Fiche de mathématiques

Espaces affines

I. Définitions et notations

Soient $\cal E$ un ensemble et $E$ un espace vectoriel réel. Une structure d'espace affine sur $\cal E$ de direction $E$ est une opération du groupe additif de $E$ sur l'ensemble $\cal E$ qui vérifie un axiome supplémentaire. Les éléments de $\cal E$ sont appelés les points et sont notés par des majuscules. Les éléments de $E$ sont des vecteurs et sont notés par des lettres surmontées de flèches. Par exemple, l'élément neutre de l'addition de $E$ est noté $\overrightarrow{0}$ . L'opération est notée $+$ . Ceci signifie que pour tout $(A \, , \, \vec v) \in {\cal E} \times E$ , on a défini un élément $A + \vec v \in{\cal E}$ . Cette opération vérifie d'abord les axiomes usuels
(i) $(\forall A \in {\cal E}) \: A + \overrightarrow{0} = A$
(ii) $\left(\forall A \in \cal{E}\right) \, (\forall (\overrightarrow{v} \, , \, \overrightarrow{w}) \in E^2) \; A + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (A + \vec v) + \vec w$
et on impose en plus
(iii) $(\forall (A \, , \, B) \in {\cal E}^2) \; (\exists ! \overrightarrow{v} \in E) \; A + \overrightarrow{v} = B$
L'unique vecteur $\overrightarrow{v}$ tel que $A + \overrightarrow{v} \, = \, B$ est noté $\overrightarrow{AB}$ .
Soit $\overrightarrow{v} \in E$ . L'application $t_{\vec v} \: : \: {\cal{E}} \to {\cal{E}}$ définie par $t_{\vec v}(A) \: = \: A + \overrightarrow{v}$ est appelée la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ . Les translations sont bijectives et vérifient pour $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ vecteurs de $E$ , $t_{\overrightarrow{v}} \circ t_{\overrightarrow{w}} = t_{\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}} = t_{\overrightarrow{w}} \circ t_{\overrightarrow{v}} \hspace{25pt} t_{\overrightarrow{0}} = Id_{\cal{E}} \hspace{25pt} t_{\overrightarrow{v}}^{-1} = t_{-\overrightarrow{v}}$
Si $E$ est de dimension finie $n$ , on dit que l'espace affine $\cal{E}$ est de dimension $n$ et on ecrit $\dim{\cal{E}} = n$ .
Un espace vectoriel $E$ est muni naturellement d'une structure affine de direction $E$ en le faisant opérer sur lui-même par sa propre addition. Ainsi, sur $\mathbb{R}^n$ il existe une structure standard d'espace affine de direction $\mathbb{R}^n$ mais il faut être conscient du fait qu'un élément de $\mathbb{R}^n$ est parfois regardé comme un point et parfois comme un vecteur.

Règles de calcul :

Dans un espace affine $\cal{E}$ de direction $E$ , on a
$(\forall (A \, , \, B \, , \, C) \in{\cal{E}}^3) \: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles)
$(\forall A \in {\cal{E}}) \; \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} \: \text{ et } \: (\forall (A \, , \,B) \in{\cal{E}}^2) \: \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$
$(\forall (A \, , \, B \, , \, C \, , \, D) \in {\cal{E}}^4) \: (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD})$ (règle du parallélogramme)

