Fiche de mathématiques

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Espaces vectoriels normés: Limites et continuité

Prérequis:
Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn).
Limite et continuité dans $\mathbb{R}$ .

Dans tout ce chapitre:
$\mathbb{K}=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$
$E \text{ et }F$ sont deux espaces vectoriels normés (evn).
On note indifféremment la norme de $E$ et de $F \text{ : }||.||$ .
$D\subset E$ et $D\neq \emptyset$ .

I. Limites

1. Généralités

Définition:

Soit $f : D \longrightarrow F\text{ , }a \in \bar{D} \text{ et } \ell \in F$ .
On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ (ou encore que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ ) ssi:
$\left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists \eta > 0\right) \: \left(\forall x \in D\right) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon$ .
On écrit: $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell \text{ ou } \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \ell$ .

Remarques:

Rq 1. Si $a\not \in \bar{D}\text{ , }\exists \eta_o>0\text{ tq }B_f(a,\eta_o)\cap D=\emptyset$ , alors:
$\forall \ell\in F \text{ , }\forall\epsilon>0 \text{ , } \forall x\in D \text{ : } ||x-a||\leq\eta_o\Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq \epsilon$
Donc tout $\ell\in F$ serait limite de $f$ au point $a$ : La notion de limite perdrait son sens, c'est pourquoi on prend toujours $a\in\bar{D}$

Rq 2. Si $a\in D \text{ et }$ $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell$ , alors pour $\epsilon>0$ quelconque, on a $\eta>0\text{ tq }\forall x\in D\cap B_f(a,\eta)\text{ : }||f(a)-\ell||\leq\epsilon$ .
Or, $a\in D\cap B_f(a,\eta) \text{ , donc }||f(a)-\ell||\leq \epsilon \text{ , }\forall \epsilon >0$ .
Alors quand $\epsilon \to 0\text{ , }||f(a)-\ell||\leq 0$ , on conclut alors que dans le cas où $a\in D\text{ : }\ell=f(a)$ .

Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de $f$ au point $a$ , il suffit de connaître le comportement local de $f$ dans un voisinage $V$ de $a$ .
En effet: $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow f_{/V\cap D}(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$ .

Théorème: unicité de la limite

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ et }a\in\bar{D}$ .
Si $f$ admet une limite $\ell\in F$ au point $a$ alors $\ell$ est unique.

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}$ .
Si $f$ admet une limite dans $F$ au point $a$ , alors il existe $V\in\mathcal{V}(a)$ tq $f$ est bornée sur $V\cap D$ .

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F$ .
Alors $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$ ssi $(\forall V\in\mathcal{V}(a))(\exists U\in \mathcal{V}(a))$ tq : $f(U\cap D)\subset V$ .

Théorèmes: "Les caractérisations séquentielles de la limite"

La 1ère caractérisation:
Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F$ , alors:
$f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$ ssi $\forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a \Longrightarrow f(x_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \ell$ .

La 2ème caractérisation:
Soit $f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\bar{D}$ .
Alors $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$ ssi $\forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a\Longrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\text{ converge }$ .

Exemple:

Soit $\begin{array}{clcl}f: & D & \rightarrow& F \\ & x & \mapsto & c\end{array}$ avec $c\in F$ fixé.

Soit $a\in\bar{D}$ quelconque, soit $(x_n)_n\in D^{\mathbb{N}}$ tq: $x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a$ .
$\forall n\in \mathbb{N}\text{ : }f(x_n)=c$ , d'où: $f(x_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} c$ .
$f$ admet une limite $c$ en tout point $a\in\bar{D}$ .

Critère de Cauchy:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}$ . Si $F\text{ est complet, }$ alors:
$f$ admet une limite au point $a$ ssi $(\forall \epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall(x,y)\in D^2)\text{ : }\left\lbrace \begin{array}l ||x-a||\leq\eta \\ ||y-a||\leq\eta \end{array} \Longrightarrow||f(x)-f(y)||\leq\epsilon$ .

