Fiche de mathématiques

Espaces vectoriels normés : limites et continuité

Prérequis :

Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn) [Topologie]

Limite et continuité dans $\mathbb{R}$ [Analyse réelle]

Dans tout ce chapitre :

$K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ .

$E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels normés (evn).

On note indifféremment la norme de $E$ et de $F$ : $||.||$ .

$D\subset E$ et $D\not = \not O$ .

I. Limites

1. Généralités

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow F$ , $a \in \bar{D}$ et $\ell \in F$ .
On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ (ou encore que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ ) ssi :
$\left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists \eta > 0\right) \: \left(\forall x \in D\right) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$ .
On écrit : $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \ell$ .

Remarques :
Rq 1. Si $a \not \in \bar{D}, \, \exists \eta_o > 0$ tq : $B_f(a,\eta_o) \cap D = \not O$ , alors :
$\forall \ell \in F, \, \forall \epsilon > 0, \, \forall x \in D \: : \: ||x-a|| \leq \eta_o \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$
Donc tout $\ell \in F$ serait limite de $f$ au point $a$ : la notion de limite perdrait son sens, c'est pourquoi on prend toujours : $a \in \bar{D}$ .
Rq 2. Si $a \in D$ et $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ , alors pour $\epsilon > 0$ quelconque, on a $\eta > 0$ tq : $\forall x \in D \cap B_f(a,\eta)$ : $||f(a) - \ell|| \leq \epsilon$ .
Or : $a \in D \cap B_f(a,\eta)$ , donc : $||f(a) - \ell|| \leq \epsilon \: \forall \epsilon > 0.$
Alors quand $\epsilon \to 0 \: : \: ||f(a) - \ell|| \leq 0$ , on conclut alors que dans le cas où $a \in D \: : \: \ell = f(a).$
Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de $f$ au point $a$ , il suffit de connaître le comportement local de $f$ dans un voisinage $V$ de $a$ .
En effet : $f(x)\longrightarrow_{x\to a} \ell \: \: \Longleftrightarrow f_{/V\cap D}(x)\longrightarrow_{x\to a} \ell$ .

Théorème : unicité de la limite

Soit $f : D \longrightarrow F$ et $a \in \bar{D}$ .
Si $f$ admet une limite $\ell \in F$ au point $a$ alors $\ell$ est unique.

Théorème :

Soit $f : D \longrightarrow F \, , \, a\in\bar{D}$ .
Si $f$ admet une limite dans $F$ au point $a$ , alors il existe $V \in \mathfrak{V}(a)$ tq $f$ est bornée sur $V\cap D$ .

Proposition :

Soit $f : D \longrightarrow F \, , \, a\in\bar{D}$ et $\ell \in F$ .
Alors $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ ssi $(\forall V \in \mathfrak{V}(a)) \, \left(\exists U \in \mathfrak{V}(a)\right)$ tq : $f(U \cap D)\subset V$ .

Théorèmes : "Les caractérisations séquentielles de la limite"

La 1ère caractérisation :
Soit $f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D} \, , \, \ell \in F$ , alors :
$f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ ssi : $\forall(x_n) \in D^{\mathbb{N}}$ , $x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a \: \Longrightarrow \: f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} \ell$ .

La 2ème caractérisation :
Soit $f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}$ .
Alors $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ ssi $\forall(x_n) \in D^{\mathbb{N}}$ : $x_n\longrightarrow_{n\to+\infty} a \: \Longrightarrow \: (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Exemple :
Soit $\begin{array}{rcl} f : & D & \longrightarrow & F &\\ \hspace{1pt} & x & \longrightarrow & c \end{array}$ avec $c \in F$ fixé
Soit $a \in \bar{D}$ quelconque, soit $(x_n)_n \in D^{\mathbb{N}}$ tq : $x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a$
$\forall n \in \mathbb{N} \: : \: f(x_n) = c$ , d'où : $f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} c$
$f$ admet une limite $c$ en tout point $a \in \bar{D}$ .

Critère de Cauchy :

Soit $f: D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}$ , si $F$ est complet, alors :
$f$ admet une limite au point $a$ ssi : $\left(\forall \epsilon > 0\right)\left(\exists \eta > 0\right)\left(\forall (x,y)\in D^2\right) \: : \: \lbrace {||x - a|| \leq \eta \atop ||y-a|| \leq \eta} \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon$ .

