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ImprimerEspaces vectoriels normés : limites et continuité
Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn) [Topologie]
Limite et continuité dans On note indifféremment la norme de I. Limites
1. Généralités
Définition :
Soit
, 
et 
.
On dit que
admet 
pour limite en 
(ou encore que )
tend vers quand 
tend vers ) ssi :
 \: \(\exist \eta > 0\) \: \(\forall x \in D\) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon)
.
On écrit : \longrightarrow_{x\to a} \ell)
ou  = \ell)
.
Remarques :
Soit
On dit que
On écrit :
Rq 1. Si
Donc tout
Rq 2. Si
Or :
Alors quand
Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de
En effet :
Théorème : unicité de la limite
Soit et .
Si admet une limite au point alors est unique.
Soit
Si
Théorème :
Soit
.
Si admet une limite dans 
au point , alors il existe )
tq est bornée sur 
.
Soit
Si
Proposition :
Soit et .
Alors ssi ) \, \(\exist U \in \mathfrak{V}(a)\))
tq : \subset V)
.
Soit
Alors
Théorèmes : "Les caractérisations séquentielles de la limite"
La 1ère caractérisation :
Soit
, alors :
ssi :  \in D^{\mathbb{N}})
,  \longrightarrow_{n\to+\infty} \ell)
.
La 2ème caractérisation :
Soit
.
Alors ssi : )_{n\in\mathbb{N}})
converge.
Exemple :
La 1ère caractérisation :
Soit
Soit
Alors
Soit
Soit
Critère de Cauchy :
Soit
, si est complet, alors :
admet une limite au point ssi : \(\exist \eta > 0\)\(\forall (x,y)\in D^2\) \: : \: \{{||x - a|| \leq \eta \atop ||y-a|| \leq \eta} \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon)
.
Exemple : .
Soit
Soit
Soit
Montrons que
Soit
Soit
On a :
2. Opérations sur les limites
Théorème :
Soit
, 
tq : et  \longrightarrow_{x\to a} L)
.
Alors :
 + g(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell + L)
 \: \longrightarrow_{x\to a} \: \lambda \ell)
.
Si est une 
-algèbre normée :  \times g(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell \times L)
.
Soit
Alors :
Si Théorème :
Soit
tq : ,  \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell)
et  \text{ et } \ell \not= 0 ))
. Alors :
} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{1}{l})
.
}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{L}{l})
.
Soit
Théorème :
Soit, 
; , 
, 
tq :
.
est un evn.
 \in \Delta)
.
 \: \longrightarrow_{x\to a} \: b)
et  \: \longrightarrow_{y\to b} \: \ell)
.
Alors :  \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell)
.
Soit
3. Cas où E et F sont de dimension finie
Ici,Soit
Ainsi,
Théorème :
Avec les notations précédentes, soit.
Alors admet une limite dans au point ssi chaque 
admet une limite dans au point .
De plus, dans ce cas : = \bigsum_{i=1}^p \(\lim_{x\to a}f_i(x)\)e_i)
Exemple :
Avec les notations précédentes, soit
Alors
De plus, dans ce cas :
Calculons la limite en
Donc :
4. Cas où E est un espace produit
Ici, Proposition :
Soit
,  \in \bar{D})
et 
Alors :\longrightarrow_{x\to a} \, \ell)
ssi 
, 
,  \in D)
:
 - \ell|| \leq \epsilon)
.
Exemple :
Soit
Alors :
Soit
On a :
Soit
Quand
Soit donc
Soit
5. Extensions de la notion de la limite
a) Limite par valeurs differentes
Définition :
Soit, 
Si
admet une limite au point , est dit une limite de au point par valeurs différentes.
On écrit : \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \: \ell)
Remarque :
Soit
Si
On écrit :
Ainsi,
Proposition :
Soit, 
, .
Si, alors :  \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell)
.
La réciproque est fausse en général.
Remarque :
Soit
Si
La réciproque est fausse en général.
La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.
b) Cas 
: limite à droite - limite à gauche
Ici, Définition :
Soit, 
tq : 
.
Si
admet une limite au point , est appelée une limite de à droite du point .
On écrit : \longrightarrow_{x \to a \atop x > a} \: \ell)
ou  \longrightarrow_{x\to a^+} \ell)
ou encore  = \ell)
.
Soit
Si
On écrit :
Définition :
Soit
, tq : 
.
Si
admet une limite au point , est appelée une limite de à gauche au point .
On écrit :\longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell)
ou \longrightarrow_{x\to a^-} \ell)
ou encore  = \ell)
Remarque :
Soit
Si
On écrit :
Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.