Exemple:

Soit $f:D\longrightarrow F \text{ une fonction k-lipschitzienne: }$
Soit $a\in\bar{D}\backslash D$ et $F$ complet. Montrons que $f$ admet une limite au point $a$ en utilisant le critère de Cauchy:

Soit $\epsilon>0 \text{ , }\eta=\dfrac{\epsilon}{2(k+1)}$ .
Soit $(x,y)\in D$ tq: $||x-a||\leq\eta\text{ et }||y-a||\leq\eta$ .
On a: $||f(x)-f(y)||\leq k||x-y||\leq k(||x-a||+||a-y||)\leq\dfrac{k}{k+1} \epsilon\leq\epsilon$ , d'où le resultat.

2. Opérations sur les limites

Théorème:

Soit $f,g:D\longrightarrow F \text{, }a\in\bar{D}\text{ , }(\ell,L)\in F^2$ tq: $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\text{ et }g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} L$ . Alors:

$f(x)+g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell+L$ .

$\forall \lambda\in \mathbb{K}\text{ : }\lambda f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \lambda \ell$ .

$\text{Si, de plus, } F\text{ est une }\mathbb{K}\text{-algèbre normée : }f(x)\times g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\times L$ .

Théorème:

Soit $f,g:D\longrightarrow \mathbb{K}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ , }\ell,L\in \mathbb{K}$ tq : $g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}L\text{ et } f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\text{ et }( 0\not\in f(D) \text{ et } \ell\not=0 )$ . Alors:

$\dfrac{1}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} \dfrac{1}{\ell}$ .

$\dfrac{g(x)}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} \dfrac{L}{\ell}$ .

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }g:\Delta\longrightarrow G \text{ , }a\in\bar{D}\text{ , }b\in \Delta\text{ , }\ell\in G$ tq:

$\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet& \Delta \subset F\text{ , } \Delta\neq \emptyset. \\\bullet &G \text{ est un evn .} \\\bullet &f(D)\subset\Delta. \\\bullet &f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} b \text{ et }g(y)\underset{y\to b}{\longrightarrow} \ell\end{array}.$

Alors: $gof(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$ .

3. Cas où E et F sont de dimension finie

Ici, $F$ est dimension finie $p>1$ et notons $\mathcal{B}=(e_1,\cdots,e_p)$ une base de $F$ .
Soit $f:D\longrightarrow F$ . Pour tout $x\in D$ , posons: $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{p} f_i(x)e_i \text{ où } f_i(x)\in \mathbb{K}\text{ est la i-ème composante de }f(x)\text{ dans }\mathcal{B}$ .
Ainsi, $f$ est complètement determinée par les $p$ fonctions scalaires $f_i : D\longrightarrow \mathbb{K}$ , ces fonctions $f_1,\cdots, f_p$ s'appellent les fonctions composantes de $f$ relativement à la base $\mathcal{B}$ .

Théorème:

Avec les notations précédentes, soit $a\in\bar{D}$ .
Alors $f$ admet une limite dans $F$ au point $a$ ssi chaque $f_i$ admet une limite dans $\mathbb{K}$ au point $a$

De plus, dans ce cas: $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\sum_{i=1}^p(\displaystyle \lim_{x\to a}f_i(x))e_i}$ .

Exemple:

$\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^* & \rightarrow& \mathbb{R}^3\\ & x & \mapsto & \left(\dfrac{e^x-1}{x} ,x\ln|x| ,x^2-1\right) \end{array}$
$\text{[math]}$ sont les trois fonctions composantes de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .
Calculons la limite en $0\in\overline{\mathbb{R}^*}$ :
On a:

$\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet &f_1(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1. \\\\\bullet &f_2(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0. \\\\\bullet & f_3(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} -1\end{array}$ .

Donc: $f(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} (1,0,-1)$ .

4. Cas où E est un espace produit

Ici, $E=E_1\times \cdots \times E_p$ est un evn produit de $p$ evn $(E_i,||.||_i)$ .
$D\subset E$ et $D\neq \emptyset$ .