Exemple : .
Soit $f : D \longrightarrow F$ $k$ -lipschitzienne.
Soit $a \in \bar{D} \backslash D$ et $F$ complet.
Montrons que $f$ admet une limite au point $a$ en utilisant le critère de Cauchy :
Soit $\epsilon > 0 \, , \, \eta = \frac{\epsilon}{2(k+1)}$ .
Soit $(x , y) \in D$ tq : $||x - a|| \leq \eta$ et $||y - a|| \leq \eta$ .
On a : $||f(x) - f(y)|| \leq k||x - y|| \leq k\left(||x - a|| + ||a - y||\right) \leq \frac{k}{k+1} \epsilon \leq \epsilon$ d'où le resultat.

2. Opérations sur les limites

Théorème :

Soit $g, \, f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}$ , $\ell, L \in F$ tq : $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ et $g(x) \longrightarrow_{x\to a} L$ .
Alors :

$f(x) + g(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell + L$

$\forall \lambda \in K \: : \: \lambda f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \lambda \ell$ .

Si $F$ est une $K$ -algèbre normée : $f(x) \times g(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell \times L$ .

Théorème :

Soit $g, \, f : D \longrightarrow K, \, a \in \bar{D} \, , \, \ell, \, L \in K$ tq : $g(x) \longrightarrow_{x\to a} L$ , $f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell$ et $\left(0 \not \in f(D) \text{ et } \ell \not= 0 )$ . Alors :

$\frac{1}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{1}{l}$ .

$\frac{g(x)}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{L}{l}$ .

Théorème :

Soit $f : D \longrightarrow F$ , $g : \Delta \longrightarrow G$ ; $a \in \bar{D}$ , $b \in \Delta$ , $\ell \in G$ tq :

$\Delta \subset F, \Delta \not = \not O$ .

$G$ est un evn.

$f(D) \in \Delta$ .

$f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: b$ et $g(y) \: \longrightarrow_{y\to b} \: \ell$ . Alors : $g \circ f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell$ .

3. Cas où E et F sont de dimension finie

Ici, $F$ est dimension finie $p > 1$ . Soit $\mathfrak{B}=(e_1,\cdots,e_p)$ une base de $F$ .
Soit $f : D\longrightarrow F$ . Pour tout $x \in D$ , posons :
$f(x) = \bigsum_{i=1}^{p} f_i(x) e_i$ où $f_i(x) \in K$ est la $i$ ème composante de $f(x)$ dans $\mathfrak{B}$ .
Ainsi, $f$ est complètement determinée par les $p$ fonctions scalaires $f_i : D\longrightarrow K$ .
$f_1,\cdots, f_p$ s'appellent les fonctions composantes de $f$ relativement à la base $\mathfrak{B}$ .

Théorème :

Avec les notations précédentes, soit $a \in \bar{D}$ .
Alors $f$ admet une limite dans $F$ au point $a$ ssi chaque $f_i$ admet une limite dans $K$ au point $a$ .
De plus, dans ce cas : $\red \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \bigsum_{i=1}^p \left(\displaystyle \lim_{x\to a}f_i(x)\right)e_i$

Exemple :
$\begin{array}{rcl} f : & \mathbb{R}^* & \longrightarrow& \mathbb{R}^3&\\ \hspace{1pt} & x & \longrightarrow & \left(\frac{e^x-1}{x} \, , \, x\ln|x| \, , \, x^2-1\right) \end{array}$
$f_1 : x \longrightarrow \frac{e^x-1}{x} \, , \hspace{15pt} f_2:x \longrightarrow x\ln|x|$ et $f_3 : x\longrightarrow x^2-1$ sont les trois fonctions composantes de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .
Calculons la limite en $0 \in \bar{\mathbb{R}^*}$ :
$f_1(x)\longrightarrow_{x\to 0} 1 \, ; \, f_2(x) \longrightarrow_{x\to 0} 0 \, ; \, f_3(x) \longrightarrow_{x\to 0} -1$ .
Donc : $f(x) \longrightarrow_{x\to 0} (1, 0, -1)$

4. Cas où E est un espace produit

Ici, $E = E_1 \times \cdots \times E_p$ est un evn produit de $p$ evn $(E_i,||.||_i)$ .
$D \subset E$ et $D \not = \not O$ .

Proposition :

Soit $f : D\longrightarrow F$ , $a = (a_1, \cdots , a_p) \in \bar{D}$ et $\ell \in F.$
Alors : $f(x)\longrightarrow_{x\to a} \, \ell$ ssi $\forall \epsilon > 0$ , $\exists \eta > 0$ , $\forall x = (x_1, \cdots, x_p) \in D$ :
$\lbrace {||x_1-a_1||_1 \leq \eta \atop \vdots \\ ||x_p - a_p||_p \leq \eta } \: \Longrightarrow \: ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$ .