Soit $\cal{E}$ , un espace affine de dimension $n$ et de direction $E$ .
Si $\left(\overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right)$ est une base de $E$ et si $A$ est un point de $\cal{E}$ , pour tout point $M \: \in \cal{E}$ , il existe une et une seule famille $\left(x_1 \, , \, \cdots \, , \ x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ telle que $M = A + x_1 \overrightarrow{e_1} + \cdots + x_n \overrightarrow{e_n}$
On dit que $\left(A \, , \, \overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right)$ est un repère cartésien de $\cal{E}$ et que $x_1 \, , \, \cdots \, , \ x_n$ sont les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $\left(A \, , \, \overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right)$ .
On dit que des points $A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n$ forment un repère affine de $\cal{E}$ si et seulement si $(A_0 \, , \, \overrightarrow{A_0A_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{A_0A_n})$ est un repère cartésien de ${\cal{E}}$ . Si c'est le cas, tout point $M$ s'écrit de manière unique $M = A_0 + x_1 \overrightarrow{A_0A_1} + \cdots + x_n \overrightarrow{A_0A_n}$
Si $\left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right)$ est un repère affine de $\cal{E}$ et si $\sigma$ est une permutation de $\lbrace 0 \, , \, \cdots \, , \, n \rbrace$ , alors $\left(A_{\sigma(0)} \, , \, \cdots \, , \, A_{\sigma(n)}\right)$ est encore un repère affine de ${\cal{E}}$ .
Un point pondéré de $\cal{E}$ est un couple $(A \, , \, t) \in \cal{E} \times \mathbb{R}$ . Soient $\left(A_1 \, , \, t_1\right) \, \cdots \, \left(A_m \, , \, t_m\right)$ des points pondérés tels que $t_1 + \cdots + t_m \neq 0$ . Alors il existe un et un seul point $G \in \cal{E}$ tel que $t_1 \overrightarrow{GA_1} + \cdots + t_m\overrightarrow{GA_m} = \overrightarrow{0}$ . Le point $G$ est le barycentre de la famille $\left(A_1 \, , \, t_1\right) \, \cdots \, \left(A_m \, , \, t_m\right)$ . On le note $G = bar\left(\left(A_1 \, , \, t_1\right) \, , \, \cdots \, , \, \left(A_m \, , \, t_m\right)\right)$ et on a pour tout $M \in \cal{E}$ $\overrightarrow{MG} = \frac{t_1}{t_1 + \cdots + t_m} \overrightarrow{MA_1} + \cdots + \frac{t_m}{t_1 + \cdots + t_m}\overrightarrow{MA_m}$ Il est clair que si on remplace $t_1 \, , \, \cdots \, , \, t_m$ par $ut_1 \, , \, \cdots \, , \, ut_m$ où $u \in \mathbb{R}^*$ , on ne change pas le point $G$ . On peut donc éventuellement choisir $t_1 \, , \, \cdots \, , \, t_m$ de manière à ce que $t_1 + \cdots + t_m = 1$ . Si $t_1 = \cdots = t_m \neq 0$ , on dit que $G$ est l'isobarycentre des points $A_1 \, , \, \cdots \, , \, A_m$ .

Soit $\left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right)$ un repère affine. Pour chaque point $M \in \cal{E}$ , il existe une famille unique $\left(t_0 \, , \, \cdots \, , \, t_n\right) \in \mathbb{R}^{n+1}$ telle que $t_0 + \cdots + t_n = 1$ et que $M$ soit le barycentre de la famille de points pondérés $\left(A_0 \, , \, t_0\right) \, , \, \cdots \, , \, \left(A_n \, , \, t_n\right)$ . On a donc $t_0 \overrightarrow{MA_0} + \cdots + t_n \overrightarrow{MA_n} = \overrightarrow{0}$ Les réels $t_0 \, , \, \cdots \, , \, t_n$ sont les coordonnées barycentriques du point $M$ dans le repère affine $\left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right)$ .

Associativité des barycentres :

On donne pour $1 \leq i \leq m$ des familles de points pondérés $\left(A_{1,i} \, , \, t_{1,i}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_i,i} \, , \, t_{k_i,i}\right)$ telles que $t_{1,i} + \cdots + t_{k_i,i} \neq 0$ ; pour chaque $i$ on pose $G_i = bar\left((A_{1,i} \, , \, t_{1,i}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_i,i},t_{k_i,i})\right) \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} u_i = t_{1,i} + \cdots + t_{k_i,i}$ Alors, si $u_1 + \cdots + u_m \neq 0$ , le barycentre de la famille $(G_1,u_1) \, , \, \cdots \, , \, (G_m,u_m)$ est égal au barycentre de la famille $(A_{1,1},t_{1,1}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_1,1},t_{k_1,1}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{1,2},t_{1,2}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{1,m},t_{1,m}) \, , \, \cdots,(A_{k_m,m},t_{k_m,m})$

