Fiche de mathématiques

Espaces vectoriels et Applications linéaires - Notions d'Algèbre

I. Espaces vectoriels

1. Généralités

Définitions :

Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (l.c.i) $+$ et soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif.
On définit une application
$\begin{array}{rcccl} & &\mathbb{K} \times E&\to&E\\ & & (\lambda,x)&\mapsto &\lambda . x\end{array}$
appelée loi de composition externe (l.c.e) sur $E$ à corps d'opérateur $\mathbb{K}$ .
On dit que le triplet $(E,+,.)$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ssi

$(E,+)$ est un groupe abélien.

$\forall(x,y) \in E^2$ , $\forall(\lambda, \rho) \in \mathbb{K}^2$ on a :

$\lambda .(x+y) = \lambda.x + \lambda.y$
$\lambda.(\rho.x)=(\lambda.\rho).x$
$(\lambda+\rho).x = \lambda.x+\rho.x$
$1_{\mathbb{K}}.x=x$

Remarques :
Pour $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ( $\mathbb{K}$ -ev), les éléments de $\mathbb{K}$ sont dits des scalaires, et les éléments de $E$ sont des vecteurs, le zéro $0_{E}$ de $(E,+)$ est dit le vecteur nul de $\mathbb{K}$ -ev $E$ .

Calcul dans un espace vectoriel :
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et soit $(x,y) \in E^2$ et $(\lambda,\rho) \in \mathbb{K}^2$ , on a :

$0_{\mathbb{K}}.x=0_{\mathbb{K}}$ ; $\lambda . 0_{E} = 0_{E}$ .
$\lambda . x = 0_{E} \Leftrightarrow \lambda = 0_{\mathbb{K}}$ ou $x = 0_E$
$(\lambda - \rho ) .x = \lambda.x-\rho.x$
$\lambda.(x-y) = \lambda.x-\lambda.y$
$-(\lambda.x)=(-\lambda).x = \lambda.(-x)$

2. Sous-espace vectoriel (sev)

Définition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev , $F$ partie non vide de $E$ , on dit que $(F,+,.)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi :
$\forall (x,y) \in F^2$ , $\forall \lambda \in \mathbb{K}$ on a :
$x+y \in F \\ \lambda.x \in F$

Proposition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev, $F$ $\subset E$ .
$F$ est un sev de $E$ ssi : $F \not = \empty$ et $\forall(x,y) \in E^2$ , $\forall \lambda \in \mathbb{K}$ : $\lambda x + y \in F$
On dit alors que $F$ est stable par combinaison linéaire.

3. Intersection des sev - sev engendré par une partie

Proposition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et soit $(F_i)_{i \in I}$ avec $I \not = \empty$ une famille de sev de $E$ .
$\displaystyle \bigcap_{i \in I}^{ } F_i$ est aussi un sev de $E$

Théorème - Définition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et soit $X$ un partie de $E$ .
alors il existe un plus petit sev de $E$ qui contient $X$ appelé sous espace vectoriel engendré par $X$ et on le note $Vect(X)$ .

Remarques :

Si $X = \empty$ , alors $Vect(X) = \lbrace 0\rbrace$ .
Si $X$ est un sev de $E$ , alors : $Vect(X)=X$ .

Définition : Combinaison linéaire

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et soient $X \subset E$ une partie non vide de $E$ et $x \in E$ .
On dit que $x$ est combinaison linéaire des éléments de $X$ s'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ , $(a_1,\cdots , a_n) \in \mathbb{K}^n$ et $(x_{i_1}, \cdots , x_{i_n}) \in X^n$ tq : $x = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k x_{i_k}$ .

Proposition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et soit $X \subset E$ une partie non vide de $E$ .
Alors $Vect(X)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de $X$ .

II. Applications Linéaires

Définition :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev , $f \, : \, E \, \to \, F$ une application.
On dit que $f$ est linéaire si :

$\forall (x,y) \in E^2 : f(x+y) = f(x)+f(y)$ .
$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \forall x \in E : f(\lambda x) = \lambda f(x)$ .

Définitions :

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$ -ev et $\begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ \end{array}$ une application linéaire.