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a=(a_1,\cdots,a_p)\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F$ .
Alors: $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell$ ssi $\forall\epsilon >0\text{ , }\exists \eta>0\text{ , }\forall x=(x_1,\cdots,x_p)\in D\text{ : }\left\lbrace\begin{array}{cl} ||x_1-a_1||_1\leq\eta \\ \vdots \\ ||x_p-a_p||_p\leq \eta \end{array}\Longrightarrow ||f(x)-l||\leq \epsilon$ .

Exemple:

Soit $\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^*\times\mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\ & (x,y) & \mapsto & y\dfrac{\sin x}{x}+\text{e}^y \end{array}$

On a: $(0,0)\in\overline{\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}}$ , montrons que la limite en ce point de $f(x,y)$ est 1:

Soit $\epsilon >0\text{ , }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}\text{ : }|f(x,y)-1|-\left|y\dfrac{\sin x}{x}+\text{e}^y-1\right|\leq |y|\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|+\left|\text{e}^y-1\right|\leq |y|+|\text{e}^y-1|$ .
Quand $t\to 0$ , $|t|\to 0 \text{ et }|\text{e}^t-1|\to 0$ .
Soit donc $\eta_1>0\text{ et }\eta_2>0$ tq : $\left\lbrace\begin{array}{cl}|t|\leq \eta_1&\Longrightarrow |t|\leq\dfrac{\epsilon}{2} \\ |t|\leq \eta_2&\Longrightarrow |\text{e}^t-1|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\end{array}$ .
Soit $\eta =\min (\eta_1,\eta_2)$ , on a : $\left\lbrace \begin{array}{cl}|x|\leq \eta \\ |y|\leq\eta \end{array}\Longrightarrow |f(x,y)-1|\leq \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$

5.Extensions de la notion de la limite

a. Limite par valeurs differentes

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\overline{D\backslash\lbrace a\rbrace }$ .
Si $f_/_{ D\backslash\lbrace a\rbrace}$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est dit une limite de $f$ au point $a$ par valeurs différentes.
On écrit : $f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell$ .

Remarque:

Ainsi, $f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell \Longleftrightarrow (\forall\epsilon>0) (\exists \eta>0) (\forall x\in D) \text{ : } 0<||x-a||\leq\eta \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon$ .

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\overline{D\backslash\lbrace a\rbrace }\text{ , }\ell\in F$ .
Si $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell$ , alors: $f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell$ .
La réciproque est fausse en général.

Remarque:
La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

b. Cas $\color{red}E=\mathbb{R}$ : limite à droite - limite à gauche

Ici, $E=\mathbb{R}\text{ , }D\subset\mathbb{R}\text{ et }D\neq \emptyset$ .

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap ]a,+\infty[}$ .
Si $f_{/{ D\cap]a,+\infty[}}$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est appelée une limite de $f$ à droite du point $a$ .

On écrit: $f(x)\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\text{ ou }f(x)\underset{x\to a^+}{\longrightarrow} \ell\text{ ou }\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=\ell\text{ ou encore }\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\ell$ .

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap ]-\infty,a[}$ .
Si $f_{/{ D\cap]-\infty,a[}}$ admet une limite $\ell$ au point $a$ , $\ell$ est appelée une limite de $f$ à gauche du point $a$ .

On écrit: $f(x)\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\text{ ou }f(x)\underset{x\to a^-}{\longrightarrow} \ell\text{ ou }\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=\ell\text{ ou encore }\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\ell$ .

Remarque:
Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap]-\infty,a[}$ $\cap \overline{D\cap]a,+\infty[}$ . Soit $\ell\in F$ , alors:
$f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell$ ssi: $\left\lbrace\begin{array}{cl}f(x)\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell \\ f(x)\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\end{array}$

Remarques:

$f(x)\underset{x\to a^+}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow [(\forall\epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall x\in D)\text{ : }a\leq x\leq a+\eta \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon]$ .
$f(x)\underset{x\to a^-}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow [(\forall\epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall x\in D)\text{ : }a-\eta\leq x\leq a \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon]$ .

c. Cas $\color{red}E=\mathbb{R}$ : limite en $\color{red}+\infty$ et en $\color{red}-\infty$

