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Fiche de mathématiques






Prérequis : Dérivation


Dans ce paragraphe, [a,b] est un segment inclus dans \mathbb{R} \, (a < b) et F est un evn de dimension finie.


I. Intégration sur un segment des fonctions en escaliers

Définition :
On appelle subdivision de [a,b] toute famille finie (a_i)_{0\leq i\leq n} de réels avec n\geq 1 telle que :
a = a_0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n = b


Définition :
Une fonction f : [a,b] \longrightarrow F est dite en escalier ssi il existe une subdivision \sigma = (x_i)_{0\leq i\leq n} de [a,b] et (\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1})\in F^n tq :
\forall i \in \ldbrack 0 , n-1 \rdbrack \, , \, \forall t \in ]x_i,x_{i+1}[ \, : \, f(t)=\alpha_i


Notation :
L'ensemble des fonctions f : [a,b]\longrightarrow F en escalier sur [a,b] est noté \mathfrak{E}([a,b],F).
Définition
Soit f \in \mathfrak{E}([a,b],F) et \sigma=(x_i)_{0\leq i\leq n} une subdivision de [a,b].
On dit que \sigma est adaptée à f lorsque \forall i\in \ldbrack 0 , n-1 \rdbrack \, : \, f est constante sur ]x_i,x_{i+1}[.


Proposition - Définition :
Soit f\in\mathfrak{E}([a,b],F) et \sigma=(x_i)_{0\leq i\leq n} une subdivision de [a,b] adaptée à f, soit c_i la valeur constante de f sur ]x_i,x_{i+1}[ (0\leq i \leq n-1).
Le vecteur I(f,\sigma) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)c_i de F ne dépend pas du choix de \sigma, on l'appelle l'intégrale de f sur [a,b].
Et on note : \displaystyle \int_{[a,b]} f ou encore \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) \text{d}x.


N.B :
Dans la notation \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) \text{d}x, la lettre x est muette.

Interprétation géométrique :
Géométriquement, si f \in \mathfrak{E}([a,b],\mathbb{R}) et si \sigma est une subdivision de [a,b] adaptée à f, alors dans un repère orthonormé, la quantité I(f,\sigma) représente l'aire algébrique de la portion de plan délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation : x = a \,  , \, x = b. C'est une somme d'aires algébriques de rectangles.

cours sur l'intégration - supérieur : image 1
Propriétés
* f , g \in \mathfrak{E}([a,b],F) et \lambda \in K : \displaystyle \int_{[a,b]} (\lambda f+g) = \lambda \displaystyle \int_{[a,b]} f + \displaystyle \int_{[a,b]} g
* Si f \in \mathfrak{E}([a,b],F) , c \in ]a,b[ : \displaystyle \int_{[a,b]} f = \displaystyle \int_{[a,c]} f + \displaystyle \int_{[c,b]} f.
* Si f \in \mathfrak{E}([a,b],F) et ||.|| une norme de F : || \displaystyle \int_{[a,b]} f || \leq \displaystyle \int_{[a,b]}|| f||.
* Pour tout v \in F \, : \, \displaystyle \int_{[a,b]} v \text{d}x = v(b-a).


Théorème
Soit G un evn de dimension finie et u \in \mathfrak{L}(F,G), soit f \in \mathfrak{E}([a,b],F). On a alors :
* u \circ f \in \mathfrak{E}([a,b],G).
* \displaystyle \int_{[a,b]} u \circ f = u \left( \displaystyle \int_{[a,b]} f \right).


Proposition :
Soit f : [a,b] \longrightarrow F une fonction en escaliers, soit n = \dim F et \mathfrak{B} = (e_1,\cdots, e_n) une base de F, soit f_1,\cdots, f_n les fonctions composantes de f dans \mathfrak{B}. \forall t \in[a,b] \, : \, f(t) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i(t) e_i.
Alors :
* \forall i \in \ldbrack 1,n \rdbrack \, , \, f_i \in\mathfrak{E}([a,b],K).
* \displaystyle \int_{[a,b]} f = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(\displaystyle \int_{[a,b]} f_i \right) e_i.




II. Intégration sur un segment d'une fonction continue par morceaux

Définition :
Une application f : [a,b] \longrightarrow F est dite continue par morceaux ssi il existe une subdivision \sigma=(x_i)_{0\leq i\leq n} de [a,b] tq pour tout i \in \ldbrack 1,n-1 \rdbrack, on ait :
* f est continue sur ]x_i,x_{i+1}[.
* \displaystyle \lim_{x_i^+} f et \displaystyle \lim_{x_i^-} f existent dans F.


