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ImprimerEspaces vectoriels et Applications linéaires - Notions d'Algèbre
I. Espaces vectoriels
1. Généralités
Définitions :
Soit
un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (l.c.i) 
et soit 
un corps commutatif.
On définit une application&\mapsto &\lambda . x\end{array})
appelée loi de composition externe (l.c.e) sur à corps d'opérateur .
On dit que le triplet)
est un -espace vectoriel ssi :
)
est un groupe abélien.
 \in E^2)
,  \in \mathbb{K}^2)
on a :
Remarques :
Soit
On définit une application
On dit que le triplet
Pour
Calcul dans un espace vectoriel :
Soit
-
;
.
-
ou
-
-
-
2. Sous-espace vectoriel (sev)
Définition :
Soit un -ev , 
partie non vide de , on dit que )
est un sous-espace vectoriel de ssi :
 \in F^2)
, 
on a :
Soit
Proposition :
Soit un -ev, 
.
est un sev de ssi : 
et , : 
On dit alors que est stable par combinaison linéaire.
Soit
On dit alors que
3. Intersection des sev - sev engendré par une partie
Proposition :
Soit un -ev et soit _{i \in I})
avec 
une famille de sev de .
est aussi un sev de
Soit
Théorème - Définition :
Soit un -ev et soit 
un partie de .
alors il existe un plus petit sev de qui contient appelé sous espace vectoriel engendré par et on le note )
.
Remarques :
Soit
alors il existe un plus petit sev de
- Si
, alors
.
- Si
.
Définition : Combinaison linéaire
Soit un -ev et soient 
une partie non vide de et 
.
On dit que
est combinaison linéaire des éléments de s'il existe 
,  \in \mathbb{K}^n)
et  \in X^n)
tq : 
.
Soit
On dit que
Proposition :
Soit un -ev et soit une partie non vide de .
Alors est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de .
Soit
Alors
II. Applications Linéaires
Définition :
Soient
deux -ev , 
une application.
On dit que
est linéaire si :
Soient
On dit que
-
.
-
.
Définitions :
Soient et deux -ev et une application linéaire.
Remarque :
Soient
- L'ensemble des applications linéaires de
.
- Si
,
ou
.
- Si
,
appelé l'espace dual de
- On appelle isomorphisme toute application linéaire bijective.
- On appelle automorphisme tout endomorphisme bijectif de
ou
l'ensemble de tout les automorphismes de
Si
Proposition :
Soient deux -ev, une application , on a alors :
 \Leftrightarrow (\forall(x,y) \in E^2) , (\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2 ) \; : \; f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y))
Soient
Proposition :
Soient deux -ev, alors :
 , + , .))
est un -ev.
La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Soient
La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Proposition :
Soient deux -ev, )
, et 
(resp. )
un sev de (resp. )
, alors :
)
est un sev de .
)
est un sev de .
Soient
Définitions : Image - Noyau
Soient deux -ev, )
.
Soient
- On appelle image de l'application linéaire
le sev de
.
- On appelle noyau de l'application linéaire
le sev de
.
Proposition :
Soient deux -ev et , alors :
est injective 
.
Soient
III. Somme de sous-espaces vectoriels
Définitions :
Soient un -ev et 
et 
deux sev de .
Remarque :
Soient
- Le sev engendré par
est appelé somme des sev
. Et on a :
.
- La somme
et on note dans ce cas :
.
- On dit que
.
Si
Proposition :
Soient un -ev et et deux sev de , alors on a equivalence entre :
Soient
-
-
et
-
.
Propriété :
Soient deux -ev , , 
un sev de et 
.
On a :
.
Soient
On a :
Théorème : noyau - image :
est isomorphe à tout supplémentaire de .
IV. Projecteurs et Symétrie vectorielle
Définition :
Soient un -ev, et 
deux sev de tq 
,  \in E \times F \times G)
, et 
deux applications définies par :
=x_1\end{array})
et =x_2\end{array})
.
et 
sont bien définies car 
, (ce n'est pas le cas si 
), alors :
Soient
-
-
Propriétés :
Avec les notations de la définition prédédente, on a :
Avec les notations de la définition prédédente, on a :
Définition :
Soit un -ev.
Un endomorphisme de est dit idempotent lorsque : 
.
On appelle projecteur de tout endomorphisme idempotent de .
Soit
Un endomorphisme On appelle projecteur de Propriétés :
Etant donné un projecteur de , on a : 
.
Soit )
, 
est un projecteur ssi est un projecteur.
Si est un projecteur de, alors :  = Imp)
et  = Kerp)
.
Etant donné un projecteur Soit Si Définition :
Soit un -ev.
On appelle symétrie vectorielle de tout endomorphisme 
de vérifiant : 
.
Soit
On appelle symétrie vectorielle de
Théorème :
Soit un -ev.
Si est une symétrie alors :  \oplus Ker(s+Id_E))
.
Remarque :
Soit
Si
Si
Définition :
Soit un ensemble non vide muni de deux l.c.i et 
et d'une l.c.e 
sur le corps commutatif )
.
Exemples :
Soit
-
est dit une
-
est un
-
est un anneau.
-
.
-
- Si en plus
Définition :
Soient une -algèbre et une partie de .
On dit que est une sous-algèbre de si :
Soient
On dit que
-
-
Définition :
Soient et )
deux -algèbre et 
une application.
est dite morphisme de -algèbre si :
Remarque :
Soient
-
.
-
.
-
.
Une sous-algèbre
Exemple :
l'île des mathématiques
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