Exemple :
Soit $\begin{array}{rcl}f : & \mathbb{R}^*\times\mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & (x,y) & \longrightarrow & y\frac{\sin x}{x}+e^y \end{array}$
On a : $(0,0) \in \bar{\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}}$ , montrons que la limite en ce point de $f(x,y)$ est 1 :
Soit $\epsilon >0, \, \forall(x,y) \in \mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ : $|f(x,y) - 1| - \|y\frac{\sin x}{x} + e^y - 1\| \leq |y| \|\frac{\sin x}{x}\| + |e^y - 1| \leq |y| + |e^y-1|$ .
Quand $t\to 0$ , $|t| \to 0$ et $|e^t-1| \to 0$ .
Soit donc $\eta_1 > 0$ et $\eta_2 > 0$ tq : $\lbrace {|t|\leq \eta_1 \Longrightarrow |t| \leq \frac{\epsilon}{2} \atop |t| \leq \eta_2 \Longrightarrow |e^t - 1| \leq \frac{\epsilon}{2}}$ .
Soit $\eta = \min (\eta_1,\eta_2)$ , on a : $\lbrace {|x| \leq \eta \atop |y| \leq \eta}$ $\Longrightarrow |f(x,y) - 1| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

5. Extensions de la notion de la limite
a) Limite par valeurs differentes

Définition :

Soit $f : D\longrightarrow F$ , $a \in \bar{D\backslash\lbrace a\rbrace }.$
Si $f_/_{D\backslash\lbrace a\rbrace }$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est dit une limite de $f$ au point $a$ par valeurs différentes.
On écrit : $\large f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \: \ell$

Remarque :
Ainsi,
$\large{f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \: \ell} \: \Longleftrightarrow \left((\forall \epsilon > 0\right) (\exists \eta > 0) \: (\forall x\in D) \: : \: 0 < ||x-a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon)$ .

Proposition :

Soit $f : D\longrightarrow F$ , $a \in \bar{D\backslash\lbrace a\rbrace }$ , $\ell \in F$ .
Si $f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell$ , alors : $\large f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell$ .
La réciproque est fausse en général.

Remarque :
La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

b) Cas $E = \mathbb{R}$ : limite à droite - limite à gauche

Ici, $E = \mathbb{R}$ , $D \subset \mathbb{R} , D\not = \not O$ .

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow F$ , $a \in \mathbb{R}$ tq : $a \in \bar{D \cap ]a,+\infty[}$ .
Si $f_/_{D\cap]a,+\infty[}$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est appelée une limite de $f$ à droite du point $a$ .
On écrit : $f(x) \longrightarrow_{x \to a \atop x > a} \: \ell$ ou $f(x) \longrightarrow_{x\to a^+} \ell$ ou encore $\displaystyle \lim_{x\to a_+} f(x) = \ell$ .

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \mathbb{R}$ , tq : $a \in \bar{D \cap ]-\infty , a[}$ .
Si $f_/_{D \cap ]-\infty , a[}$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est appelée une limite de $f$ à gauche au point $a$ .
On écrit : $f(x)\longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell$ ou $f(x)\longrightarrow_{x\to a^-} \ell$ ou encore $\displaystyle \lim_{x\to a_-} f(x) = \ell$

Remarque :
Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

Théorème :

Soit $f : D \longrightarrow F$ , $a \in \mathbb{R}$ tq $a \in \bar{D\cap]-\infty,a[} \cap \bar{D\cap]a,+\infty[}$ . Soit $\ell \in F$ , alors :
$f(x)\longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell$ ssi :

$f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell$

$f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x>a} \ell$

Remarques :

$f(x) \longrightarrow_{x\to a^+} \ell \: \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon >0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x\in D) \: : \: a\leq x \leq a+ \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon]$

$f(x)\longrightarrow_{x\to a^-} \ell \: \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: a - \eta \leq x \leq a \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon]$

c) Cas $E = \mathbb{R}$ : limite en $+\infty$ et en $-\infty$

Définition :

Soit $f : D\longrightarrow F$ où $D$ contient un intervalle de la forme $[\alpha , +\infty[$ , soit $\ell \in F$ .
On dit que $f$ admet la limite $\ell$ en $+\infty$ ssi : $(\forall \epsilon > 0) \, (\exists B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \geq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$ .
Et on écrit : $f(x) \longrightarrow_{x\to+\infty} \ell$ ou $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell.$

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow F$ où $D$ contient un intervalle de la forme $]-\infty , \beta]$ , soit $\ell \in F$ .
On dit que $f$ admet une limite $\ell$ en $-\infty$ ssi : $(\forall \epsilon > 0) \, (\exists B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \leq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$ .
Et on écrit : $f(x) \longrightarrow_{x \to -\infty} \ell$ .