II. Sous-espaces affines

Soient $\cal{E}$ un espace affine de dimension $n$ et de direction $E$ et $\cal{F}$ une partie de $\cal{E}$ . Pour chaque $A \in \cal{F}$ on pose $F_A = \lbrace \overrightarrow{v} \in E \mid A + \overrightarrow{v} \in \cal{F}\rbrace$ .
S'il existe $A \in \cal{F}$ tel que $F_A$ soit un sous-espace vectoriel de $E$ , on montre que pour tout $B \in \cal{F}$ on a $F_B = F_A$ et que l'opération de $F_A$ sur $\cal{F}$ induite par l'opération de $E$ sur $\cal{E}$ munit $\cal{F}$ d'une structure d'espace affine de direction $F_A$ .
Soient $\cal{F}$ une partie non vide de $\cal{E}$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On dit que $\cal{F}$ est un sous-espace affine de $\cal{E}$ de direction $F$ si et seulement s'il existe $A \in \cal{F}$ tel que $F_A = F$ (et alors $F_B = F$ pour tout $B \in \cal{F})$ . On a alors $\dim \cal{F} = \dim F$ et pour tout point $A \in \cal{F}$ on a $\cal{F} = \lbrace A + \overrightarrow{v} \mid \overrightarrow{v} \in F\rbrace$

Un sous-espace affine de dimension 0 est un point. Un sous-espace affine de dimension 1 est une droite affine. Un sous-espace affine de dimension 2 est un plan affine. On convient que l'ensemble vide $\empty$ est un sous-espace affine dont on ne définit ni la direction ni la dimension.

Proposition :

Une partie non vide $\cal{F}$ de $\cal{E}$ est un sous-espace affine si et seulement si pour toute famille $(A_i)_{1\leq i\leq m}$ de points de $\cal{F}$ et pour toute famille $(t_i)_{1\leq i\leq m}$ de réels telle que $t_1 + \cdots + t_m \neq 0$ , on a $bar((A_1 \, , \, t_1) \, , \, \cdots \, , \, (A_m,t_m)) \in \cal{F}$ .

Si $\left(\cal{F}_i\right)_{i\in I}$ est une famille de sous-espaces affines non vides de directions respectives $F_i$ , alors $\cal{F} = \bigcap \displaystyle \limits_{i \in I} \cal{F}_i$ est un sous-espace affine ; si $\cal{F}$ est non vide, sa direction est $\bigcap \displaystyle \limits_{i\in I} F_i$ .
Chaque partie $X$ de $\cal{E}$ est donc contenue dans un plus petit sous-espace affine qui est le sous-espace affine engendré par $X$ et que l'on note $\langle X \rangle$ . Il est clair que $\langle X \rangle$ est l'ensemble de tous les barycentres de familles de points de $X$ .
Soient $A \, , \, B$ deux points distincts d'un espace affine ${\cal{E}}$ . Alors $\langle A \, , \, B \rangle = \cal{D} = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t \in \mathbb{R} \rbrace = \lbrace bar((A,t) \, , \, (B,u)) \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}^2 \text{ et } t + u \neq 0\rbrace$ et ${\cal{D}$ est l'unique droite affine qui contient $A$ et $B$ . Il nous arrivera de noter cette droite simplement AB. Sa direction est $D = \lbrace t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t \in \mathbb{R}\rbrace$ . On définit le segment [AB] par $[AB] = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t\in [0,1]\rbrace = \lbrace bar((A,t) \, , \, (B,u)) \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \text{ et } t+u \neq 0\rbrace$ L'isobarycentre G de A et B, est appelé le milieu du segment [AB].

Soient A, B, C trois points distincts d'une droite affine ${\cal{D}$ de direction $D$ et soit $\overrightarrow{v}$ un vecteur non nul de $D$ . Alors il existe des réels $t$ et $u$ tels que $\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AC} = u\overrightarrow{v}$ . On note $\bar{AB} = t \text{ et } \bar{AC} = u$ les "longueurs algébriques" des segments [AB] et [AC]. Bien entendu, cette notation est abusive, puisqu'elle dépend du choix de $\overrightarrow{v}$ . En revanche, le nombre réel $\frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}$ ne dépend pas du choix de $\overrightarrow{v}$ et peut donc être utilisé sans préciser $\overrightarrow{v}$ .
Soit $\cal{E}$ est un espace affine de dimension supérieure à 2. On appelle triangle $ABC$ la donnée de 3 points distincts $A \, , \, B \, , \, C$ non alignés (c'est-à-dire tels que $C \notin AB$ ). Les points $A \, , \, B \, , \, C$ sont les sommets du triangle et les segments $[AB] \, , \, [BC] \text{ et } [AC]$ sont les côtés du triangle. Alors $\langle A \, , \, B \, , \, C \rangle = \cal{P} = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} + u\overrightarrow{AC} \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}^2\rbrace$
et $\cal{P}$ est l'unique plan affine contenant le triangle $ABC$ . L'isobarycentre des sommets $A \, , \, B \, , \, C$ d'un triangle est son centre de gravité.

