Algèbre générale (partie III) - compléments et notion d'idéal
Cours prérequis :
Groupes - Anneaux - Corps
Espaces vectoriels - Applications linéaires
I. Compléments sur les groupes
1. Le groupe ( fixé)
Proposition - Définition :
La relation
définie sur
par :
est une relation d'équivalence, on l'appelle la
congruence modulo .
On note cette relation par :
ou
.
Notation :
Soit
, la classe d'équivalence de
pour la relation de congruence modulo
est notée
(s'il n'y a pas d'ambiguité). Et on a :
.
Notation :
L'ensemble quotient de
par la congruence modulo
est noté
et on a :
.
Remarque :
L'application
est surjective.
Proposition :
définit une L.c.i sur
noté encore
.
muni de cette loi est un groupe abélien dont l'élément neutre est
.
2. Sous-groupe (s.g) engendré par une partie
est un groupe
Rappel :
Toute intersection de sous-groupes de
est un sous-groupes de
.
Définition :
Soit
une partie de
et
l'ensemble de tous les sous-groupes de
contenant
.
Le sous-groupe de
noté
tel que :
est appelé le sous-groupe engendré par
.
Remarques :
1. est un s.g contenant
.
Pour tout s.g
de
, on a :
, donc au sens de la relation d'ordre "
",
est le plus petit s.g de
contenant
.
2. est un s.g de
.
Théorème :
Soit
une partie non vide de
.
Alors :
.
Cas particuliers :
1. avec
.
Soit
.
Soit
et
tel que
Posons
, on a :
.
Ainsi :
.
Réciproquement : Soit
.
On a
.
Si :
et si :
:
.
Donc :
Conclusion : .
2. avec
tel que
.
est noté
.
Comme avant :
.
Rappels :
Soit
.
Si
est fini, on dit que
est d'ordre fini, sinon, on dit que
est d'ordre infini.
Si
est d'ordre fini, on note :
.
est d'ordre fini ssi il existe
tel que
. Dans ce cas,
.
Si
est d'ordre fini
, alors :
Exemple :
.
On a :
, ainsi, 1 et -1 sont d'ordre infini.
Si
Si
:
est infini.
Si
:
.
Le seul élément de
d'ordre fini est 0.
Rappels :
Le groupe
est
monogène ssi :
Le groupe
est dit
cyclique ssi il est monogène et fini, dans ce cas, il existe
tel que :
, donc :
.
Par abus de langage, le cardinal de
est dit aussi l'ordre de
et plus généralement, pour tout groupe fini, sont cardinal est dit son ordre.
Exemple :
est monogène mais non cyclique.
est cyclique d'ordre
.
Définition : " L'indicateur d'Euler "
Le nombre défini par
est appelé l'indicateur d'Euler de
, c'est le nombre de générateurs du groupe cyclique
.
Théorème de " Lagrange " :
L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.
3. Groupe opérant sur un ensemble
est un groupe d'élément neutre
et
un ensemble non vide.
Définition :
On appelle action (ou opération) de
sur
toute application
telle que :
.
.
Exemple :
1. (groupe de permutation de
)
Soit :
est une action de
sur
appelée l'action naturelle de
sur
.
Proposition :
Les p.s.s.e :
agit sur
.
Il existe un morphisme de groupes
.
Remarques et Vocabulaire :
Si
est une action de
sur
,
et
. Alors :
- où :
- est appelé le morphisme associé à
Si
est un morphisme de groupes, l'action :
est appelé l'action de
sur
associé au morphisme
.
Proposition - Définition :
Soit
une action de
sur
, la relation définie sur
par :
est une relation d'équivalence sur
.
La classe d'équivalence de
pour
est appelé l'orbite de
dans l'action
.
Proposition - Définition :
Soit
une action de
sur
.
L'ensemble
est un sous groupe de
appelé le stabilisateur de
dans l'action
, on le note :
.
II. Compléments sur les anneaux et notion d'idéal
1. L'anneau
Proposition :
est une L.c.i sur
notée
.
est un anneau commutatif de zéro
et d'unité
.
Théorème :
Soit
.
Alors
est inversible ssi
.
Remarque :
est inversible dans l'anneau
ssi
engendre le groupe cyclique
.
Théorème :
Les propositions suivantes sont équivalentes :
est un corps commutatif.
est un anneau intègre.
est un nombre premier.
