Fiche de mathématiques

Intégration (Partie IV) : Intégrales dépendantes d'un paramètre

Introduction

$K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ .
Etant donné un ensemble $X \neq \emptyset$ et un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide, on se donne $f : X \times I \longrightarrow F$ telle que : $\forall x \in X \, : \, t \longrightarrow f(x,t)$ est continue par morceaux et $\displaystyle \int_I f(x,t)dt$ ait un sens.
On dispose alors d'une fonction $\begin{array}{rcll} \phi : & X & \longrightarrow & F \\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_I f(x,t)dt \end{array}$ où $F$ est un ev normé de dimension finie si I est un segment et $F = K$ sinon.

Si $X$ est une partie d'un evn $E$ , peut-on affirmer que $f$ est continue ?

Si $X$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{N}$ , peut-on affirmer que $\phi$ est de classe $\mathfrak{C}^k$ ? de classe $\mathfrak{C}^\infty$ ? Sinon, peut-on écrire : $\phi^{(k)} (x) = \displaystyle \int_I \frac{\partial^k}{\partial x^k}(f(x,t))dt$ ?

Notations :

Dans la suite, I est un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide.

$X$ est un ensemble non vide.

E et F sont deux evn de dimension finie, $K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ .

$f : X \times I \longrightarrow F$ telle que : $\forall x \in X$ : $t \longrightarrow f(x,t)$ est continue par morceaux et $\displaystyle \int_I f(x,t)dt$ est définie.

On pose : $\begin{array}{rcll} \phi: & X & \longrightarrow & F \\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_I f(x,t)dt \end{array}$

I. Problème de continuité

1. Cas où I est un segment

Ici, $I = [a,b]$ avec $a,b \in \mathbb{R}$ et $a < b$ et $X$ une partie de l'evn $E$ .

Théorème

Si $f$ est continue sur $X \times I$ , alors $\phi$ est continue sur $X$ .

Exemple :
$\phi(x) = \displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{x^2+t^2}$ avec $x \in \mathbb{R}$ .
$\phi$ est définie sur $\mathbb{R}^*$ et $\forall x \in \mathbb{R}^*$ : $\phi(x) = \displaystyle \int_{[0,1]} \frac{1}{x^2+t^2} dt$ .
$(x,t) \longrightarrow \displaystyle \frac{1}{x^2+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}^2 \backslash \lbrace (0,0) \rbrace$ . Donc sur $\mathbb{R}^*\times [0,1]$
Donc $\phi$ est continue.

2. Cas où I est un intervalle quelconque

Ici, I est un intervalle autre qu'un segment, $F = K$ et $f : X \times I \longrightarrow K$ , X une partie de E.

Théorème

Si pour tout $t \in I$ , la fonction $\begin{array}{rcl} X & \longrightarrow & K\\ x & \longrightarrow & f(x,t) \end{array}$ est continue et si $f$ réalise la condition de domination locale sur X. Alors la fonction $\begin{array}{rcll} \phi : & X & \longrightarrow & K\\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_I f(x,t)dt \end{array}$ est continue.

Vocabulaire :
On dit que f réalise (ou vérifie) la condition de domination locale sur X si elle réalise la condition de domination sur tout compact inclus dans K .

Exemple :
Soit $\phi(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-xt^2}}{1+t^2} dt$ avec $x \in \mathbb{R}$
$\forall x \in \mathbb{R}$ , $f_x : t \longrightarrow \dfrac{e^{-xt^2}}{1+t^2}$ est continue sur $[0,+\infty[$ ; $D_\phi = \lbrace x \in \mathbb{R} / \displaystyle \int_0^{+\infty} f_x \text{ converge} \rbrace$
Comme $f_x$ est positive : $D_\phi = \lbrace x \in \mathbb{R} / f_x \text{ intégrable sur } [0,+\infty[ \rbrace$

si $x < 0$ : $\dfrac{1}{t} \stackrel{=}{_{t \to +\infty}} o(f_x(t))$ car : $\dfrac{\dfrac{1}{t}}{f_x(t)} = \dfrac{1}{tf_x(t)} = \dfrac{1+t^2}{te^{-xt^2}} \stackrel{\sim}{_{+\infty}} \dfrac{t}{e^{-xt^2}} \xrightarrow[t\to+\infty]{} 0$
$f_x$ est non intégrable sur $[1 , +\infty[$ et donc sur $[0 , +\infty[$

Si $x \geq 0$ , $\forall t \in [0,+\infty[$ : $0 \leq \dfrac{e^{-xt^2}}{1+t^2} \leq \dfrac{1}{1+t^2}$ . Donc : $D_\phi = [0,+\infty[$
De plus : $(x,t) \longrightarrow \dfrac{e^{-xt^2}}{1+t^2}$ vérifie la condition de domination sur $[0,+\infty[$
Or : $\forall t \geq 0$ , $x \longrightarrow \dfrac{e^{-xt^2}}{1+t^2}$ est continue sur $[0,+\infty[$
$\phi$ est définie et continue sur $[0,+\infty[$ .