Notation :
L'ensemble des fonctions f : [a,b] \longrightarrow F continues par morceaux sur [a,b] est noté \mathfrak{C}_m^{o}([a,b],F).
Théorème - Définition :
Soit f \in \mathfrak{C}_m^{o}([a,b],F), soit (\phi_n) une suite d'éléments de\mathfrak{E}([a,b],F) qui converge uniformement sur [a,b] vers f. Alors :
* La suite \left(\displaystyle \int_{[a,b]} \phi_n \right)_n converge dans F.
* \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \int_{[a,b]} \phi_n ne dépend pas du choix de (\phi_n), on l'appelle l'intégrale de f sur [a,b], on la note : \displaystyle \int_{[a,b]} f ou encore \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) dx.


N.B :
Dans la notation \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) dx, la lettre x est muette.

Interprétation géométrique :
Géométriquement, dans un repère orthonormé, si f est à valeurs réelles, on dit que \displaystyle \int_{[a,b]} f représente l’aire algébrique de la portion de plan délimitée par la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a \, , \, x = b.
cours sur l'intégration - supérieur : image 2

Propriétés :
* Pour f \, , \, g \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) et \lambda \in K : \displaystyle \int_{[a,b]} (\lambda f + g) = \lambda \displaystyle \int_{[a,b]} f + \displaystyle \int_{[a,b]} g.
* Si f \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F), c \in ]a,b[ : \displaystyle \int_{[a,b]} f = \displaystyle \int_{[a,c]} f + \displaystyle \int_{[c,b]} f.
* Si f \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) et ||.|| une norme de F : ||\displaystyle \int_{[a,b]} f|| \leq \displaystyle \int_{[a,b]} || f||.
* Si f , g \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) vérifiant : \forall x \in [a,b], f(x) \leq g(x), alors : \displaystyle \int_{[a,b]} f \leq \displaystyle \int_{[a,b]} g.
* Si f \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) : ||\displaystyle \int_{[a,b]} f|| \leq (b-a) N_{\infty} (f).
* Soit : f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}, continue et positive. Alors : \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \int_{[a,b]}f \geq 0 \\ \displaystyle \int_{[a,b]} f = 0  \text{ ssi } \forall x \in [a,b] \, : \, f(x) = 0 \\ \end{array} \right.



Remarque :
Soit f:[a,b]\longrightarrow F \, \mathfrak{C}^o_m. Soit x_1,\cdots, x_p     p points de [a,b] et soit g:[a,b]\longrightarrow F une fonction qui coïncide avec f sauf aux points x_i (i\in\lbrace 1,\cdots, p\rbrace).
Alors : g\in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) et \displaystyle \int_{[a,b]} g = \displaystyle \int_{[a,b]}f.

Théorème :
Soit G un evn de dimension finie et u\in\mathfrak{L}(F,G), soit f\in\mathfrak{C}_m ^o([a,b],F). On a alors :
* u \circ f \in \mathfrak{C}^o_m([a,b],G).
* \displaystyle \int_{[a,b]} u \circ f = u \left( \displaystyle \int_{[a,b]} f \right).


Théorème :
Soit f : [a,b] \longrightarrow F, soit n = \dim F et \mathfrak{B}=(e_1,\cdots, e_n) une base de F, soit f_1,\cdots, f_n les fonctions composantes de f dans \mathfrak{B}. \forall t\in[a,b] : f(t)= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i(t) e_i.
Alors :
* f \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F) ssi \forall i \in \ldbrack 1,n \rdbrack, f_i\in\mathfrak{C}^o_m ([a,b],K).
* Si f \in \mathfrak{C}_m ^o([a,b],F), on a : \displaystyle \int_{[a,b]} f = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(\displaystyle \int_{[a,b]} f_i \right) e_i




III. Somme de Riemann(1)

Définition :
Soit f : [a,b] \longrightarrow F \, \mathfrak{C}^o_m. Soit \sigma = (x_o,\cdots, x_p) une subdivision de [a,b] et \mathfrak{C} = (c_0,\cdots, c_{p-1}) un p-uplet de réels tq : c_i \in [x_i,x_{i+1}]. Alors :
* (\sigma,\mathfrak{C}) est dit une subdivision pointée de [a,b].
* Le vecteur R=(f,\sigma,\mathfrak{C}) = \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} (x_{k+1}-x_k) f(c_k) de F est appelé une somme de Riemann associé à f.



Remarques :
* Il y a une infinité de sommes de Riemann associées à f.
* Une somme de Riemann associée à f est l'intégrale d'une fonction en escaliers.