L'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $F$ est noté $\mathfrak{L} (E,F)$ .
Si $E=F$ , $f$ est appelé endomorphisme et $\mathfrak{L} (E,F)$ sera noté par $\mathfrak{E}nd (E)$ ou $\mathfrak{L}(E)$ .
Si $F=\mathbb{K}$ , $f$ est appelé forme linéaire et $\mathfrak{L} (E,F)$ sera noté $E^*$ appelé l'espace dual de $E$ .
On appelle isomorphisme toute application linéaire bijective.
On appelle automorphisme tout endomorphisme bijectif de $E$ , et on note $Aut(E)$ ou $GL(E)$ l'ensemble de tout les automorphismes de $E$ .

Remarque :
Si $f \in \mathfrak{L} (E,F)$ , alors : $f(0_E) = 0_{\mathbb{K}}$ .

Proposition :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev, $f \, : \, E \, \to \, F$ une application , on a alors :
$f \in \mathfrak{L}(E,F) \Leftrightarrow (\forall(x,y) \in E^2) , (\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2 ) \; : \; f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$

Proposition :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev, alors :

$(\mathfrak{L}(E,F) , + , .)$ est un $\mathbb{K}$ -ev.

La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Proposition :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev, $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ , et $A$ (resp. $B)$ un sev de $E$ (resp. $F)$ , alors :

$f(A)$ est un sev de $F$ .

$f^{-1}(B)$ est un sev de $E$ .

Définitions : Image - Noyau

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev, $f$ $\in \mathfrak{L}(E,F)$ .

On appelle image de l'application linéaire $f$ et on note $Im f$ le sev de $F$ : $Imf = \lbrace f(x) / x \in E\rbrace = f(E)$ .
On appelle noyau de l'application linéaire $f$ et on note $Kerf$ le sev de $E$ : $Kerf=\lbrace x \in E /f(x)=0_F } = f^{-1}(0_F)$ .

Proposition :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev et $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ , alors :
$f$ est injective $\Leftrightarrow Kerf=\lbrace 0_E\rbrace$ .

III. Somme de sous-espaces vectoriels

Définitions :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et $E_1$ et $E_2$ deux sev de $E$ .

Le sev engendré par $E_1 \cup E_2$ est appelé somme des sev $E_1$ et $E_2$ , on le note par : $E_1+E_2$ . Et on a : $x \in E_1+E_2 \Leftrightarrow \exists (x_1 , x_2) \in E_1 \times E_2 / x = x_1+x_2$ .
La somme $E_1+E_2$ est dite directe lorsque : $E_1 \cap E_2 = \lbrace 0_E\rbrace$ et on note dans ce cas : $E_1 \oplus E_2$ .
On dit que $E_1$ et $E_2$ sont supplémentaires dans $E$ si : $E = E_1 \oplus E_2$ .

Remarque :
Si $E = E_1 \oplus E_2$ , on dit que $E_1$ est supplémentaire de $E_2$ et réciproquement.

Proposition :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -ev et $E_1$ et $E_2$ deux sev de $E$ , alors on a equivalence entre :

$E = E_1 \oplus E_2$ .
$E = E_1 + E_2$ et $E_1 \cap E_2 = \lbrace 0_E\rbrace$ .
$(\forall x \in E) (\exists ! (x_1 , x_2) \in E_1 \times E_2) / x = x_1 +x_2$ .

Propriété :

Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$ -ev , $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ , $H$ un sev de $E$ et $g= f _{\backslash H}$ .
On a : $Kerg = H \cap Kerf$ .

Théorème : noyau - image :

$Imf$ est isomorphe à tout supplémentaire de $Kerf$ .