II. Problème de dérivation

1. Cas où I est un segment

Ici,

I est un segment $[a,b]$ avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ et $a < b$ .

$X$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide.

$f : X \times I \longrightarrow F$ .

Si pour $(x,t) \in X \times I$ , la fonction $x \longrightarrow f(x,t)$ est dérivable en $x$ , sa dérivée en $x$ est notée $\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t)$ , si elle est $k$ fois dérivable en $x$ $(k \in \mathbb{N})$ , sa dérivée k-ème en $x$ est notée $\dfrac{\partial^k f(x,t)}{\partial x^k}$ .

Si pour $k \in \mathbb{N}$ , $\dfrac{\partial^k f(x,t)}{\partial x^k}$ existe pour tout $(x,t) \in X \times I$ , on dispose d'une fonction $\dfrac{\partial ^k f}{\partial x^k}$ telle que : $\begin{array}{rccl} \dfrac{\partial ^k f}{\partial x^k}: & X \times I & \longrightarrow & F \\ & (x,t) & \longrightarrow & \dfrac{\partial ^k f}{\partial x^k}(x,t) \end{array}$ , on l'appelle la k-ème dérivée partielle par rapport à la 1ère variable de $f$ .

Par convention : $\dfrac{\partial^0f(x,t)}{\partial x^0} = f$ .

Théorème :

Soit $k \in \mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$ .
Si $f$ admet des dérivées p-ème par par rapport à $x$ jusqu'à l'ordre $k$ et si pour tout $t \in [a,b]$ : $x \longrightarrow \dfrac{\partial ^p f(x,t) }{\partial x^p}$ est continue sur $X$ .
Alors : $\begin{array}{rccl} \phi : & X & \longrightarrow & F \\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_{[a,b]} f(x,t) dt \end{array}$ est de classe $\mathfrak{C}^k$ sur $X$ et pour tout $p \in \mathbb{N}$ tel que $p \leq k$ on a :
$(\forall x \in X) \, : \, \phi^{(p)} (x) = \displaystyle \int_{[a,b]} \dfrac{\partial ^p f(x,t)}{\partial x^p} dt$ .

Exemple :
Soit $\phi(x) = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2} dt$ , $(x \in \mathbb{R})$ .
$\forall x \in \mathbb{R}$ , $t \longrightarrow \dfrac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}$ est continue et $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}dt$ est bien défini.
$D_{\phi} = \mathbb{R}$
Posons : $f(x,t) = \dfrac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}$ $(x \in \mathbb{R} \, , \, t \in [0,1])$
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ est définie sur $\mathbb{R} \times [0,1]$ et : $\forall (x,t) \in \mathbb{R} \times [0,1]$ : $\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t) = -2x . \exp(-x^2(1+t^2))$
En outre, $\forall t \in [0,1]$ : $x \longrightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
D'après le théorème, $\phi$ est de classe $\mathfrak{C}^1$ et $\phi '(x) = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt = -2xe^{-x^2} \displaystyle \int_0^1 \exp(-x^2t^2)dt$
Pour $x$ non nul : $\phi '(x) = -2e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-u^2} du$ (changement de variable : (tex]u = xt[/tex])
On pose : $\psi(x) = \displaystyle \int_0^x e^{-u^2} du$ avec $x \in \mathbb{R}^*$ .
$\psi$ est de classe $\mathfrak{C}^1$ et $\psi '(x) = e^{-x^2}$ (Primitive d'une fonction continue)
On constate que : $\forall x \in \mathbb{R}^*$ : $\phi '(x) + 2\psi '(x) \psi(x) = 0$
Et ceci reste vrai pour $x = 0$ .
Donc, pour tout réel $x$ : $\phi '(x) + 2\psi '(x)\psi(x) = 0$ .
$(\phi + \psi^2)' = 0$ sur $\mathbb{R}$ .
$\phi + \psi^2$ est donc une fonction constante sur $\mathbb{R}$ , d'où :
$\forall x \in \mathbb{R}$ : $\phi(x) + \psi^2(x) = \phi(0) + \psi^2(0) = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{dt}{1+t^2} = \dfrac{\pi}{4}$ .
Donc : $\forall x \in \mathbb{R}$ : $\phi(x) + \psi^2(x) = \dfrac{\pi}{4} \, (*)$
$0 \leq \phi(x)\leq \displaystyle \int_0^1 e^{-x^2(1+t^2)}dt = e^{-x^2} \displaystyle \int_0^1 e^{-x^2t^2} dt \leq e^{-x^2}$
Alors : $\displaystyle \lim_{+\infty} \phi = 0$
Donc en passant à la limite quand $x \to +\infty$ dans $(*)$ : $0 + \left( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx \right)^2 = \dfrac{\pi}{4}$
Finalement : $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ (un cas particulier des intégrales de Gauss)