Remarque :
Les notions de limite en $-\infty$ et en $+\infty$ sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

d) Cas $F = \mathbb{R}$ : les limites infinies

Ici $F = \mathbb{R}$ .

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ , $a\in\bar{D}$ .
On dit que $f$ admet une limite $+\infty$ au point $a$ ssi : $(\forall A > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \geq A$
On écrit : $f(x) \longrightarrow_{x\to a} +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = +\infty$

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in \bar{D}$ .
On dit que $f$ admet une limite $-\infty$ au point $a$ ssi : $(\forall A > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \leq A$
On écrit : $f(x) \begin{array}{c} \longrightarrow\\ x \to a \end{array} = -\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$

Propriétés :

Si $f(x)\longrightarrow_{x\to a} -\infty$ , alors $f$ n'est minorée sur aucun voisinage de $a$ .
Si $f(x)\longrightarrow_{x\to a} +\infty$ , alors $f$ n'est majorée sur aucun voisinage de $a$ .

Remarques :
Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.

Proposition :

Soit $f : D\longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in \bar{D}$ tq : $\lbrace {f(x) \longrightarrow_{x\to a} 0 \atop \rm \forall x \in D : f(x) > 0 \: (\text{resp } < 0)}$
Alors : $\frac{1}{f(x)} \longrightarrow_{x\to a} +\infty \: (\text{ resp } : -\infty)$ .

Proposition :

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in \bar{D}$ tq : $\lbrace {f(x)\longrightarrow_{x\to a}+\infty (\text{resp } -\infty) \atop 0 \not \in f(D)}$
Alors : $\frac{1}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: 0$

II. Continuité

1. Généralités

$D\subset E$ et $D\not = \not O$ .

Définition :

Soit $f : D\longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in D$ .
On dit que $f$ est continue au point au point $a$ ssi $f$ possède une limite au point $a$ .

Remarque :
$f \text{ est continue au point } a \: \Longleftrightarrow \: f(x) \longrightarrow_{x\to a} f(a) \\ \hspace{190pt} \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in A) ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(a)|| \leq \epsilon] \\ \hspace{190pt} \Longleftrightarrow \: [(\forall V \in \mathfrak{V}(f(a))) \: (\exists U\in\mathfrak{V}(a)) \: : \: f(U\cap D)\subset V]$

Remarques :
La continuité de $f$ au point $a\in D$ ne s'affecte pas dans un passage d'une norme à une autre équivalente à la première aussi bien dans $E$ que dans $F$ .
La notion de continuité est une notion locale.

Proposition :

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in D$ .
Si $f$ est continue au point $a$ alors il existe $U \in \mathfrak{V}(a)$ tq $f$ est bornée sur $U\cap D$ .

Théorème : "Caractérisation séquentielle de la continuité"

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ , $a \in D$ . Alors les p.s.s.e :

$f$ est continue au point $a$

$(\forall (x_n) \in D^{\mathbb{N}}) \: : \: x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a \Longrightarrow f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} f(a)$ .

Théorème :

Soit $f \, , \, g : D \longrightarrow F$ , $a \in D$ tq $f$ et $g$ sont continues au point $a$ et soit $\mu \in K$ . Alors :

$f+ g$ et $\mu f$ sont continues au point $a$ .

Si $F$ est une $K$ -algèbre normée : $f \times g$ est continue au point $a$ .

Si $F = K$ et $0 \not\in f(D)$ : $\frac{1}{f}$ est continue au point $a$ .

Théorème :

Soit $f : D \longrightarrow F$ et $g : \Delta \longrightarrow G$ , $a\in D$ tq :

$\Delta \subset F$

$\Delta \not=\not O$

$G$ est un evn

$f(D) \subset \Delta$

$f$ est continue au point $a$ et $g$ est continue au point $f(a)$ .
Alors $g \circ f$ est continue au point $a$ .

Proposition :

Soit $f:D\longrightarrow F$ tq : $\rm\lbrace {f est continue au point a\atop f(a)\not=0_F}$ .
Alors il existe $V\in\mathfrak{V}(a)$ tq : $\forall x\in V\cap D \: : \: f(x)\not = 0_F$

Définition :

Soit $f : D \longrightarrow F$ .
On dit que $f$ est continue sur $D$ (ou dans $D$ ) ssi elle l'est en tout point de $D$ .

