. Image Directe - Image Réciproque

a) Définition

Soient et deux ensembles, et et , et soit une application.

• L'ensemble est appelé image directe de et est noté .
• L'ensemble est appelé image réciproque de par et est noté

On a : et

Exemple :
Soit : et ,

b) Partie stable - Partie invariante

Soit un ensemble, une application, soit .

• On dit que est stable par si .
• On dit que est invariante par si : .

Remarque : toute partie invariante est stable.

III. Injection - Surjection - Bijection

a) Injection

Soient et deux ensembles et soit une application.
On dit que est injective (une injection) si :
ce qui est équivaut à dire :

b) Surjection :

Soient et deux ensembles, et soit une application.
On dit que est surjective (une surjection) si :
ce qui est équivaut à dire :

c) Bijection

Soient et deux ensembles, une application.
On dit que est bijective (une bijection) si elle est à la fois une injection et une surjection.

Exemple :

Soit
donc est injective.
Soit ,
donc est surjective.
Puisque est à la fois injective et surjective, alors elle est bijective.

d) Bijection réciproque

e) Bijection involutive

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