Fiche de mathématiques

Compléments d'algèbre général - Notion d'idéal

Cours prérequis :
Groupes - Anneaux - Corps
Espaces vectoriels - Applications linéaires

I. Compléments sur les groupes

1. Le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n\in \mathbb{N}^*$ fixé)

Proposition - Définition :

La relation $\mathfrak{R}$ définie sur $\mathbb{Z}$ par : $x\mathfrak{R}y \text{ ssi } n/x-y$ est une relation d'équivalence, on l'appelle la congruence modulo $n$ .
On note cette relation par : $x \equiv y [n]$ ou $x \equiv y \: \text{mod}(n)$ .

Propriétés :

$p, \, x , \, y , \, x', \, y' \in \mathbb{Z}$ et $r \in \mathbb{N}$ .

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ \equiv } c} x & y[n] \\ x' & y'[n] \end{array} \right. \Longrightarrow x+x' \equiv y+y'[n]$

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ \equiv } c} x & y[n] \\ x' & y'[n] \end{array} \right. \Longrightarrow xx' \equiv yy' [n]$

$x \equiv y[n] \Longrightarrow p x \equiv py [n]$

$x \equiv y[n] \Longrightarrow x^r \equiv y^r[n]$

Notation :
Soit $x \in \mathbb{Z}$ , la classe d'équivalence de $x$ pour la relation de congruence modulo $n$ est notée $\bar x$ (s'il n'y a pas d'ambiguité). Et on a : $\overline x = \lbrace y \in \mathbb{Z} \ | \ y \equiv x \ [n]\rbrace = \lbrace x+kn \ | \ k\in\mathbb{Z}\rbrace$ .

Propriétés :

$x \in \bar x$

$\bar x = \bar y \text{ ssi } x \equiv y[n]$

$\bar x \neq \bar y \: \Longleftrightarrow \: \bar x \cap \bar y = \emptyset$

$\displaystyle \bigcup_{x \in \mathbb{Z}} \bar x = \mathbb{Z}$

Notation :
L'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$ par la congruence modulo $n$ est noté $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et on a : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \lbrace \bar x / x \in \mathbb{Z}\rbrace$ .

Remarque :
L'application $\begin{array}{lll} p \: : \: \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ x & \longrightarrow & \bar x \\ \end{array}$ est surjective.

Proposition :

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \lbrace \bar 0 , \, \bar 1 , \, \cdots, \, \overline{n-1}\rbrace$

Proposition :

$(\bar{x} \, , \, \bar{x'}) \longrightarrow \overline{x+x'}$ définit une L.c.i sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ noté encore $+$ .

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ muni de cette loi est un groupe abélien dont l'élément neutre est $\bar 0$ .

2. Sous-groupe (s.g) engendré par une partie

$(G \, , \, .)$ est un groupe

Rappel :
Toute intersection de sous-groupes de $G$ est un sous-groupes de $G$ .

Définition :

Soit $S$ une partie de $G$ et $\mathfrak{H}_s$ l'ensemble de tous les sous-groupes de $G$ contenant $S$ .
Le sous-groupe de $G$ noté $<S>$ tel que : $<S> = \displaystyle \bigcap_{H \in \mathfrak{H}_s} H$ est appelé le sous-groupe engendré par $S$ .

Remarques :
1.

$<S>$ est un s.g contenant $S$ .

Pour tout s.g $H$ de $G$ , on a : $S \subset H \Longrightarrow <S> \subset H$ , donc au sens de la relation d'ordre " $\subset$ ", $<S>$ est le plus petit s.g de $G$ contenant $S$ .
2. $<S> = S \Longleftrightarrow S$ est un s.g de $G$ .

Théorème :

Soit $S$ une partie non vide de $G$ .
Alors : $<S> = \lbrace x_1^{\epsilon_1} \cdots x_p^{\epsilon_p} / p \in \mathbb{N}^* \, , \, x_i \in S \, , \, \epsilon_i \in \lbrace -1,1\rbrace \rbrace$ .