Remarque :
On note $\mathfrak{C}^o(D,F)$ l'ensemble des fonctions $f : D\longrightarrow F$ continues sur $D$ .
$\mathfrak{C}^o(D,F)$ est un sev de $F^D$ .
Si $F$ est une $K$ -algèbre normée, alors $\mathfrak{C}^o(D,F)$ est une sous algèbre de $F^D$ .

Exemples :
1. Toutes les fonctions lipschitziennes sur $D$ sont continues sur $D$
Voir paragraphe I)

2. Toutes les fonctions polynômiales de p-variables scalaires sont continue sur $K^p$
Une fonction polynômiale $f$ de $p$ -variables scalaires s'écrit sous la forme :
$\begin{array}{rcl}f: & K^p & \longrightarrow& K&\\ & (x_1,\cdots,x_p) & \longrightarrow & \bigsum_{(i_1,\cdots , i_p)\in S} a_{i_1\cdots i_p}x_1^{i_1}\cdots x_p^{i_p} \end{array}$ (avec $S$ une partie finie de $\mathbb{N}^p$ ).
Par exemple : $\begin{array}{rcl}f: & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & (x,y) & \longrightarrow & 2x^2y-x^3y^3+x^2-y^2x \end{array}$ , $\begin{array}{rcl}f: & \mathbb{C}^3 & \longrightarrow& \mathbb{C}&\\ & (z_1,z_2,z_3) & \longrightarrow & z_1z_2z_3+2z_1^2+z_2z_3^5 \end{array}$

3. Les fonctions rationnelles de p-variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition $\mathfrak{D}$
Une fonction rationnelle $h$ de p- variables scalaires s'écrit : $h = \frac{f}{g}$ avec $f , g : K^p \longrightarrow K$ polynomiales de p-variables scalaires.
Son ouvert de définition est : $\mathfrak{D}_h=\lbrace (x_1,\cdots,x_p)\in K^p/g(x_1,\cdots,x_p)\not = 0\rbrace$ . (on montre facilement que c'est un ouvert)

Theorème :

Soit $f : D\longrightarrow F$ , $a \in D$ tq $F$ est de dimension finie $p \geq 1$ , soit $\mathfrak{B}(e_1,\cdots,e_p)$ une base de $F$ et $f_1, \cdots , f_p$ les fonctions composantes de $f$ relativement à $\mathfrak{B}$ .
Alors $f$ est continue au point $a$ (resp. sur $D$ ) ssi chacune des fonctions $f_i$ avec $i\in \ldbrack1,p\rdbrack$ l'est au point $a$ (resp.sur $D$ ).

Theorème :

Soit $F_1,\cdots,F_p$ des evn et $f : D\longrightarrow F_1\times\cdots\times F_p$ , $a \in D$ , soit $f_i : D\longrightarrow F_i$ la $i-$ ème fonction projection de $f$ .
Alors $f$ est continue au point $a$ (resp. sur $D$ ) ssi chaque $f_i$ avec l'est au point $a$ (resp.sur $D$ ).

2. Critère de continuité globale

Définition :

Soit $A\subset E$ .
On appelle ouvert relatif de $A$ (resp. fermé relatif de $A$ ) tout ensemble de la forme $U \cap A$ où $U$ est un ouvert (resp. fermé) de $E$ .

Remarques :
1.

Toute réunion d'ouverts de $A$ est un ouvert relatif de $A$ : $\bigcup_{i\in I} (U_i\cap A) = (\bigcup_{i\in I}U_i)\cap A$ .

Toute intersection finie d'ouverts relatifs de $A$ est un ouvert relatif de $A$ .

On a : $\not O = \not O\cap A$ et $A = E\cap A$ , donc $\not O$ et $A$ sont deux ouverts relatifs de $A$ .

Tout ouvert relatif d'un ouvert de $E$ est un ouvert de $E$ .

2. Dans 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter $\bigcup_i$ par $\bigcap_i$ .

3. $C_{A}^{U\cap A} = A\backslash(U\cap A) = A\cap(U\cap A)^{c} = A\cap(U^c\cup A^c) = (A\cap U^c)\cup\not O = A\cap U^c$ , on en déduit que le complémentaire dans $A$ d'un fermé (resp. ouvert) relatif est un ouvert (resp. fermé) relatif de $A$ .