Lemme : "lemme chinois" :
Soit
, alors :
est un morphisme d'anneaux.
est un isomorphisme d'anneaux ssi
.
Rappels :
Soient
deux anneaux, pour
on pose :
On définit ainsi deux L.c.i sur
notées
et
est un anneau de zéro
et d'unité
.
Si
et
sont commutatifs, alors
l'est également.
Si
et
sont non nuls,
n'est jamais intègre (même si
et
le sont).
.
2. Notion d'idéal d'un anneau commutatif
sont deux anneaux commutatifs.
Définition :
On appelle idéal de
toute partie
de
tel que :
Proposition - Définition :
Si
,
est un idéal de
appelé l'idéal principal engendré par
, on le note
.
Proposition :
Toute intersection d'idéaux de
est un idéal de
.
Proposition - Définition :
Soit
p idéaux de
.
Alors
est un idéal de
appelé l'idéal somme de
et on le note
.
Proposition :
Soit
un morphisme d'anneaux, alors :
L'image réciproque par
de tout idéal de
est un idéal de
.
Si
est surjective, l'image directe par
de tout idéal de
est un idéal de
.
Remarque :
Si
est non surjective, il se peut que l'image directe d'un idéal de
par
ne soit pas un idéal de
.
Contre-exemple :
,
dans ce cas est un morphisme d'anneaux.
Soit :
,
est un idéal de
et
, mais
Donc
n'est pas un idéal de
.
Théorème :
Soit
un sous-corps de
Les idéaux de
et les idéaux de l'anneau
des polynômes sur
sont tous principaux.
Remarques :
Soit
deux entiers de
ou deux polynômes de
.
1.
2. Plus précisement :
Dans
Dans
On en déduit :
- Tout idéal de est principal engendré par un unique entier positif.
- Tout idéal de est principal engendré par un unique polynôme nul ou unitaire.
Théorème :
Soient
(resp.
), soit
, alors :
est l'unique entier positif (resp.polynôme nul ou unitaire) tel que :
.
Remarque :
Supposons
(
), donc
d'après le théorème.
Et puisque
, donc
.
D'où :
(resp.
) tel que :
.
Réciproquement, supposons donné
tel que
.
D'où :
Soit
, on a :
d'où
Alors
, on en déduit alors que :
, donc :
.
Donc :
le théorème précédent offre une démonstration simple du théorème de Bezout.
3. Notion de caractéristique d'un anneau
Définition :
Soit
un anneau .
On dit que
est de caractéristique non nulle ssi
est d'ordre fini dans le groupe
.
Dans ce cas,
est appelé le caractéristique de
, on le note
.
On a
pour tout
.
Convention :
Si
est d'ordre infini, on dit que
est de caractéristique nulle, ie :
.
Ainsi,
si
est de caractéristique non nulle.
.
.
III. Polynômes d'un élément d'une K-algèbre
Ici,
désigne un sous corps de
.
Définition :
Soit
une
-algèbre,
et
.
L'élément
de
est dit un polynôme de
, on le note
.
Avec
désigne :
Exemple :
, alors :
.
Notation :
et
.
Proposition :
Soit
et
, alors :
Pour tout
:
.
.
Corollaire :
Soit
.
L'application :
est un morphisme d'algèbre.
est un sous-algèbre commutative de
.
Remarques :
, d'où
.
est la plus petite sous-algèbre de
contenant
(au sens de l'inclusion).
Définition :
Soit
. On appelle polynôme annulateur de
tout polynôme
tel que :
.
Exemple :
Soit
avec
un
-ev et
un projecteur de
.
On a
, donc :
, ie :
Alors
est un polynôme annulateur de
.
Proposition :
Soit
.
L'ensemble
de tous les polynômes annulateurs de
est un idéal de
.
Remarque :
Pour toute
-algèbre
et pour tout
, le polynôme nul de
est annulateur de
, ie :
.
Définition :
Soit
.
Si
, on dit que
est algébrique sur
.
Dans le cas contraire,
est dit transcendant sur
.
Théorème :
Si la
-algébre
est de dimension finie, tout élément de
est algébrique sur
.
Remarque :
L'hypothèse du théorème précédent peut-être remplacée par :
Définition :
Soit
algébrique sur
.
L'unique générateur de l'idéal non nul
est appelé le polynôme minimal de
.