Cas particuliers :
1. $S = \lbrace a\rbrace$ avec $a \in G$ .
Soit $x \in <\lbrace a\rbrace > \stackrel{\text{Notation}}{=} <a>$ .
Soit $p \in \mathbb{N}^* \, , \, x_1,\cdots,x_p \in \lbrace a\rbrace$ et $\epsilon_1 \, , \, \cdots \, , \, \epsilon_p \in \lbrace -1,1\rbrace$ tel que $x = x_1^{\epsilon_1}\cdots x_p^{\epsilon_p}$
Posons $k = \epsilon_1 + \cdots + \epsilon_p$ , on a : $x=a^k$ .
Ainsi : $<a> \subset \lbrace a^k / k \in \mathbb{Z}\rbrace$ .
Réciproquement : Soit $k \in \mathbb{Z}$ .
On a $a \in <a>$ .
Si : $k \in \mathbb{N} \: : \: a^k \in <a>$ et si : $k \in \mathbb{Z}^-$ : $a^k = (a^{-k})^{-1} \in <a>$ .
Donc : $\lbrace a^k / k \in \mathbb{Z}\rbrace \subset <a>$
Conclusion : $<a> = \lbrace a^k/k \in \mathbb{Z}\rbrace$ .
2. $S = \lbrace a,b\rbrace$ avec $a \, , \, b \in G$ tel que $ab=ba$ $\left(a=bab^{-1} \, , \, b^{-1}a=ab^{-1}\right)$ .
$<\lbrace a,b\rbrace >$ est noté $<a,b>$ .
Comme avant : $<a \, ; \, b> = \lbrace a^kb^h/k,h \in \mathbb{Z}\rbrace$ .

Rappels :
Soit $a \in G$ .

Si $<a>$ est fini, on dit que $a$ est d'ordre fini, sinon, on dit que $a$ est d'ordre infini.

Si $a$ est d'ordre fini, on note : $o(a) = Card<a>$ .

$a$ est d'ordre fini ssi il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^k=e$ . Dans ce cas, $o(a) = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^{\text{*}} / a^k = e \rbrace$ .

Si $a$ est d'ordre fini $p$ , alors : $\left \lbrace \begin{array}{l} <a> = \lbrace e,a,\cdots, a^{-1}\rbrace \\ (\forall k \in \mathbb{N}^*) , a^k = e \, \Longleftrightarrow \, p/k \\ \end{array} \right.$

Exemple :
$G = (\mathbb{Z},+)$ .
On a : $<1>=\mathbb{Z}=<-1>$ , ainsi, 1 et -1 sont d'ordre infini.
Si $n\in \mathbb{Z} \: : \: <n>=\lbrace kn / k \in \mathbb{Z}\rbrace =n\mathbb{Z}$
Si $n \not = 0$ : $<n>$ est infini.
Si $n = 0$ : $<n> = \lbrace 0\rbrace$ .
Le seul élément de $\mathbb{Z}$ d'ordre fini est 0.

Rappels :

Le groupe $G$ est monogène ssi : $(\exists a\in G) \: : \: G = <a>$

Le groupe $G$ est dit cyclique ssi il est monogène et fini, dans ce cas, il existe $a \in G$ tel que : $<a> = G$ , donc : $o(a) = \text{Card} G$ .

Par abus de langage, le cardinal de $G$ est dit aussi l'ordre de $G$ et plus généralement, pour tout groupe fini, sont cardinal est dit son ordre.

Exemple :

$\mathbb{Z}$ est monogène mais non cyclique.

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est cyclique d'ordre $n$ .

Définition : " L'indicateur d'Euler "

Le nombre défini par $\phi (n) = Card \lbrace k \in \ldbrack 1,n\rdbrack \rm / k\wedge n=1 \rbrace$ est appelé l'indicateur d'Euler de $n$ , c'est le nombre de générateurs du groupe cyclique $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Théorème de " Lagrange " :

L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.

3. Groupe opérant sur un ensemble

$(G \, , \, .)$ est un groupe d'élément neutre $e$ et $E$ un ensemble non vide.

Définition :

On appelle action (ou opération) de $G$ sur $E$ toute application $P \: : \: G\times E \longrightarrow E$ telle que :

$(\forall x \in E) \: : \: P(e,x) = x$ .

$(\forall (a \, , \, b) \in G^2) \: (\forall x \in E) \: : \: P(ab,x) = P(a,P(b,x))$ .

Exemple :
1. $G = S(E)$ (groupe de permutation de $E$ )
Soit : $\begin{array}{rccl} p : & G \times E & \longrightarrow & E\\ & (f,x) & \longrightarrow & f(x) \end{array}$
$p(id_E,x)=id_E(x)=x \\ p(f \circ g,x)=f \circ g(x)=f(g(x))=p(f,g(x))=p(f,p(g,x))$
$p$ est une action de $S(E)$ sur $E$ appelée l'action naturelle de $S(E)$ sur $E$ .