Théorème :
Soit, tq 
. Soit , alors :
\longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell)
ssi :
 \longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell)
 \longrightarrow_{x\to a\atop x>a} \ell)
Remarques :
Soit
c) Cas : limite en 
et en 
Définition :
Soit où 
contient un intervalle de la forme 
, soit .
On dit que admet la limite en ssi :  \, (\exist B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \geq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon)
.
Et on écrit : \longrightarrow_{x\to+\infty} \ell)
ou  = \ell.)
Soit
On dit que
Et on écrit :
Définition :
Soit où contient un intervalle de la forme 
, soit .
On dit que admet une limite en ssi :  \, (\exist B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \leq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon)
.
Et on écrit : \longrightarrow_{x \to -\infty} \ell)
.
Remarque :
Soit
On dit que
Et on écrit :
Les notions de limite en
d) Cas 
: les limites infinies
Ici Définition :
Soit
, 
.
On dit que admet une limite au point ssi :  \, (\exist \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \geq A)
On écrit : \longrightarrow_{x\to a} +\infty)
ou  = +\infty)
Soit
On dit que
On écrit :
Définition :
Soit, .
On dit que admet une limite au point ssi :  \, (\exist \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \leq A)
On écrit : \begin{array}{c} \longrightarrow\\ x \to a \end{array} = -\infty)
ou  = -\infty)
Soit
On dit que
On écrit :
Propriétés :
Si\longrightarrow_{x\to a} -\infty)
, alors n'est minorée sur aucun voisinage de .
Si\longrightarrow_{x\to a} +\infty)
, alors n'est majorée sur aucun voisinage de .
Remarques :
Si
Si
Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.
Proposition :
Soit
, tq :  \longrightarrow_{x\to a} 0 \atop \rm \forall x \in D : f(x) > 0 \: (\text{resp } < 0)})
Alors :} \longrightarrow_{x\to a} +\infty \: (\text{ resp } : -\infty))
.
Soit
Alors :
Proposition :
Soit, tq : \longrightarrow_{x\to a}+\infty (\text{resp } -\infty) \atop 0 \not \in f(D)})
Alors :} \: \longrightarrow_{x\to a} \: 0)
Soit
Alors :
II. Continuité
1. Généralités
Définition :
Soit, 
.
On dit que est continue au point au point ssi possède une limite au point .
Remarque :
Soit
On dit que
Remarques :
La continuité de
La notion de continuité est une notion locale.
Proposition :
Soit, .
Si est continue au point alors il existe )
tq est bornée sur 
.
Soit
Si
Théorème : "Caractérisation séquentielle de la continuité"
Soit, . Alors les p.s.s.e :
est continue au point
 \in D^{\mathbb{N}}) \: : \: x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a \Longrightarrow f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} f(a))
.
Soit
Théorème :
Soit
, tq et 
sont continues au point et soit 
. Alors :
et 
sont continues au point .
Si est une -algèbre normée : 
est continue au point .
Si 
et )
: 
est continue au point .
Soit
Si Si Théorème :
Soit et , 
tq :
est un evn
 \subset \Delta)
est continue au point et est continue au point )
.
Alors
est continue au point .
Soit
Alors
Proposition :
Soit
tq : \not=0_F})
.
Alors il existe)
tq : \not = 0_F)
Soit
Alors il existe
Définition :
Soit.
On dit que est continue sur (ou dans ) ssi elle l'est en tout point de .
Remarque :
Soit
On dit que
On note
Si
Exemples :
1. Toutes les fonctions lipschitziennes sur
Voir paragraphe I)
2. Toutes les fonctions polynômiales de p-variables scalaires sont continue sur
Une fonction polynômiale
Par exemple :
3. Les fonctions rationnelles de p-variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition
Une fonction rationnelle
Son ouvert de définition est :
Theorème :
Soit, tq est de dimension finie 
, soit )
une base de et 
les fonctions composantes de relativement à 
.
Alors est continue au point (resp. sur ) ssi chacune des fonctions avec 
l'est au point (resp.sur ).
Soit
Alors
Theorème :
Soit
des evn et 
, , soit 
la 
ème fonction projection de .
Alors est continue au point (resp. sur ) ssi chaque avec l'est au point (resp.sur ).
Soit
Alors
2. Critère de continuité globale
Définition :
Soit
.
On appelle ouvert relatif de
(resp. fermé relatif de ) tout ensemble de la forme 
où 
est un ouvert (resp. fermé) de 
.
Remarques :
Soit
On appelle ouvert relatif de
1.
Toute réunion d'ouverts de Toute intersection finie d'ouverts relatifs de On a : Tout ouvert relatif d'un ouvert de 2. Dans 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter
3.