Supplément : Les intégrales de Gauss $^{(*1)}$ :
Pour tout réel strictement positif $a$ , la fonction paire : $\begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longrightarrow & e^{-ax^2}\end{array}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et : $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$
Cette intégrale est appelée intégrale de Gauss.
L'intégrale de Gauss intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale. La valeur de cette intégrale fut donnée pour la première fois par Laplace $^{(*2)}$ .

2. Cas où I est un intervalle quelconque

Ici,

I est un intervalle autre qu'un segment.

$F = K$ et $X$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide.

$f : X \times I \longrightarrow K$ tq $\forall x \in X$ , $t \longrightarrow f(x,t)$ est $\mathfrak{C}^o_m$ et $\displaystyle \int_I f(x,t) dt$ converge.

Théorème :

Soit $k \in \mathbb{N} \cup \lbrace \infty \rbrace$ , si pour tout $p \in \mathbb{N}$ tq $p \leq k$ : $\dfrac{\partial^p f}{\partial x^p}$ est définie sur $X \times I$ , continue par rapport à sa première variable et vérifie la condition de domination locale sur $X$ pour $p \neq 0$ , alors la fonction $\begin{array}{rccl} \phi :& X & \longrightarrow & K \\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_I f(x,t)dt \end{array}$ est de classe $\mathfrak{C}^k$ sur $X$ et pour tout entier naturel $p \leq k$ .
Et on a : $\forall x\in X$ : $\phi^{(p)}(x) = \displaystyle \int_I \dfrac{\partial^p f(x,t)}{\partial x^p} dt$

Exemple :
$\phi(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-xt} \sin t}{t} dt$
$D_{\phi} = [0,+\infty[$
$\phi$ est continue sur $[0,+\infty[$ , posons $f(x,t) = e^{-xt} \dfrac{\sin t}{t}$ pour $(x,t)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^*_+$ .
$\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}$ existe et vaut : $\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} = -e^{-xt} \sin(t)$ $\forall (x,t) \in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^*_+$
En outre, $x \longrightarrow f(x,t)$ et $x \longrightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t)$ sont continues.
Soit $[a,b] \subset \mathbb{R}^*_+$
$\forall (x,t)\in [a,b]\times \mathbb{R}^*_+$ : $|\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}| = e^{-xt} |\sin(t)| \leq e^{-at}$ .
$\phi$ est de classe $\mathfrak{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*_+$ et :
$\forall x \in \mathbb{R^*_+}$ : $\phi '(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t) dt = \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-xt} \sin(t) dt$
$\phi '(x) = -Im \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{(i-x)t}dt$
De plus, on a :
$\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{(i-x)t} dt = \displaystyle \lim_{A\to+\infty} \int_0^A e^{(i-x)t}dt = \displaystyle \lim_{A\to+\infty} \left[\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x}\right]_0^A = \displaystyle \lim_{A\to+\infty} \dfrac{e^{(i-x)A}-1}{i-x}$
$|e^{(i-x)A}|=e^{-xA} \xrightarrow[A\to+\infty]{} 0$
On déduit :
$\phi '(x) = -Im \dfrac{1}{x-i} = -Im \dfrac{x+i}{x^2+1} = -\dfrac{1}{x^2+1}$
Alors : $\forall x > 0 \, : \, \phi(x) = -arctan x + c$ $(c \in \mathbb{R})$
$\forall x \geq 1 \, : \, t \longrightarrow e^{-xt} \dfrac{\sin(t)}{t}$ est intégrable.
Donc $\forall x \geq 1 :$ $|\phi(x)| = |\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-xt} \dfrac{\sin(t)}{t} dt | \leq \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-xt} |\dfrac{\sin(t)}{t}|dt \leq \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-xt} dt = \dfrac{1}{x}$
Alors : $\phi(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{} 0$
D'où : $-\dfrac{\pi}{2} + c = 0$ , donc : $c = \dfrac{\pi}{2}$
Ainsi : $\forall x > 0 \, : \, \phi(x) = \dfrac{\pi}{2} - arctan x$
Puisque $\phi$ est continue en 0, on a : $\phi(0) = \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \phi(x) = \dfrac{\pi}{2}$
D'où : $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} dt = \dfrac{\pi}{2}$