Proposition :

Les p.s.s.e :

$G$ agit sur $E$ .

Il existe un morphisme de groupes $\gamma \: : \: G \longrightarrow S(E)$ .

Remarques et Vocabulaire :

Si $p$ est une action de $G$ sur $E$ , $a \, , \, b \in G$ et $x \in E$ . Alors :

$\begin{array}{rccl} \gamma : & G & \longrightarrow & S(E) \\ & a & \longrightarrow & \gamma(a) \\ \end{array}$ où : $\begin{array}{rcl} \gamma(a) : E & \longrightarrow& E\\ x & \longrightarrow & p(a,x) \end{array}$
$p(ab,x)$ est appelé le morphisme associé à $p$

Si $\gamma : G \longrightarrow S(E)$ est un morphisme de groupes, l'action : $\begin{array}{rccl}p : & G \times E & \longrightarrow& E\\ & (a,x)& \longrightarrow & \gamma(a)(x) \end{array}$ est appelé l'action de $G$ sur $E$ associé au morphisme $\gamma$ .

Proposition - Définition :

Soit $p$ une action de $G$ sur $E$ , la relation définie sur $E$ par : $x \mathfrak{R} y \Longleftrightarrow (\exists a \in G) \, y=p(a,x)$ est une relation d'équivalence sur $E$ .
La classe d'équivalence de $x \in E$ pour $\mathfrak{R}$ est appelé l'orbite de $x$ dans l'action $p$ .

Proposition - Définition :

Soit $p$ une action de $G$ sur $E$ .
L'ensemble $\lbrace a \in E / p(a,x)=x\rbrace$ est un sous groupe de $G$ appelé le stabilisateur de $x$ dans l'action $p$ , on le note : $St_p(x)$ .

II. Compléments sur les anneaux et notion d'idéal

1. L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Proposition :

$(\bar{x}, \bar{x'}) \longrightarrow \overline{xx'}$ est une L.c.i sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ notée $\times$ .

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,\times)$ est un anneau commutatif de zéro $\bar{0}$ et d'unité $\bar{1}$ .

Théorème :

Soit $k \in \mathbb{Z}$ .
Alors $\bar{k}$ est inversible ssi $k \wedge n = 1$ .

Remarque :
$\bar{k}$ est inversible dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,\times)$ ssi $\bar{k}$ engendre le groupe cyclique $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ .

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps commutatif.

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un anneau intègre.

$n$ est un nombre premier.

Lemme : "lemme chinois" :

Soit $(n,m) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ , alors :

$\begin{array}{rccl} M : & \mathbb{Z}/nm\mathbb{Z} & \longrightarrow &\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\\ & \bar{x} & \longrightarrow & (^n\bar{x},^m\bar{x}) \end{array}$ est un morphisme d'anneaux.

$M$ est un isomorphisme d'anneaux ssi $n \wedge m = 1$ .

Rappels :
Soient $A,B$ deux anneaux, pour $((a,b),(a',b'))\in (A\times B)^2$ on pose :

$(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')$

$(a,b)\times(a',b') = (aa',bb')$

On définit ainsi deux L.c.i sur $A\times B$ notées $+,\times$ et $(A\times B,+,\times)$ est un anneau de zéro $(0_A,0_B)$ et d'unité $(1_A,1_B)$ .
Si $A$ et $B$ sont commutatifs, alors $A\times B$ l'est également.
Si $A$ et $B$ sont non nuls, $A\times B$ n'est jamais intègre (même si $A$ et $B$ le sont).
$(1_A,0_B)\times(0_A,1_B)=(0_A,0_B)=0_{A\times B}$ .

2. Notion d'idéal d'un anneau commutatif

$(A,+,\times) , (B,+,\times)$ sont deux anneaux commutatifs.

Définition :

On appelle idéal de $A$ toute partie $I$ de $A$ tel que : $\left \lbrace \begin{array}{l} I \text{ est un sous-groupe de } (A,+) \\ (\forall x\in I) \: (\forall a\in A) \: : \: ax\in I \\ \end{array} \right.$

Proposition - Définition :

Si $x \in A$ , $xA = \lbrace xa/a\in A\rbrace$ est un idéal de $A$ appelé l'idéal principal engendré par $x$ , on le note $(x)$ .