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ où } D \text{ contient un intervalle de la forme }[\alpha,+\infty[$ , soit $\ell\in F$ .
On dit que $f$ admet la limite $\ell$ en $+\infty$ ssi: $(\forall\epsilon>0)(\exists B>0)(\forall x\in D)\text{ : } x\geq B\Longrightarrow ||f(x)-\ell||\leq\epsilon$ .
Et on écrit: $f(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} \ell \text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ où } D \text{ contient un intervalle de la forme }]-\infty,\beta]$ , soit $\ell\in F$ .
On dit que $f$ admet la limite $\ell$ en $-\infty$ ssi: $(\forall\epsilon>0)(\exists B>0)(\forall x\in D)\text{ : } x\leq B\Longrightarrow ||f(x)-\ell||\leq\epsilon$ .
Et on écrit: $f(x)\underset{x\to-\infty}{\longrightarrow} \ell \text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$

Remarque:
Les notions de limite en $-\infty$ et en $+\infty$ sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .

d. Cas $\color{red}F=\mathbb{R}$ : les limites infinies

Ici $F=\mathbb{R}$

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}$ .
On dit que $f$ admet une limite $+\infty$ au point $a$ ssi: $(\forall A>0)(\exists \eta>0)(\forall x\in D) \text{ : } ||x-a||\leq \eta\Longrightarrow f(x)\geq A$ .
On écrit : $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty\text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty$

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}$ .
On dit que $f$ admet une limite $-\infty$ au point $a$ ssi: $(\forall A>0)(\exists \eta>0)(\forall x\in D) \text{ : } ||x-a||\leq \eta\Longrightarrow f(x)\leq A$
On écrit: $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} -\infty\text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$

Propriétés:

Si $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} -\infty$ , alors $f$ n'est minorée sur aucun voisinage de $a$ .
Si $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty$ , alors $f$ n'est majorée sur aucun voisinage de $a$ .

Remarques:
Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ tq: }\left \lbrace \begin{array}{l} f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} 0 \\ \forall x\in D\text{ : } f(x)>0 \text{ (resp.}<0\text{)}&\end{array}$
Alors : $\dfrac{1}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty \text{ (resp.} -\infty\text{)}$ .

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ tq: }\left\lbrace \begin{array}{l} f(x)\underset{x\to}{\longrightarrow}+\infty \text{ (resp}-\infty\text{)}\\ 0\not\in f(D)}\end{array}$ .
Alors: $\dfrac{1}{f(x)} \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$ .

II. Continuité

1. Généralités

$D\subset E\text{ et }D\neq \emptyset$ .

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D$ .
On dit que $f$ est continue au point $a$ ssi $f$ possède une limite au point $a$ .

Remarque:

$\begin{array}{cl}f \text{ est continue au point } a&\Longleftrightarrow f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}f(a)\\\\&\Longleftrightarrow [(\forall\epsilon>0)(\exist\eta>0)(\forall x\in A)\text{ : } ||x-a||\leq\eta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||\leq\epsilon]\\\\&\Longleftrightarrow [(\forall V\in\mathcal{V}(f(a)))(\exists U\in\mathcal{V}(a))\text{ : }f(U\cap D)\subset V]\end{array}$
Remarques:
La continuité de $f$ au point $a\in D$ ne s'affecte pas dans un passage d'une norme à une autre équivalente à la première aussi bien dans $E$ que dans $F$ .
La notion de continuité est une notion locale.

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D$ .
Si $f$ est continue au point $a$ , alors il existe $U\in\mathcal{V}(a)$ tq $f$ est bornée sur $U\cap D$ .

Théorème: "Caractérisation séquentielle de la continuité"

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D$ . Alors les p.s.s.e:
$f$ est continue au point $a$ .

$(\forall (x_n)\in D^{\mathbb{N}}) \text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a\Longrightarrow f(x_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} f(a)$ .

Théorème:

Soit $f,g:D\longrightarrow F\text{ , }a\in D$ tq $f$ et $g$ sont continues au point $a$ et soit $\mu\in \mathbb{K}$ . Alors:
$f+g\text{ et }\mu f$ sont continues au point $a$ .
Si $F$ est une $\mathbb{K}-\text{algèbre normée}\text{ : }f\times g$ est continue au point $a$ .
Si $F=\mathbb{K}$ et $0\not\in f(D)\text{ : }\dfrac{1}{f}$ est continue au point $a$ .