IV. Projecteurs et Symétrie vectorielle

Définition :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -ev, $F$ et $G$ deux sev de $E$ tq $E = F \oplus G$ , $(x,x_1 , x_2) \in E \times F \times G$ , et $p \: , \: q$ deux applications définies par :
$\begin{array}{rcccl} p&:&E&\to& E\\ & &x=x_1+x_2 &\mapsto &p(x)=x_1\end{array}$ et $\begin{array}{rcccl} q&:&E&\to& E\\ & &x=x_1+x_2 &\mapsto &q(x)=x_2\end{array}$
$p$ et $q$ sont bien définies car $E = F \oplus G$ , (ce n'est pas le cas si $E = F+G$ ), alors :

$p$ est appelé projection sur $F$ parallèlement à $G$ .
$q$ est appelé projection sur $G$ parallèlement à $F$ .

Propriétés :

Avec les notations de la définition prédédente, on a :
$p - q= Id_E \\ p \circ p = p \text{ et } q \circ q = q \\ p \circ q = 0 \text{ et } q \circ p = 0 \\ Im \, p = F \text{ et } Ker \, p = G \\ Im \, q =G \text{ et } Ker \, q = F$

Définition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev.

Un endomorphisme $f$ de $E$ est dit idempotent lorsque : $f \circ f = f$ .

On appelle projecteur de $E$ tout endomorphisme idempotent de $E$ .

Propriétés :

Etant donné un projecteur $p$ de $E$ , on a : $Ker \, p \oplus Im \, p = E$ .

Soit $p \in \mathfrak{L}(E)$ , $Id_E- p$ est un projecteur ssi $p$ est un projecteur.

Si $p$ est un projecteur de $E$ , alors : $Ker(Id_E-p) = Im \, p$ et $Im(Id_E-p) = Ker \, p$ .

Définition :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev.
On appelle symétrie vectorielle de $E$ tout endomorphisme $s$ de $E$ vérifiant : $s \circ s = Id_E$ .

Théorème :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev.
Si $s$ est une symétrie alors : $E = Ker(s-Id_E) \oplus Ker(s+Id_E)$ .

Remarque :
Si $s$ est une symétrie vectorielle alors - $s$ est aussi une symétrie .

Notions d'Algèbre

Définition :

Soit $A$ un ensemble non vide muni de deux l.c.i $+$ et $\times$ et d'une l.c.e $.$ sur le corps commutatif $(\mathbb{K}, + , .)$ .

est dit une -algèbre si :
- $(A,+,.)$ est un $\mathbb{K}$ -ev.
- $(A,+, \times)$ est un anneau.
- $\forall \lambda \in \mathbb{K}$ , $\forall(x,y) \in A^2 \; : \; \lambda . (x \times y ) = ( \lambda . x) \times y =x \times ( \lambda . y)$ .
Si en plus $\times$ est une loi commutative, on dit que $(A,+,.,\times)$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre commutative.

Exemples :
$\mathbb{Q}$ est une $\mathbb{Q}$ -algèbre ; $\mathbb{R}$ est une $\mathbb{R}$ -algèbre ; $\mathbb{C}$ est une $\mathbb{C}$ -algèbre.

Définition :

Soient $(A,+,.,\times)$ une $\mathbb{K}$ -algèbre et $H$ une partie de $A$ .
On dit que $H$ est une sous-algèbre de $A$ si :

$H$ est un sous-anneau de $(A,+, \times)$ .
$H$ est un sev de $(A,+,.)$ .

Définition :

Soient $(A,+,.,\times)$ et $(B, +, . , \circ )$ deux $\mathbb{K}$ -algèbre et $f \, : \, A \, \to \, B$ une application.
$f$ est dite morphisme de $\mathbb{K}$ -algèbre si :

$f(1_A) = 1_B$ .
$\forall (a,b ) \in A^2 \; : \; f(a + b) = f(a) + f(b) \text{ et } f(a \circ b ) = f(a) \circ f(b)$ .
$\forall \lambda \in \mathbb{K} \; , \; \forall a \in A \; : \; f( \lambda . a ) = \lambda . f(a)$ .

Remarque :
Une sous-algèbre $H$ d'une $\mathbb{K}$ -algèbre $(A,+,.,\times)$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre pour les lois induites par $+ \: , \; . \; \text{ et } \; \times$ .

Exemple :
$\mathbb{R}$ est une sous $\mathbb{R}$ -algèbre de la $\mathbb{R}$ -algèbre $\mathbb{C}$ .

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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