Proposition :

Toute intersection d'idéaux de $A$ est un idéal de $A$ .

Proposition - Définition :

Soit $I_1 \, , \, \cdots \, , \, I_p$ p idéaux de $A$ .
Alors $\lbrace x_1 + \cdots + x_p\ | \forall j\in \ldbrack1 , p \rdbrack, \ x_j \in I_j\rbrace$ est un idéal de $A$ appelé l'idéal somme de $I_1 , \cdots , I_p$ et on le note $I_1 + \cdots + I_p$ .

Proposition :

Soit $f : A\longrightarrow B$ un morphisme d'anneaux, alors :

L'image réciproque par $f$ de tout idéal de $B$ est un idéal de $A$ .

Si $f$ est surjective, l'image directe par $f$ de tout idéal de $A$ est un idéal de $B$ .

Remarque :
Si $f$ est non surjective, il se peut que l'image directe d'un idéal de $A$ par $f$ ne soit pas un idéal de $B$ .
Contre-exemple :
$\begin{array}{rccl}f : &\mathbb{Z} & \longrightarrow &\mathbb{Q}\\ & x& \longrightarrow & x \end{array}$ , $f$ dans ce cas est un morphisme d'anneaux.
Soit : $I = (2) = 2\mathbb{Z}$ , $I$ est un idéal de $\mathbb{Z}$
$f(I)=I$
$2 \in I$ et $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ , mais $2\times\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \not\in I$
Donc $I$ n'est pas un idéal de $\mathbb{Q}$ .

Théorème :

Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}$
Les idéaux de $\mathbb{Z}$ et les idéaux de l'anneau $K[X]$ des polynômes sur $K$ sont tous principaux.

Remarques :
Soit $a,b$ deux entiers de $\mathbb{Z}$ ou deux polynômes de $K[X]$ .
1. $a/b \: \Longleftrightarrow \exists k / b=ka \: \Longleftrightarrow \: b\in (a) \: \Longleftrightarrow \: (b)\subset(a)$
2. $(a)=(b) \: \Longleftrightarrow \: a/b \text{ et } b/a \: \Longleftrightarrow \: \exists k \text{ inversible tq : } b=ka$ Plus précisement :

Dans $\mathbb{Z} \: : \: (a)=(b) \: \Longleftrightarrow \: b=+a ou b=-a$

Dans $K[X] \: : \: (a)=(b) \: \Longleftrightarrow \: (\exists k \in K^*) \: \: b=ka$
On en déduit :

Tout idéal de $\mathbb{Z}$ est principal engendré par un unique entier positif.
Tout idéal de $K[X]$ est principal engendré par un unique polynôme nul ou unitaire.

Théorème :

Soient $a,b \in \mathbb{Z}$ (resp. $K[X]$ ), soit $d=a\wedge b$ , alors :
$d$ est l'unique entier positif (resp.polynôme nul ou unitaire) tel que : $(a)+(b)=(d)$ .

Remarque :
Supposons $a \wedge b = 1$ ( $d=1$ ), donc $(a)+(b)=(1)$ d'après le théorème.
Et puisque $1 \in (1)$ , donc $1\in (a)+(b)$ .
D'où : $\exist(u,v)\in \mathbb{Z}^2$ (resp. $K[X]^2$ ) tel que : $1=au+vb$ .
Réciproquement, supposons donné $u,v$ tel que $1=ua+vb$ .
D'où : $1 \in (a)+(b)$
Soit $d=a\wedge b$ , on a : $d \in (a)+(b)$ d'où $1\in (d)$
Alors $d/1$ , on en déduit alors que : $d=1$ , donc : $a\wedge b = 1$ .
Donc : le théorème précédent offre une démonstration simple du théorème de Bezout.

3. Notion de caractéristique d'un anneau

Définition :

Soit $A$ un anneau .
On dit que $A$ est de caractéristique non nulle ssi $1_A$ est d'ordre fini dans le groupe $(A,+)$ .
Dans ce cas, $o(1_A)$ est appelé le caractéristique de $A$ , on le note $car(A)$ .
On a $car(A)a=0_A$ pour tout $a\in A$ .