Définition :

Deux sous-espaces affines $\cal{F}_1$ et $\cal{F}_2$ sont parallèles si et seulement s'ils ont la même direction $F$ . On note $\cal{F}_1 // \cal{F}_2$ .

Remarquons tout de suite que deux sous-espaces affines parallèles ont la même dimension. (En particulier, une droite et un plan ne sont jamais parallèles.)

Voici quelques propriétés générales:
Deux sous-espaces affines parallèles sont égaux ou disjoints.
Soient $\cal{F}_1$ et $\cal{F}_2$ deux sous-espaces affines. Alors $\cal{F}_1 // \cal{F}_2 \: \Longleftrightarrow \: \left(\exists \overrightarrow{v} \in E\right) \: \left(\cal{F}_2 = t_{\overrightarrow{v}} (\cal{F}_1))$ Soient $\cal{F}$ un sous-espace affine et $M$ un point. Alors il existe un et un seul sous-espace affine $\cal{F}'$ tel que $M \in \cal{F}'$ et $\cal{F} // \cal{F}'$ ; si $M \in \cal{F}$ , on a $\cal{F}' = \cal{F}$ .
Dans $\mathbb{R}^2$ l'intersection de deux droites affines non parallèles est un singleton.

III. Applications affines

Soient $\cal{E}$ et $\cal{E}'$ des espaces affines de directions $E$ et $E'$ et soit $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}'$ une application. Pour chaque $A \in \cal{E}$ , on définit $\vec f_A \: : \: E \to E'$ par $\overrightarrow{f}_A(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{f(A)f(A+\vec v)}$ . On démontre que s'il existe $A$ tel que $\overrightarrow{f}_A$ soit une application linéaire, on a $\overrightarrow{f}_A = \overrightarrow{f}_B$ pour tout $B \in \cal{E}$ .

Soient $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E'}$ une application et $\overrightarrow{f} \: : \: E \to E'$ une application linéaire. On dit que $f$ est une application affine dirigée par $\overrightarrow{f}$ si et seulement s'il existe $A \in \cal{E}$ tel que $\overrightarrow{f}_A = \overrightarrow{f}$ (et alors $\overrightarrow{f}_B = \overrightarrow{f}$ pour tout $B \in \cal{E}$ ).

Si $f$ est affine dirigée par $\overrightarrow{f}$ , on a pour tout $A \in \cal{E}$ et tout $M \in \cal{E}$ $f(M) = f(A) + \overrightarrow{f}(\overrightarrow{AM})$ ou encore $\overrightarrow{f(A)f(M)} = \overrightarrow{f}(\overrightarrow{AM})$
et ceci équivaut à $(\forall \overrightarrow{v} \in E) \: f \circ t_{\overrightarrow{v}} = t_{\overrightarrow{f}(\overrightarrow{v})} \circ f$

On note $\cal{L}(E,E')$ l'espace vectoriel des applications linéaires de $E$ dans $E'$ et $\cal{A}(\cal{E}\, , \, \cal{E}')$ l'ensemble des applications affines de $\cal{E}$ dans ${\cal{E}'$ . De plus, on pose $\begin{array}{lll} \cal{L}(E) = \cal{L}(E,E) & \: \: & GL(E) = \lbrace \varphi \in \cal{L}(E) \: \mid \: \varphi \text{ bijective}\rbrace \\ \cal{A}(\cal{E}) = \cal{A}(\cal{E},\cal{E}) & & GA(\cal{E}) = \lbrace f \in \cal{A}(\cal{E}) \: \mid \: f \text{ bijective}\rbrace \end{array}$

Proposition :

Une application $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}'$ est affine si et seulement si pour toute famille $(A_i \, , \, t_i)_{1 \leq i \leq m}$ de points pondérés de $\cal{E}$ telle que $t_1 + \cdots + t_m \neq 0$ , on a $f(bar((A_i \, , \, t_i)_{1\leq i\leq m})) = bar((f(A_i) \, , \, t_i)_{1\leq i\leq m})$