Théorème :
Soit f : [a,b] \longrightarrow F \, \mathfrak{C}^o_m.
Alors pour tout \epsilon >0, il existe \delta >0 tq pour toute subdivision pointée (\sigma, \mathfrak{C}) de [a,b] on ait : \prod (\sigma) \leq  \delta \Longrightarrow ||\displaystyle \int_{[a,b]} f - R(f,\sigma, \mathfrak{C})||\leq \epsilon avec : \prod (\sigma) = \sup_{0\leq k\leq p-1} (x_{k+1}-x_k) quand \sigma=(x_o,\cdots, x_p).



Corollaire :
Soit (\sigma_n,\mathfrak{C}_n ) une suite de subdivisions pointées de [a,b] tq : \prod (\sigma_n) \stackrel{\longrightarrow}{_{n\to+\infty}} 0.
Alors : R(f,\sigma_n, \mathfrak{C}_n ) \stackrel{\longrightarrow}{_{n\to +\infty}} \displaystyle \int_{[a,b]} f.



Cas particulier : "Méthodes des rectangles pour le calcul approché d'une intégrale"
Dans la suite on ne considère que des subdivisions \sigma à pas constant, c'est-à-dire des subdivisions (x_k)_{0\leq k\leq p} tq : \forall k\in[|0,p-1|] : x_{k+1}-x_k = \dfrac{b-a}{p}. Pour une telle subdivision, on a : x_k = a+k\dfrac{b-a}{p}, et la quantité \dfrac{b-a}{p} est appelée pas de la subdivision.
* Méthode des rectangles de gauche :
\forall k \in \ldbrack 0,p-1 \rdbrack \, : \, c_k = x_k = a + k\dfrac{b-a}{p}
Alors : \dfrac{b-a}{p} \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} f \left(a + k \dfrac{b-a}{p} \right) \stackrel{\longrightarrow}{_{p\to +\infty}} \displaystyle \int_{[a,b]} f
cours sur l'intégration - supérieur : image 3


* Méthode des rectangles de droite :
\forall k \in \ldbrack 0,p-1 \rdbrack \, : \, c_k = x_{k+1} = a + (k+1)\dfrac{b-a}{p}
Alors : \dfrac{b-a}{p} \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} f \left(a+(k+1)\dfrac{b-a}{p}\right) = \dfrac{b-a}{p} \displaystyle \sum_{k=1}^{p} f\left(a+k\dfrac{b-a}{p} \right)  \stackrel{\longrightarrow}{_{p\to +\infty}} \displaystyle \int_{[a,b]} f.
cours sur l'intégration - supérieur : image 4


* Méthode du point médian :
\forall k \in \ldbrack 0,p-1 \rdbrack \, : \, c_k = \dfrac{x_{k+1}+x_k}{2} = a+ \left(k+\dfrac{1}{2} \right)\dfrac{b-a}{p}.
Alors : \dfrac{b-a}{p} \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} f \left(a+ \left(k+\dfrac{1}{2} \right) \dfrac{b-a}{p} \right) \stackrel{\longrightarrow}{_{p\to +\infty}} \displaystyle \int_{[a,b]} f.
cours sur l'intégration - supérieur : image 5


Et puisque les résultats de cette méthode sont juste des "approximations" d'une intégrale, on définit alors l'estimation de l'erreur :

L'estimation de l'erreur :
Si f:[a,b]\longrightarrow F est continue et k-lipschitzienne, alors : |R(f,\sigma_p, \mathfrak{C}_p) - \displaystyle \int_{[a,b]} f| \leq k \dfrac{(b-a)^2}{p}

Remarque :
Il existe plusieurs méthodes qui permettent d'approcher la valeur numérique d'une intégrale autres que la méthode des rectangles, citons à titre d'exemple :
* La méthode des trapèzes.
* La méthode de Simpson.

Exemples :
    * U_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k+n}{k^2+n^2}
On a : U_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1+\dfrac{k}{n}}{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^2}.
Donc : U_n \longrightarrow \displaystyle \int_{[0,1]} \dfrac{1+x}{1+x^2} dx = \dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\ln(2)}{2}
    * U_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(\cos \left(\dfrac{k-1}{n} \pi \right) - \cos \left(\dfrac{k+1}{n} \pi \right) \right)
On a : U_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(\cos \left(\dfrac{k\pi}{n} -\dfrac{\pi}{n} \right) -\cos \left(\dfrac{k\pi}{n} +\dfrac{\pi}{n} \right) \right)
= 2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right)\sin \left(\dfrac{k\pi}{n} \right) \\ = 2\sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\dfrac{k\pi}{n} \right)
 U_n \stackrel{\sim}{_{n\to+\infty}} \dfrac{2\pi}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\dfrac{k\pi}{n} \right) \, \stackrel{\longrightarrow}{_{n\to+\infty}} 2 \displaystyle \int_{[0,\pi]} \sin(x) dx = 4


IV. Extensions de la notion d'intégrale

1. Intégrale entre deux points d'une fonction continue par morceaux

Ici, I est un intervalle quelconque d'interieur non vide .
Définition :
Soit f:I\longrightarrow F. On dit que f est continue par morceaux sur l'intervalle I ssi elle l'est sur tout segment inclus dans I.