Theorème :

Soit $f:D\longrightarrow F$ . Alors les p.s.s.e :

$f$ est continue sur $D$ .

l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est ouvert relatif de $D$ .

l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $F$ est fermé relatif de $D$ .

Corollaire :

Soit $f : E \longrightarrow F$ . Alors :
$f$ est continue sur $E$ ssi l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ ssi l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$ .

Exemple :
$U = \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2/\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1\rbrace$ .
$U=f^{-1} (]-\infty,1[)$ avec : $\begin{array}{rcl}f: & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & (x,y) & \longrightarrow & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \end{array}$
$f$ est $\mathfrak{C}^o$ et $]-\infty,1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ .
Donc $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ .

3. Continuité et compacité

Theorème :

Soit $f : D \longrightarrow F$ tq : $\rm \lbrace {D est un compact de E \atop f est continue }$
Alors $f(D)$ est un compact de $F$ .

Corollaire :

Soit $f : D \longrightarrow \mathbb{R}$ tq : $\rm \lbrace {D est un compact de E \atop f est continue }$
Alors $f$ est bornée sur $D$ et atteint ses bornes.

Corollaire :

Soit $f : D\longrightarrow F$ tq : $\rm \lbrace {D est un compact de E\atop f est continue }$ .
Alors : $\rm\lbrace {f est born\bar{e}e\atop \max_{x\in D}||f(x)|| et \min_{x\in D}||f(x)|| existent }$

Rappel :
On note $\mathfrak{B}(D,F)$ l'ensemble des fonctions $f : D\longrightarrow F$ bornées.
(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)

Remarques :

Si $D$ est un compact de $E$ , $\mathfrak{C}^o(D,F)$ est un sev de $\mathfrak{B}(D,F)$ , de plus, $F$ est une $K$ -algèbre, il est une sous algèbre de $\mathfrak{B}(D,F)$ .

Sur $\mathfrak{B}(D,F)$ , on a la norme $N_{\infty} : f \longrightarrow \sup_{x\in D} ||f(x)||$ , $N_{\infty}$ induit une norme sur $\mathfrak{C}^o(D,F)$ qu'on note encore $N_{\infty}$ avec : $\forall f\in \mathfrak{C}^o(D,F)$ , $N_{\infty}(f) = \sup_{x\in D}||f(x)|| = \min_{x\in D}||f(x)||$ .

4. Continuité et densité

Theorème :

Soit $f : E\longrightarrow F$ continue et $A$ , $B$ deux parties de $E$ tq $A$ est dense dans $B$ (ie : $B\subset\bar{A}$ ).
Alors $f(A)$ est dense dans $f(B)$ .

Remarques :
Si $f : E\longrightarrow F$ continue et $A$ dense dans $E$ , alors $f(A)$ est dense dans $f(E)$ .
Soit $f : D\longrightarrow F$ continue et $A$ une partie de $D$ dense dans $D$ , alors $f(A)$ est dense dans $f(D)$ .

Exemple :
$\begin{array}{rcl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & x & \longrightarrow & \sin(x) \end{array}$ Montrons que $U=\lbrace \sin(n)/n\in\mathbb{Z}\rbrace$ est dense dans $[-1,1]$ :
$f$ est continue, $U = f(\mathbb{Z})$ .
$\mathbb{Z}$ est un fermé de $\bar{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}$ qui est strictement inclus dans $\mathbb{R}$ .
$\mathbb{Z}$ n'est pas dense dans $\mathbb{R}$ .
Cependant, $U = f(\mathbb{Z}) = f(\mathbb{Z} + 2\pi \mathbb{Z})$ .
$\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ car $2\pi$ est irrationnel.
Alors $U$ est dense dans $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$ .

Theorème :

Soit $f,g:E\longrightarrow F$ continues et $A$ une partie dense dans $E$ tq : $(\forall x\in A) : f(x) = g(x)$ .
Alors : $(\forall x\in E) \: : \: f(x) = g(x)$ .

Exemple :
On veut determiner toutes les fonctions $f : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ continues tq : $\forall(x,y) \in \mathbb{R}^2 \: : \: f(x+y) = f(x) + f(y)$ :
On constate que : $f(0) = 0$ .
et : $f(nx) = nf(x) \: \forall n\in\mathbb{N}, \, \forall x\in\mathbb{R}$ .
Puis : $f(-x) = -f(x)$
Donc : $\forall n \in \mathbb{Z}, \, \forall x \in \mathbb{R} \: : \: f(nx) = nf(x)$
Ensuite $\forall x \in \mathbb{Q} \: : \: f(x) = x f(1)$ , posons : $a = f(1)$
On a : $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ est continue.
$\begin{array}{rcl}g: & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & x & \longrightarrow & ax \end{array}$ continue.
$\forall x \in \mathbb{Q} \: : \: f(x) = g(x)$ .
Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .
$\forall x\in\mathbb{R} \: : \: f(x) = g(x)$ .
Conclusion : $\longrightarrow \: \exists a\in\mathbb{R}$ , $\forall x\in\mathbb{R} \: : \: f(x) = ax$ .

