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Compléments d'algèbre général - Notion d'idéal

Cours prérequis :

Groupes - Anneaux - Corps
Espaces vectoriels - Applications linéaires

I. Compléments sur les groupes

1. Le groupe $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ fixé)

Proposition - Définition :
La relation $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ est une relation d'équivalence, on l'appelle la congruence modulo $\text{[math]}$ .
On note cette relation par : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Propriétés :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Notation :
Soit $\text{[math]}$ , la classe d'équivalence de $\text{[math]}$ pour la relation de congruence modulo $\text{[math]}$ est notée $\text{[math]}$ (s'il n'y a pas d'ambiguité). Et on a : $\text{[math]}$ .

Propriétés :

$\text{[math]}$

Notation :
L'ensemble quotient de $\text{[math]}$ par la congruence modulo $\text{[math]}$ est noté $\text{[math]}$ et on a : $\text{[math]}$ .

Remarque :
L'application $\text{[math]}$ est surjective.

Proposition :
$\text{[math]}$

Proposition :

$\text{[math]}$ définit une L.c.i sur $\text{[math]}$ noté encore $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ muni de cette loi est un groupe abélien dont l'élément neutre est $\text{[math]}$ .

2. Sous-groupe (s.g) engendré par une partie

$\text{[math]}$ est un groupe

Rappel :
Toute intersection de sous-groupes de $\text{[math]}$ est un sous-groupes de $\text{[math]}$ .

Définition :
Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ l'ensemble de tous les sous-groupes de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ .
Le sous-groupe de $\text{[math]}$ noté $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ est appelé le sous-groupe engendré par $\text{[math]}$ .

Remarques :
1.

$\text{[math]}$ est un s.g contenant $\text{[math]}$ .

Pour tout s.g $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ , donc au sens de la relation d'ordre " $\text{[math]}$ ", $\text{[math]}$ est le plus petit s.g de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ est un s.g de $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ une partie non vide de $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ .

Cas particuliers :
1. $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Posons $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ .
Ainsi : $\text{[math]}$ .
Réciproquement : Soit $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ .
Si : $\text{[math]}$ et si : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Donc : $\text{[math]}$
Conclusion : $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est noté $\text{[math]}$ .
Comme avant : $\text{[math]}$ .

Rappels :
Soit $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est fini, on dit que $\text{[math]}$ est d'ordre fini, sinon, on dit que $\text{[math]}$ est d'ordre infini.

Si $\text{[math]}$ est d'ordre fini, on note : $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est d'ordre fini ssi il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Dans ce cas, $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est d'ordre fini $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$

Exemple :
$\text{[math]}$ .
On a : $\text{[math]}$ , ainsi, 1 et -1 sont d'ordre infini.
Si $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ est infini.
Si $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Le seul élément de $\text{[math]}$ d'ordre fini est 0.

Rappels :

Le groupe $\text{[math]}$ est monogène ssi : $\text{[math]}$

Le groupe $\text{[math]}$ est dit cyclique ssi il est monogène et fini, dans ce cas, il existe $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ .

Par abus de langage, le cardinal de $\text{[math]}$ est dit aussi l'ordre de $\text{[math]}$ et plus généralement, pour tout groupe fini, sont cardinal est dit son ordre.

Exemple :

$\text{[math]}$ est monogène mais non cyclique.

$\text{[math]}$ est cyclique d'ordre $\text{[math]}$ .

Définition : " L'indicateur d'Euler "
Le nombre défini par $\text{[math]}$ est appelé l'indicateur d'Euler de $\text{[math]}$ , c'est le nombre de générateurs du groupe cyclique $\text{[math]}$ .

Théorème de " Lagrange " :
L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.

3. Groupe opérant sur un ensemble

$\text{[math]}$ est un groupe d'élément neutre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un ensemble non vide.

Définition :
On appelle action (ou opération) de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ toute application $\text{[math]}$ telle que :

$\text{[math]}$ .

Exemple :
1. $\text{[math]}$ (groupe de permutation de $\text{[math]}$ )
Soit : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est une action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ appelée l'action naturelle de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Proposition :
Les p.s.s.e :

$\text{[math]}$ agit sur $\text{[math]}$ .

Il existe un morphisme de groupes $\text{[math]}$ .

Remarques et Vocabulaire :

Si $\text{[math]}$ est une action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Alors :

$\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est appelé le morphisme associé à $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est un morphisme de groupes, l'action : $\text{[math]}$ est appelé l'action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ associé au morphisme $\text{[math]}$ .

Proposition - Définition :
Soit $\text{[math]}$ une action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , la relation définie sur $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ est une relation d'équivalence sur $\text{[math]}$ .
La classe d'équivalence de $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ est appelé l'orbite de $\text{[math]}$ dans l'action $\text{[math]}$ .

Proposition - Définition :
Soit $\text{[math]}$ une action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
L'ensemble $\text{[math]}$ est un sous groupe de $\text{[math]}$ appelé le stabilisateur de $\text{[math]}$ dans l'action $\text{[math]}$ , on le note : $\text{[math]}$ .

II. Compléments sur les anneaux et notion d'idéal

1. L'anneau $\text{[math]}$

Proposition :

$\text{[math]}$ est une L.c.i sur $\text{[math]}$ notée $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un anneau commutatif de zéro $\text{[math]}$ et d'unité $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$ est inversible ssi $\text{[math]}$ .

Remarque :
$\text{[math]}$ est inversible dans l'anneau $\text{[math]}$ ssi $\text{[math]}$ engendre le groupe cyclique $\text{[math]}$ .