Propriétés d'une application affine :
Soit $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}'$ une application affine.
Si $\cal{F}$ est un sous-espace affine non vide de $\cal{E}$ de direction $F$ , alors $f({\cal{F})$ est un sous-espace affine de $\cal{E}'$ de direction $\overrightarrow{f}(F)$ . Si $\cal{G}$ est un sous-espace de $\cal{E}$ qui est parallèle à $\cal{F}$ , alors $f(\cal{F}) // f(\cal{G})$ .
Si $A$ et $B$ sont des points de $\cal{E}$ , on a $f\left([A \, , \, B]\right) = \left[f(A) \, , \, f(B)\right]$ .
Si $A \, , \, B \, , \, C$ sont des points distincts alignés de $\cal{E}$ , les points $f(A) \, , \, f(B) \, , \, f(C)$ sont alignés dans $\cal{E}'$ ; de plus, si les points $f(A) \, , \, f(B)$ et $f(C)$ sont distincts, on a $\frac{\bar{f(A)f(B)}}{\bar{f(A)f(C)}} = \frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}$ (on dit qu'une application affine conserve le rapport des longueurs algébriques).
Si $\cal{F}'$ est un sous-espace affine non vide de $\cal{E}'$ de direction $F'$ , alors $f^{-1}(\cal{F}')$ est un sous-espace affine de $\cal{E}$ qui, s'il est non vide, a pour direction $\overrightarrow{f}^{-1}(F')$ . En particulier, si $M'$ est un point de $\cal{E}'$ , alors $f^{-1}(M')$ est ou bien le sous-espace vide, ou bien un sous-espace affine de direction $\ker \overrightarrow{f}$ .
Soient $\cal{F}'$ et $\cal{G}'$ des sous-espaces affines non vides de $\cal{E}'$ ; on a $\cal{F}' // \cal{G}' \: \text{ et } \: f^{-1}(\cal{F}') \neq \emptyset \: \text{ et } \: f^{-1}(\cal{G}') \neq \emptyset \: \Longrightarrow \: f^{-1}(\cal{F}') // f^{-1}(\cal{G}')$

Règles de calcul :

Soient $\cal{E} \, , \, \cal{E}' \, \text{ et } \cal{E}^{\prim \prim}$ des espaces affines de directions repectives $E \, , \, E' \, , \, E^{\prim \prim}$ et soient $f \in \cal{A}(\cal{E} \, , \, \cal{E})'$ et $g \in \cal{A}(\cal{E}' \, , \, \cal{E}^{\prim \prim})$ . On a alors
(i) $g \circ f \in \cal{A}(\cal{E} \, , \, \cal{E}') \text{ et } \overrightarrow{g \circ f} = \vec g \circ \vec f$
(ii) $f$ est injective (resp. surjective) si et seulement si $\overrightarrow{f}$ est injective (resp. surjective)
(iii) $f$ est bijective si et seulement si $\overrightarrow{f}$ est bijective ; si c'est le cas, $f^{-1}$ est affine et $\overrightarrow{f^{-1}} = \overrightarrow{f}^{-1}$ .

Il en résulte que $(GA(\cal{E}) \, , \, \circ)$ est un groupe ; on l'appelle le groupe affine de $\cal{E}$ .

Exemples :
Si $\varphi \in \cal{L}(E \, , \, E')$ , $A \in \cal{E}$ et $A' \in \cal{E}'$ , l'application $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}'$ définie par $f(M) = A' + \varphi(\overrightarrow{AM})$ est la seule application affine telle que $f(A) = A'$ et $\overrightarrow{f} = \varphi$ . Si $(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n)$ est un repère affine de $\cal{E}$ et si $(A'_0 \, , \, \cdots \, , \, A'_n)$ est une famille de points de $\cal{E}'$ , il existe une et une seule application affine $f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}'$ telle que $f(A_i) = A'_i$ pour $0 \leq i \leq n$ .
Pour chaque $\overrightarrow{v} \in E$ la translation $t_{\overrightarrow{v}}$ est une application affine bijective telle que $\overrightarrow{t_{\overrightarrow{v}}} = Id_E$ . De plus, si $f \in \cal{A}(E)$ est telle que $\overrightarrow{f} = Id_E$ , alors $f$ est une translation.
Soient $A \in \cal{E}$ et $\lambda \in \mathbb{R}^*$ . L'homothétie de centre $A$ et de rapport $\lambda$ est l'application $h(A \, , \, \lambda) \: : \: \cal{E} \to \cal{E}$ définie par $h(A \, , \, \lambda)(M) = A + \lambda \overrightarrow{AM}$ Il s'agit d'une application affine bijective et on a $h(A \, , \, \lambda)^{-1} = h \left(A \, , \, \frac{1}{\lambda}\right)$ .