III. Etude de la fonction $\Gamma$ Gamma D'Euler $^{(*3)}$

Soit : $\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt \, \, (x \in \mathbb{R})$

1. Résultat (1)

$t \longrightarrow t^{x-1}e^{-t}$ est continue et positive sur $]0,+\infty[$ .
On a : $D_{\Gamma} = \lbrace x \in \mathbb{R} / \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}dt \text{ converge} \rbrace$ (Domaine de définition)
Donc : $D_{\Gamma} = \lbrace x \in \mathbb{R} / t \longrightarrow t^{x-1}e^{-t} \text{ est intégrable sur } ]0,+\infty[ \rbrace$
Or, $\displaystyle t^{x-1}e^{-t} \stackrel{=}{_{t\to+\infty}} O \left(\dfrac{1}{t^2} \right)$
Donc $t \longrightarrow t^{x-1}e^{-t}$ est intégrable sur $[1 , +\infty[$ .
$t^{x-1}e^{-t} \displaystyle \stackrel{\sim}{_{t\to 0}} t^{x-1} = \dfrac{1}{t^{1-x}}$
Donc $t \longrightarrow t^{x-1} e^{-t}$ est intégrable sur $]0 , 1]$ ssi $x>0$ .
Donc : $\boxed{ \left \lbrace \begin{array}{l} D_{\Gamma} = ]0,+\infty[ \\ \forall x \in]0,+\infty[ : \Gamma(x) > 0 \end{array} \right. } \, \, (1)$

2. Résultat (2)

$\Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$
Or : $\displaystyle \int_a^b \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt \stackrel{=}{_{u = \sqrt{t}}} \displaystyle \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} 2e^{-u^2}du = 2 \displaystyle \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} e^{-u^2} du$
en tendant $a \to 0$ et $b \to +\infty$ .
$\Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-u^2} du = 2.\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$
Donc : $\boxed{\Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}} \, \, (2)$

3. Résultat (3)

Soit $x > 0$ :
$\displaystyle \int_a^b t^{x-1}e^{-t} dt = \displaystyle \int_a^b \left(\dfrac{t^x}{2}\right)' e^{-t} dt = \left[\dfrac{t^xe^{-t}}{x}\right]_a^b + \displaystyle \int_a^b \dfrac{t^x}{x} e^{-t} dt = \dfrac{b^x e^{-b} - a^x e^{-a}}{x} +\dfrac{1}{x} \displaystyle \int_a^b t^xe^{-t} dt$
Quand : $a \to 0$ et $b \to +\infty \, : \, \Gamma(x) = \dfrac{\Gamma(x+1)}{x}$
Donc : $\boxed{\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) \, \forall x > 0} \, \, (3)$
On en déduit : $\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^* \, \Gamma(n) = (n-1)!} \, \, (3 \text{ bis})$