Convention :
Si $1_A$ est d'ordre infini, on dit que $A$ est de caractéristique nulle, ie : $car(A)=0$ .
Ainsi, $car(A) = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^* / k.1_A=0_A\rbrace$ si $A$ est de caractéristique non nulle.

$\mathbb{Z} \: \: car(\mathbb{Z})=0$ .

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \: : \: car(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n$ .

III. Polynômes d'un élément d'une K-algèbre

Ici, $K$ désigne un sous corps de $\mathbb{C}$ .

Définition :

Soit $A$ une $K$ -algèbre, $\alpha \in A$ et $P = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}}a_kX^k\in K[X]$ .
L'élément $\beta = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}} a_k\alpha^k$ de $A$ est dit un polynôme de $\alpha$ , on le note $\beta = P(\alpha)$ .
Avec $\alpha^k$ désigne : $\left \lbrace \begin{array}{l} 1_A \text{ si } k = 0 \\ \alpha^{k-1}.\alpha \text{ si } k\geq 1 \\ \end{array} \right.$

Exemple :
$P = -2+X+X^2$ , alors : $P(\alpha) = -2.1_A+\alpha+\alpha^2$ .

Notation :
$K[\alpha] = \lbrace P(\alpha)/P\in K[X]\rbrace$ et $K[\alpha]\subset A$ .

Proposition :

Soit $P,Q\in K[X]$ et $\alpha \in A$ , alors :

Pour tout $\lambda \in K$ : $(\lambda P+Q)(\alpha) = \lambda P(\alpha)+Q(\alpha)$ .

$(P.Q)(\alpha) = P(\alpha)\times Q(\alpha)=Q(\alpha)\times P(\alpha)$ .

Corollaire :

Soit $\alpha \in A$ .

L'application : $\begin{array}{rccl}f : & K[X] & \longrightarrow &A\\ & P & \longrightarrow & P(\alpha) \end{array}$ est un morphisme d'algèbre.

$K[\alpha]$ est un sous-algèbre commutative de $A$ .

Remarques :

$K[\alpha]=\lbrace P(\alpha) / P\in K[X]\rbrace = \lbrace \displaystyle\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k \alpha^k / (a_k)_{k\in \mathbb{N}}\in K^{\mathbb{N}}\rbrace$ , d'où $K[\alpha] = Vect(\alpha^k)_{k\in \mathbb{N}}$

$\alpha \in K[\alpha]$ .

$K[\alpha]$ est la plus petite sous-algèbre de $A$ contenant $\alpha$ (au sens de l'inclusion).

Définition :

Soit $\alpha \in A$ . On appelle polynôme annulateur de $\alpha$ tout polynôme $P \in K[X]$ tel que : $P(\alpha)=0_A$ .

Exemple :
Soit $A = \mathfrak{L}(E)$ avec $E$ un $K$ -ev et $\alpha$ un projecteur de $E$ .
On a $\alpha \in A$ , donc : $\alpha^2=\alpha$ , ie : $\alpha^2-\alpha=0$
Alors $X^2-X$ est un polynôme annulateur de $\alpha$ .

Proposition :

Soit $\alpha \in A$ .
L'ensemble $Ann(\alpha)$ de tous les polynômes annulateurs de $\alpha$ est un idéal de $K[\alpha]$ .

Remarque :
Pour toute $K$ -algèbre $A$ et pour tout $\alpha \in A$ , le polynôme nul de $K[X]$ est annulateur de $\alpha$ , ie : $0\in Ann(\alpha)$ .

Définition :

Soit $\alpha \in A$ .
Si $Ann(\alpha)\not = \lbrace 0\rbrace$ , on dit que $\alpha$ est algébrique sur $K$ .
Dans le cas contraire, $\alpha$ est dit transcendant sur $K$ .

Théorème :

Si la $K$ -algébre $A$ est de dimension finie, tout élément de $A$ est algébrique sur $K$ .

Remarque :
L'hypothèse du théorème précédent peut-être remplacée par : $\rm \left \lbrace \begin{array}{l} \text{ A est une K-algebre quelconque } \\ \alpha \in \text{ A tel que } K[\alpha] \text{ est de dimension finie.} \\ \end{array} \right .$

Définition :

Soit $\alpha\in A$ algébrique sur $K$ .
L'unique générateur de l'idéal non nul $Ann(\alpha)$ est appelé le polynôme minimal de $\alpha$ .

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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