Soient $\cal{F}$ un sous-espace affine de $\cal{E}$ de direction $F$ et soit $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ . Comme $E = F \oplus G$ , tout élément $\overrightarrow{v} \in E$ s'écrit de manière unique $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}$ avec $(\overrightarrow{v_1} \, , \, \overrightarrow{v_2}) \in F \times G$ . La projection linéaire de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est l'application $\pi \: : \: E \to F$ définie par $\pi(\overrightarrow{v}) = (\overrightarrow{v_1})$ . Soit $A \in \cal{F}$ . L'application $p \: : \: \cal{E} \to \cal{F}$ définie par $p(M) = A + \pi\left(\overrightarrow{AM}\right)$ est une application affine qui ne dépend pas du choix de $A \in \cal{F}$ et qui est appelée la projection affine sur $\cal{F}$ parallèlement à $G$ . On a $p \circ p = p$ .
Soit maintenant $\sigma \: : \: E \to E$ la symétrie vectorielle par rapport à $F$ parallèlement à $G$ , définie par $\sigma(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v_1} - \overrightarrow{v_2}$ . Soit $A\in \cal{F}$ . L'application $s \: : \: \cal{E}} \to \cal{E}$ définie par $s(M) = A + \sigma(\overrightarrow{AM})$ est une application affine qui ne dépend pas du choix de $A \in \cal{F}$ et qui est appelée la symétrie affine par rapport à $\cal{F}$ parallèlement à $G$ . On a $s \circ s = Id_{\cal{E}}$ , donc $s \in GA(\cal{E})$ .

Une application $f \: : \: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (où $\mathbb{R}$ est l'espace affine standard) est affine si et seulement si elle est de la forme $f(x) = ax+b$ avec $(a \, , \, b) \in \mathbb{R}^2$ .

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $\cal{D}$ une droite affine de direction $D$ , soit $D'$ un supplémentaire de $D$ et soient $p$ la projection sur $\cal{D}$ parallèlement à $D'$ et $s$ la symétrie par rapport à $\cal{D}$ parallèlement à $D'$ . Pour chaque $M \in \mathbb{R}^2$ , soit $\cal{D}'_M$ la droite de direction $D'$ qui passe par $M$ ; on a alors $p(M) = \cal{D} \cap \cal{D}'_M$ et $s(M) = p(M) + \overrightarrow{Mp(M)}$ .
Dans le dessin ci-dessous, $\overrightarrow{v'}$ est un vecteur non nul de $D'$ .
Espaces affines - supérieur : image 1

IV. Un peu de géométrie

Théorème :

Soient $ABC$ un triangle, $M$ le milieu de $[AB]$ , $N$ le milieu de $[BC]$ , $P$ celui de $[CA]$ et soit $G$ le centre de gravité du triangle.
Les droites $CM$ , $AN$ et $BM$ sont les médianes du triangle. Ces droites passent toutes trois par le point $G$ et l'on a $\frac{\bar{CG}}{\bar{GM}} = \frac{\bar{AG}}{\bar{GN}} = \frac{\bar{BG}}{\bar{GP}}=2$

Théorème de Thalès :

Dans $\mathbb{R}^2$ , soient $\cal{D} \, , \, \cal{D}' \, , \, \cal{D}^{\prim \prim}$ trois droites parallèles distinctes et soient $\cal{D}_1 \, , \, \cal{D}_2$ deux droites non parallèles aux premières. Pour $i \in \lbrace 1 \, , \, 2\rbrace$ soient $A_i = \cal{D} \cap \cal{D}_i$ , $A'_i = \cal{D}' \cap \cal{D}_i$ et $A_i^{\prim \prim} = \cal{D}^{\prim \prim} \cap \cal{D}_i$ . Alors on a $\frac{\bar{A_1A^{\prim \prim}_1}}{\bar{A_1A^{\prim}_1}} = \frac{\bar{A_2A^{\prim \prim}_2}}{\bar{A_2A^{\prim}_2}}$ De plus, si $B$ est un point de $\cal{D}_1$ tel que $\frac{\bar{A_1B}}{\bar{A_1A^{\prim}_1}} = \frac{\bar{A_2A^{\prim \prim}_2}}{\bar{A_2A^{\prim}_2}}$ alors $B \in \cal{D}^{\prim \prim}$ et $B = A^{\prim \prim}_1$ .