Théorème :
Les propositions suivantes sont équivalentes :

$\text{[math]}$ est un corps commutatif.

$\text{[math]}$ est un anneau intègre.

$\text{[math]}$ est un nombre premier.

Lemme : "lemme chinois" :
Soit $\text{[math]}$ , alors :

$\text{[math]}$ est un morphisme d'anneaux.

$\text{[math]}$ est un isomorphisme d'anneaux ssi $\text{[math]}$ .

Rappels :
Soient $\text{[math]}$ deux anneaux, pour $\text{[math]}$ on pose :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On définit ainsi deux L.c.i sur $\text{[math]}$ notées $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est un anneau de zéro $\text{[math]}$ et d'unité $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont commutatifs, alors $\text{[math]}$ l'est également.
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont non nuls, $\text{[math]}$ n'est jamais intègre (même si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le sont).
$\text{[math]}$ .

2. Notion d'idéal d'un anneau commutatif

$\text{[math]}$ sont deux anneaux commutatifs.

Définition :
On appelle idéal de $\text{[math]}$ toute partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Proposition - Définition :
Si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ appelé l'idéal principal engendré par $\text{[math]}$ , on le note $\text{[math]}$ .

Proposition :
Toute intersection d'ideaux de $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ .

Proposition - Définition :
Soit $\text{[math]}$ p idéaux de $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ appelé l'idéal somme de $\text{[math]}$ et on le note $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ un morphisme d'anneaux, alors :

L'image réciproque par $\text{[math]}$ de tout idéal de $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est surjective, l'image directe par $\text{[math]}$ de tout idéal de $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ .

Remarque :
Si $\text{[math]}$ est non surjective, il se peut que l'image directe d'un idéal de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ ne soit pas un idéal de $\text{[math]}$ .
Contre-exemple :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ dans ce cas est un morphisme d'anneaux.
Soit : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ n'est pas un idéal de $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ un sous-corps de $\text{[math]}$
Les idéaux de $\text{[math]}$ et les ideaux de l'anneau $\text{[math]}$ des polynômes sur $\text{[math]}$ sont tous principaux.

Remarques :
Soit $\text{[math]}$ deux entiers de $\text{[math]}$ ou deux polynômes de $\text{[math]}$ .
1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$ Plus précisement :

Dans $\text{[math]}$

Dans $\text{[math]}$
On en déduit :

Tout idéal de $\text{[math]}$ est principal engendré par un unique entier positif.
Tout idéal de $\text{[math]}$ est principal engendré par un unique polynôme nul ou unitaire.

Théorème :
Soient $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), soit $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$ est l'unique entier positif (resp.polynôme nul ou unitaire) tel que : $\text{[math]}$ .

Remarque :
Supposons $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ), donc $\text{[math]}$ d'après le théorème.
Et puisque $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) tel que : $\text{[math]}$ .
Réciproquement, supposons donné $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$ , on en déduit alors que : $\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ .
Donc : le théorème précédent offre une démonstration simple du théorème de Bezout.

3. Notion de caractéristique d'un anneau

Définition :
Soit $\text{[math]}$ un anneau .
On dit que $\text{[math]}$ est de caractéristique non nulle ssi $\text{[math]}$ est d'ordre fini dans le groupe $\text{[math]}$ .
Dans ce cas, $\text{[math]}$ est appelé le caractéristique de $\text{[math]}$ , on le note $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Convention :
Si $\text{[math]}$ est d'ordre infini, on dit que $\text{[math]}$ est de caractéristique nulle, ie : $\text{[math]}$ .
Ainsi, $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ est de caractéristique non nulle.

$\text{[math]}$ .

III. Polynômes d'un élément d'une K-algèbre

Ici, $\text{[math]}$ désigne un sous corps de $\text{[math]}$ .

Définition :
Soit $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ -algèbre, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
L'élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est dit un polynôme de $\text{[math]}$ , on le note $\text{[math]}$ .
Avec $\text{[math]}$ désigne : $\text{[math]}$

Exemple :
$\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ .

Notation :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors :

Pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ .

Corollaire :
Soit $\text{[math]}$ .

L'application : $\text{[math]}$ est un morphisme d'algèbre.

$\text{[math]}$ est un sous-algèbre commutative de $\text{[math]}$ .

Remarques :

$\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est la plus petite sous-algèbre de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ (au sens de l'inclusion).

Définition :
Soit $\text{[math]}$ . On appelle polynôme annulateur de $\text{[math]}$ tout polynôme $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .

Exemple :
Soit $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -ev et $\text{[math]}$ un projecteur de $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ , ie : $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$ est un polynôme annulateur de $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ .
L'ensemble $\text{[math]}$ de tous les polynômes annulateurs de $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ .

Remarque :
Pour toute $\text{[math]}$ -algèbre $\text{[math]}$ et pour tout $\text{[math]}$ , le polynôme nul de $\text{[math]}$ est annulateur de $\text{[math]}$ , ie : $\text{[math]}$ .

Définition :
Soit $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , on dit que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ .
Dans le cas contraire, $\text{[math]}$ est dit transcendant sur $\text{[math]}$ .

Théorème :
Si la $\text{[math]}$ -algébre $\text{[math]}$ est de dimension finie, tout élément de $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ .

Remarque :
L'hypothèse du théorème précédent peut-être remplacée par : $\text{[math]}$

Définition :
Soit $\text{[math]}$ algébrique sur $\text{[math]}$ .
L'unique générateur de l'idéal non nul $\text{[math]}$ est appelé le polynôme minimal de $\text{[math]}$ .

Merci à