Theorème :
Soit. Alors les p.s.s.e :
est continue sur .
l'image réciproque par de tout ouvert de est ouvert relatif de .
l'image réciproque par de tout fermé de est fermé relatif de .
Soit
l'image réciproque par l'image réciproque par Corollaire :
Soit
. Alors :
est continue sur ssi l'image réciproque par de tout ouvert de est un ouvert de ssi l'image réciproque par de tout fermé de est un fermé de .
Exemple :
Soit
Donc
3. Continuité et compacité
Theorème :
Soit tq : 
Alors)
est un compact de .
Soit
Alors
Corollaire :
Soit tq :
Alors est bornée sur et atteint ses bornes.
Soit
Alors
Corollaire :
Soit tq :
.
Alors :|| et \min_{x\in D}||f(x)|| existent })
Rappel :
Soit
Alors :
On note
(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)
Remarques :
Si Sur 4. Continuité et densité
Theorème :
Soit
continue et , 
deux parties de tq est dense dans (ie : 
).
Alors)
est dense dans )
.
Remarques :
Soit
Alors
Si
Soit
Exemple :
Cependant,
Alors
Theorème :
Soit
continues et une partie dense dans tq :  : f(x) = g(x))
.
Alors : \: : \: f(x) = g(x))
.
Exemple :
Soit
Alors :
On veut determiner toutes les fonctions
On constate que :
et :
Puis :
Donc :
Ensuite
On a :
Comme
Conclusion :
5. Continuité et connexité par arcs
Définition :
Soit une partie de . On dit que est un convexe ssi : 
, 
, 
: a+tb\in A)
.
Exemples :
Soit
Définition :
Soit une partie non vide de .
On dit que est étoilée ssi : 
, , 
: .
Soit
On dit que
Remarque :
Tout convexe non vide est étoilé.
La réciproque est fausse en général.
Contre-exemple :
Définition :
Soit une partie de .
On dit que est connexe par arcs ssi pour tout \in A^2)
il existe 
continue tq :
 = a , \gamma(1) = b \atop \gamma([0,1])\subset A})
Soit
On dit que
Vocabulaire et remarques :
Une telle application 
est dite un chemin de joignant à 
et contenu dans .
connexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de peuvent être joints par un chemin contenu dans .
Exemple :
Une telle application Soit
Soit
Posons :
Soit
donc
Theorème :
Toute partie étoilée est connexe par arcs.
Remarques :
Toute partie étoilée est connexe par arcs.
Si Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.
Theorème :
Les connexes par arcs de
sont les intervalles.
Remarque :
Les connexes par arcs de
Pour une partie
Theorème : "Des valeurs intermédiaires général" :
L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.
L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.
III. Continuité uniforme
Définition :
On dit que est dite uniformement continue ssi :
 \: (\exist \eta >0) \: (\forall(x,y)\in D^2) \: : \: ||x - y|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon)
Remarque :
On dit que
Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continues.
Theorème :
Soit. Alors les p.s.s.e :
est uniformément continue.
\in D^{\mathbb{N}})
, \in D^{\mathbb{N}})
:  - f(y_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} 0_F)
Soit
Proposition :
Toute fonction uniformément continue est continue.
Toute fonction uniformément continue est continue.
Theorème de "Heine" général :
Soit tq : 
Alors est uniformément continue.
Soit
Alors
IV. Applications linéaires continues
Ici,
Theorème :
Soit)
. Alors les p.s.s.e :
est continue.
est continue en 
.
est bornée sur )
est bornée sur )
.
il existe 
tq : ||_F\leq k||x||_E)
.
est lipshitizienne.
est uniformément continue.
Remarque :
Soit
il existe Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique.
Exemple :
Soit
Or :
Et
Donc
Theorème :
Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.
Notation :
Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.
On note
Proposition :
Soit)
.
On note :||_F)
, ||_F)
, ||_F}{||x||_E})
et ||_F\leq k ||x||_E\})
existent dans et on a : 
.
Notation :
Soit
On note :
Pour
Donc
Proposition :
Soit)
et )
où est un evn dont la norme est notée 
.
Alors :
.
Soit
Alors :
Théorème - Définition :
1. L'application & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & f & \longrightarrow & |||f||| \end{array})
est une norme sur )
appelée la norme d'opérateur subordonnée aux 
.
2. Si
, 
est une norme d'algèbre sur )
.
Calcul pratique de 1. L'application
2. Si
Méthode 1 :
Si on a montré qu' il existe
Alors
Si l'inégalité
En effet, s'il existe
Alors
Donc :
Méthode 2 :
Si on a montré qu' il existe
S'il existe
En effet:
Or :
D'où
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