5. Continuité et connexité par arcs

Définition :

Soit $A$ une partie de $E$ . On dit que $A$ est un convexe ssi : $\forall a\in A$ , $\forall b\in A$ , $\forall t\in [0,1]$ : $(1-t)a+tb\in A$ .

Exemples :
Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 1

Définition :

Soit $A$ une partie non vide de $E$ .
On dit que $A$ est étoilée ssi : $\exists a \in A$ , $\forall b\in A$ , $\forall t \in [0 , 1]$ : $(1-t)a+tb\in A$ .

Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 2

Remarque :

Tout convexe non vide est étoilé.

La réciproque est fausse en général.
Contre-exemple : $A = (\mathbb{R}\times\lbrace 0\rbrace ) \cup (\lbrace 0\rbrace \times\mathbb{R})$ .

Définition :

Soit $A$ une partie de $E$ .
On dit que $A$ est connexe par arcs ssi pour tout $(a,b)\in A^2$ il existe $\gamma : [0,1] \longrightarrow E$ continue tq :
$\rm \lbrace {\gamma(0) = a , \gamma(1) = b \atop \gamma([0,1])\subset A}$

Vocabulaire et remarques :

Une telle application $\gamma$ est dite un chemin de $E$ joignant $a$ à $b$ et contenu dans $A$ .

$A$ connexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par un chemin contenu dans $A$ .

Exemple :
Soit $E=\mathbb{R}^2 \: : \: A = \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 / x^2+y^2=1\rbrace$ (Cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$ ) :
Soit $a,b\in A$ .
Posons : $a = (\cos(2\pi\theta_1) , \sin(2\pi\theta_1))$ et $b = (\cos(2\pi \theta_2) , \sin(2\pi\theta_2))$ .
Soit $\begin{array}{rcl}\gamma : & [0,1] & \longrightarrow& \mathbb{R}^2&\\ & t & \longrightarrow & (\cos[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] , \sin[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] )\end{array}$
$\gamma$ est continue.
$\forall t \in [0,1] \: : \: \gamma(t)\in A$ ie : $\gamma([0,1])\subset A$ .
$\gamma(0) = (\cos(2\pi \theta_1) , \sin(2\pi\theta_1))=a$ et $\gamma(1) = b$ .
donc $A$ est connexe par arcs .

Theorème :

Toute partie étoilée est connexe par arcs.

Remarques :

$\not O$ est connexe par arcs.

Si $A\not = \not O$ , alors : $A$ convexe $\Longrightarrow \: A$ étoilé $\Longrightarrow \: A$ connexe par arcs.

Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.

Theorème :

Les connexes par arcs de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.

Remarque :
Pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$ : $A$ convexe $\Longleftrightarrow \: A$ étoilé $\Longleftrightarrow \: A$ connexe par arcs $\Longleftrightarrow \: A$ intervalle

Theorème : "Des valeurs intermédiaires général" :

L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.

III. Continuité uniforme

Définition :

On dit que $f : D\longrightarrow F$ est dite uniformement continue ssi :
$(\forall \epsilon > 0) \: (\exists \eta >0) \: (\forall(x,y)\in D^2) \: : \: ||x - y|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon$

Remarque :
Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continues.

Theorème :

Soit $f : D\longrightarrow F$ . Alors les p.s.s.e :

$f$ est uniformément continue.

$\forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}$ , $\forall(y_n)\in D^{\mathbb{N}}$ : $x_n-y_n\longrightarrow_{n\to+\infty} 0_E \: \Longrightarrow \: f(x_n) - f(y_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} 0_F$

Proposition :

Toute fonction uniformément continue est continue.

Theorème de "Heine" général :

Soit $f : D\longrightarrow F$ tq : $\rm \lbrace {D est un compact de E\atop f est continue}$
Alors $f$ est uniformément continue.

IV. Applications linéaires continues

Ici, $E \text{ et } F$ sont deux evn dont les normes sont notées $\rm ||.||_E et ||.||_F$ respectivement.

Theorème :

Soit $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ . Alors les p.s.s.e :

$f$ est continue.