Si dans ce théorème on prend $A_1^{\prim \prim} = A_2^{\prim \prim} = \cal{D}_1 \cap \cal{D}_2$ , on trouve le corollaire suivant:
Soient $ABC$ un triangle, $A' \in [AC]$ et $B' \in [BC]$ tels que $A'$ et $B'$ ne coïncident avec aucun des sommets. On a alors $AB \, // \, A' B' \Longleftrightarrow \frac{\bar{AC}}{\bar{A' C}} = \frac{\bar{BC}}{\bar{B' C}}$
Espaces affines - supérieur : image 3

Théorème de Desargues :

Soient $ABC$ et $A' B' C'$ des triangles sans sommet commun. On suppose que $AB \, // \, A' B'$ , $BC \, // \, B' C'$ et $CA \, // \, C' A'$ .
Alors les trois droites $AA'$ , $BB'$ et $CC'$ sont ou bien parallèles, ou bien concourantes.

V. Quelques propriétés du groupe affine

Soient $\cal{E}$ un espace affine de direction $E$ et soit $GA(\cal{E})$ son groupe affine.
Si $\dim \cal{E} = 1$ , le groupe affine $GA(\cal{E})$ est isomorphe au groupe multiplicatif de matrices suivant : $\lbrace \left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & a \end{array} \right) \| (a \, , \, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} \rbrace$
Dans la suite, on suppose que $\dim \cal{E} \geq 2$ .

L'ensemble des translations $T = \lbrace t_{\overrightarrow{v}} \: \mid \: \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}\rbrace$ est un sous-groupe distingué de $GA(\cal{E})$ . L'application $\overrightarrow{v}$ fleche2

$t_{\overrightarrow{v}} \: : \: E \to T$ est un isomorphisme de $(E \, , \, +)$ sur $(T \, , \, \circ)$ .
L'application $\Phi \: : \: GA(\cal{E}) \to GL(E)$ définie par $\Phi(f) = \overrightarrow{f}$ est un morphisme surjectif de groupes, dont le noyau est $T$ . On a donc $GA(\cal{E}) \: / \: T \simeq GL(E)$

Pour chaque $A \in \cal{E}$ , l'ensemble $H_A = \lbrace h(A \, , \, \lambda) \: \mid \: \lambda \in \mathbb{R}^*\rbrace$ des homothéties de centre $A$ est un sous-groupe non distingué de $GA(\cal{E})$ , isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbb{R}^*$ . Si $A$ et $B$ sont des points, les sous-groupes $H_A$ et $H_B$ sont conjugués dans $GA(\cal{E})$ . Précisément, si on note $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BA}$ , on a $H_A = t_{\overrightarrow{v}} \, H_B \, t_{\overrightarrow{v}}^{-1}$

L'ensemble $H = \bigcup \displaystyle \limits_{A ^\in \cal{E}} H_A$ de toutes les homothéties n'est pas stable pour la composition, mais $H \cup T$ est un sous-groupe de $GA(\cal{E})$ qui est appelé le groupe des homothéties-translations et est noté $HT(\cal{E})$ . En fait on démontre qu'un élément $f$ de $GA(\cal{E})$ est dans $HT(\cal{E})$ si et seulement si pour toute droite affine $\cal{D}$ de $\cal{E}$ on a $f({\cal{D}) \, // \, \cal{D}$ .
Si $X$ est une partie de $\cal{E}$ , l'ensemble $GA_X(\cal{E}) = \lbrace f \in GA(\cal{E}) \: \mid \: f(X) = X\rbrace$ est un sous-groupe de $GA(\cal{E})$ formé des bijections affines qui laissent fixe $X$ .
Par exemple, si $X = (A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n)$ est un repère affine de $\cal{E}$ , le groupe $GA_X(\cal{E})$ est isomorphe au groupe symétrique $\cal{S}_{n+1}$ .
Si $\cal{E} = \mathbb{R}^2$ , si $m$ est un entier supérieur à 3 et si $X = \lbrace \left(\cos \frac{2k\pi}{m} \, , \, \sin \frac{2k\pi}{m} \right) \: \mid \: 0 \leq k \leq m-1 \rbrace$ alors le groupe $GA_X(\cal{E})$ est isomorphe au groupe diédral $\cal{D}_m$ .

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