4. Résultat (4)

Soit $\begin{array}{rccl} f : & ]0,+\infty[ \times ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,t) & \longrightarrow & t^{x-1}e^{-t} \end{array}$
$\forall k \in\mathbb{N} \, : \, \dfrac{\partial^k f(x,t)}{\partial x^k}$ existe et vaut $(\ln(t))^k t^{x-1} e^{-t}$
Pour tout $(x,t) \in \mathbb{R}^*_+^2$ : $\forall k \in \mathbb{N} \, ; \, x \longrightarrow \dfrac{\partial^k f(x,t)}{\partial x^k}$ est continue sur $]0,+\infty[$ .
Soit $[a , b]$ un segment inclus dans $]0 , +\infty[$ .
$\forall x \in [a,b]$ , $\forall t \in ]0,+\infty[$ , $\forall k \in \mathbb{N}^* \, : \, \left|\dfrac{\partial^k f(x,t)}{\partial x^k} \right| = |\ln(t)|^k t^{x-1}e^{-t}\leq u(t)$ ; avec $u(t) = \left \lbrace \begin{array}{l} |\ln(t)|^k t^{a-1}e^{-t}, \text{ si } t \leq 1 \\ |\ln(t)|^k t^{b-1}e^{-t}, \text{ si } t \geq 1}\\ \end{array} \right.$
$u$ est continue et intégrable sur $]0 , 1]$ et sur $[1 , +\infty[$ , donc sur $]0 , +\infty[$ .
Alors : $\Gamma \in \mathfrak{C}^{\infty} (]0,+\infty[,\mathbb{R})$
Et $\forall x > 0 \, , \, \forall k \in \mathbb{N}$ : $\Gamma^{(k)}(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} (\ln(t))^k t^{x-1} e^{-t} dt$
On en déduit : $\forall x > 0 \, , \, \Gamma ''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} (\ln(t))^2 t^{x-1} e^{-t} dt >0$
Donc : $\Gamma$ est convexe pour tout $x$ positif.
Conclusion : $\boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} \Gamma \in \mathfrak{C}^{\infty}(]0,+\infty[ , \mathbb{R}) \\ \Gamma^{(k)}(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty}(\ln(t))^k t^{x-1}e^{-t} dt\\ \Gamma \text{ est convexe } \forall x > 0 \\ \end{array} \right. } \, \, (4)$

5. Résultat (5)

$\forall x >0 \, , \, \Gamma(x) = \dfrac{\Gamma(x+1)}{x} \displaystyle \stackrel{\sim}{_{x\to 0}} \dfrac{\Gamma(1)}{x} = \dfrac{1}{x}$
Car $\Gamma$ est continue et $\Gamma(1) = 1$ .
$\Gamma(x) \displaystyle \stackrel{\sim}{_{x \to 0}} \dfrac{1}{x}$ , c'est-à-dire : $\Gamma(x) \stackrel{\longrightarrow}{_{x\to 0}} +\infty$ .
Soit $x \geq 2$ :
$\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \geq \displaystyle \int_2^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt \geq 2^{x-1} \displaystyle \int_2^{+\infty} e^{-t}dt = c2^{x-1}$ (avec c une constante positive)
Donc : $\Gamma(x) \displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{_{x\to+\infty}} +\infty$
Conclusion : $\boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} \Gamma(x) \displaystyle \stackrel{\sim}{_{x\to 0}} \dfrac{1}{x} \\ \Gamma(x) \displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{_{x\to 0}} +\infty\\ \Gamma(x) \displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{_{x\to+\infty}} +\infty \\ \end{array} \right.} \, \, (5)$

6. Résultat (6) : (graphe de $\Gamma$ )

$\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ , d'après le théorème de Rolle :
$\exists c \in ]1 , 2[ \, : \, \Gamma'(c) = 0$ .
$\forall x > 0 \, , \, \Gamma(x) \geq \Gamma'(c)(x - c) + \Gamma(c) = \Gamma(c)$
$\Gamma$ est continue.
Au point d'abscisse c, $\Gamma$ présente un minimum global.
$\dfrac{\Gamma(x)}{x} = \dfrac{x-1}{x}\dfrac{\Gamma(x)}{x-1} = \dfrac{x-1}{x} \Gamma(x-1) \displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{_{x\to+\infty}} +\infty$
La représentation graphique de $\Gamma$ présente une branche parabolique d'axe (oy) au voisinage de $+\infty$ .
Intégrales dépendantes d'un paramètre - supérieur : image 1

Intégrales dépendantes d'un paramètre - supérieur : image 1

$^{(*1)}$ : Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : Mathématicien, astronome et physicien allemand. Doté d'un grand génie, il a apporté de très importantes et nombreuses contributions à la science. il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, c'est pourquoi il est appelé : Le prince des mathématiques.
$^{(*2)}$ : Pierre-Simon Laplace (1749-1827) : Mathématicien et physicien Français, Il apporta plusieurs contributions importantes (mécanique céléste, théorie des probabilités, ...). Comme profession, il occupa plusieurs postes : Professeur, pensionnaire de la chaire de mécanique de l?Académie royale des sciences, directeur de la première société de géographie et même ministre de l'interieur, il est très connu pour son operateur qu'on appelle le Laplacien et aussi pour son transformé (transformé de Laplace).
$^{(*3)}$ : Leonhard Euler (1707-1783) : Mathématicien, astronome et physicien suisse, il intervint dans trois domaines fondamentaux de la science : l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction (en particulier la fonction Gamma). On lui doit plusieurs formules et relations (formules d'Euler pour les nombres complexes, ...), la relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe, ...

Merci à Panter

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