$f$ est continue en $0_E$ .

$f$ est bornée sur $B_f(0_E,1)$

$f$ est bornée sur $S(0_E,1)$ .

il existe $k \in \mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E \: : \: ||f(x)||_F\leq k||x||_E$ .

$f$ est lipshitizienne.
$f$ est uniformément continue.

Remarque :
Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique.

Exemple :
$\begin{array}{rcl}f: & K[X] & \longrightarrow& K[X]&\\ & P & \longrightarrow & P^' \end{array}$
$f \in \mathfrak{L}(K[X])$ , on munit $K[X]$ de sa norme $||.||_\infty$ . (voir chapitre : normes sur un K-espace vectoriel)
Soit $P_n = X^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ .
$\forall n\in \mathbb{N}^* \: : \: ||f(P_n)||_\infty = ||nX^{n-1}||_\infty = n\longrightarrow_{n\to+\infty} +\infty$
Or : $\forall n \: : \: P_n\in S(0_E,1)$ .
Et $f$ n'est pas bornée sur $S(0_E,1)$ .
Donc $f$ n'est pas continue .

Theorème :

Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.

Notation :
On note $\mathfrak{L}_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ , et si $E = F$ , on le note $\mathfrak{L}_c(E)$ .

Proposition :

Soit $f \in \mathfrak{L}_c(E,F)$ .
On note : $\alpha = \sup_{||x||_E = 1} ||f(x)||_F$ , $\beta = \sup_{||x||_E\leq 1 } ||f(x)||_F$ , $\gamma = \sup_{x\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace }\frac{||f(x)||_F}{||x||_E}$ et $\delta = \inf \lbrace k\in\mathbb{R}_+ / x\in E : ||f(x)||_F\leq k ||x||_E\rbrace$
$\rm \alpha, \beta,\gamma et \delta$ existent dans $\mathbb{R}$ et on a : $\red \rm \alpha=\beta=\gamma=\delta$ .

Notation :
Pour $f \in \mathfrak{L}_c(E,F)$ , On note : $|||f|||_{E,F} = \alpha$ (on le note aussi $|||f|||$ s'il n'y a pas d'ambiguité ).
Donc $|||f|||_{E,F} =$ $\red\rm\alpha=\beta=\gamma=\delta$ .

Proposition :

Soit $f\in\mathfrak{L}_c(E,F)$ et $g\in\mathfrak{L}_c(F,G)$ où $G$ est un evn dont la norme est notée $||.||_G$ .
Alors : $|||g \circ f|||_{E,G} \leq |||g|||_{F,G} . |||f|||_{E,F}$ .

Théorème - Définition :

1. L'application $\begin{array}{rcl}|||.|||: & \mathfrak{L}_c(E,F) & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\ & f & \longrightarrow & |||f||| \end{array}$ est une norme sur $\mathfrak{L}_c(E,F)$ appelée la norme d'opérateur subordonnée aux $\rm ||.||_E et ||.||_F$ .
2. Si $F=E$ , $|||.|||$ est une norme d'algèbre sur $\mathfrak{L}_c(E)$ .

Calcul pratique de $|||f|||$ pour $f \in \mathfrak{L}_c(E,F)$ :
Méthode 1 :
Si on a montré qu' il existe $k\in\mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E$ : $||f(x)||_F\leq k||x||_E$ $(1)$ .
Alors $f$ est continue et $|||f|||\leq k$ .
Si l'inégalité $(1)$ est obtenue de façon "economique", on peut ésperer que $k=|||f|||$ .
En effet, s'il existe $x_o\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace$ tq : $||f(x_o)||_F=k||x_o||_E$ .
Alors $k = \frac{||f(x_o)||_F}{||x_o||_E}$ , d'où : $k\leq|||f|||$ .
Donc : $k=|||f|||$ .

Méthode 2 :
Si on a montré qu' il existe $k\in\mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E \: : \: ||f(x)||_F\leq k||x||_E$ $(1)$ .
S'il existe $(x_n)\in B_f(0_E,1)^{\mathbb{N}}$ tq : $||f(x_n)||_F\longrightarrow_{n\to+\infty} k$ , alors : $|||f|||=k$ .
En effet: $\forall n\in \mathbb{N} \: : \: ||f(x_n)||_F\leq |||f|||$ , d'où quand $n\longrightarrow +\infty \: : \: k\leq|||f|||$ .
Or : $(1) \: \Longrightarrow \: |||f|||\leq k$ .
D'où $k = |||f|||$

Merci à Panter

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