Notation :
On note \mathfrak{C}^o_m (I,F) l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur I.

Remarque :
Une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque n'est pas forcément bornée et ne possède pas forcément un nombre fini de points de discontinuité sur cet intervalle (erreur souvent rencontrée !)

Propriétés :
* Si f,g : I \longrightarrow F sont \mathfrak{C}^o_m et \lambda \in K alors \lambda f+g est \mathfrak{C}^o_m sur I.
* Si F est une K-algèbre normée et f,g : I\longrightarrow F sont \mathfrak{C}^o_m alors f\times g est \mathfrak{C}^o_m sur I.
* La restriction d'une fonction f: I\longrightarrow F \, \, \mathfrak{C}^o_m à un intervalle I' \subset I est \mathfrak{C}^o_m sur I'.
* Si f\in\mathfrak{C}^o_m (I,F), alors ||f||\in\mathfrak{C}^o_m.


Remarque :
\mathfrak{C}^o_m (I,F) est un sev de F^I, il en est même une sous-algèbre si F est une algèbre normée.

Définition :
Soit f: I\longrightarrow F \mathfrak{C}^o_m et (a,b)\in I^2.
On appelle intégrale de f entre a \text{ et } b le vecteur de F noté \displaystyle \int_a ^b f ou \displaystyle \int_a ^b f(x) dx tq :
\displaystyle \int_{a}^{b} f = \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \int_{[a,b]} f \text{ si } a < b \\ 0 \text{ si } a = b \\ -\displaystyle \int_{[a,b]} f \text{ si } a > b \\ \end{array} \right.


Propriétés :
* \forall (a,b)\in I^2 , \forall (f,g)\in\mathfrak{C}^o_m (I,F) , \forall \lambda \in K : \displaystyle \int_{a}^{b} (\lambda f+g) = \lambda \displaystyle \int_{a}^{b} f + \displaystyle \int_{a}^{b} g.
* \forall (a,b,c)\in I^3, \forall f\in\mathfrak{C}^o_m (I,F) : \displaystyle \int_{a}^{b} f = \displaystyle \int_{a}^{c} f + \displaystyle \int_{c}^{b} f.
* \forall f \in \mathfrak{C}^o_m (I,F), \forall (a,b)\in I^2 : ||\displaystyle \int_{a}^{b} f ||\leq | \displaystyle \int_{a}^{b}||f|| |.
* \forall f\in\mathfrak{C}^o_m (I,F), \forall (a,b)\in I^2 : ||\displaystyle \int_{a}^{b} f|| \leq |b-a| \sup_{t\in{[a,b]}^{\leftrightarrow}}  ||f(t)|| avec : [a,b]^{\leftrightarrow}  = \left \lbrace \begin{array}{l}  [a,b] \text{ si } a < b \\ [b,a] \text{ si } b < a \\ \end{array} \right.




2. Intégrale d'une fonction quasi-continue par morceaux

Définition :
Soit A une partie finie de [a,b].
Une fonction f:[a,b]\backslash A\longrightarrow F est dite quasi-continue par morceaux sur [a,b] ssi f admet un prolongement à [a,b] continu par morceaux.


Remarques :
* f:[a,b]\backslash A\longrightarrow F est quasi-continue par morceaux ssi elle admet une limite à droite en tout point de [a,b[ et une limite à gauche en tout point de ]a,b].
* Si f:[a,b]\backslash A\longrightarrow F est quasi-continue par morceaux, tout prolongement de f à [a,b] est continue par morceaux.
Proposition - définition :
Soit f:[a,b]\backslash A\longrightarrow F quasi-continue par morceaux, soit g: [a,b]\longrightarrow F continue par morceaux prolongeant la fonction f.
Alors \displaystyle \int_{[a,b]} g ne dépend pas du choix de g, on l'appelle l'intégrale de f sur [a,b], on la note \displaystyle \int_{[a,b]} f ou encore \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) dx.


Remarques :
* Ainsi, les intégrales suivantes ont un sens : \displaystyle \int_{[0,1]} x\ln(x) dx, \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\sin(t)}{t} dt, \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x-1}{x} dx, ....
* On définit de même les notions de fonction quasi-continue par morceaux sur un intervalle I et on admet que toutes les propriétés s'étendent.

(1):Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) : Mathématicien allemand, On lui doit d'importants travaux sur les intégrales, qui ont donné ce qu'on appelle aujourd'hui les intégrales de Riemann, sur la géométrie non-Euclidienne et aussi sur les fonctions à variables complexes.



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