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ et }g:\Delta\longrightarrow G\text{ , }a\in D$ tq:
$\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet& \Delta \subset F\text{ , } \Delta\neq \emptyset. \\\bullet &G \text{ est un evn .} \\\bullet &f(D)\subset\Delta. \\\bullet &f \text{ est continue au point }a\text{ et } g \text{ est continue au point }f(a)\end{array}$ .
Alors $gof \text{ est continue au point } a$

Proposition:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ tq: }\left\lbrace \begin{array}{l}f\text{ est continue au point } a \\ f(a)\neq 0_F\end{array}$ .
Alors il existe $V\in\mathcal{V}(a)\text{ tq: }\forall x\in V\cap D\text{ : }f(x)\neq 0_F$ .

Définition:

Soit $f:D\longrightarrow F$ .
On dit que $f$ est continue sur $D$ (ou dans $D$ ) ssi elle l'est en tout point de $D$ .

Remarque:
On note $\mathcal{C}^o(D,F)$ l'ensemble des fonctions $f:D\longrightarrow F$ continues sur $D$ , on a:

$\mathcal{C}^o(D,F)$ est un sev de $F^D$ .
Si $F$ est une $\mathbb{K}-\text{algèbre normée }$ , alors $\mathcal{C}^o(D,F)$ est une sous algèbre de $F^D$ .

Exemples:

1. Toutes les fonctions lipschitziennes sur $D$ sont continues sur $D$ .
Voir paragraphe I.

2. Toutes les fonctions polynômiales de $p$ -variables scalaires sont continues sur $\mathbb{K}^p$ , en effet:
Une fonction polynômiale $f$ de $p$ -variables scalaires s'écrit sous la forme:

$\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{K}^p & \rightarrow& \mathbb{K}\\ & (x_1,\cdots,x_p) & \mapsto & \displaystyle\sum_{(i_1,\cdots , i_p)\in S}^{} a_{i_1\cdots i_p}x_1^{i_1}\cdots x_p^{i_p} \end{array}$ $\text{ (avec } S \text{ une partie finie de }\mathbb{N}^p\text{) }$ .
On cite à titre d'exemple:

$\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}\\ & (x,y) & \mapsto & 2x^2y-x^3y^3+x^2-y^2x \end{array}\text{ et }\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{C}^3 & \rightarrow& \mathbb{C}\\ & (z_1,z_2,z_3) & \mapsto & z_1z_2z_3+2z_1^2+z_2z_3^5 \end{array}$

3. Les fonctions rationnelles de $p$ -variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition $\mathcal{D}$ .
Une fonction rationnelle $h$ de $p$ -variables scalaires s'écrit: $h=\dfrac{f}{g}\text{ avec }f,g:\mathbb{K}^p\longrightarrow \mathbb{K}$ polynomiales de $p$ -variables scalaires.
Son ouvert de définition est: $\mathcal{D}_h=\lbrace (x_1,\cdots,x_p)\in \mathbb{K}^p\text{ / }g(x_1,\cdots,x_p)\neq 0\rbrace$ . (on montre facilement que c'est un ouvert)

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in D$ tq $F$ est de dimension finie $p \geq1$ , soit $\mathcal{B}(e_1,\cdots,e_p)$ une base de $F$ et $f_1,\cdots,f_p$ les fonctions composantes de $f$ relativement à $\mathcal{B}$ .
Alors $f$ est continue au point $a$ (resp. sur $D$ ) ssi chacuns des fonctions $f_i$ avec $i\in\ldbrack 1,p\rdbrack$ l'est au point $a$ (resp.sur $D$ ).

Théorème:

Soit $F_1,\cdots,F_p$ des evn et $f:D\longrightarrow F_1\times\cdots\times F_p\text{ , }a\in D$ , soit $f_i:D\longrightarrow F_i$ la $i-$ ème fonction projection de $f$ .
Alors $f$ est continue au point $a$ (resp. sur $D$ ) ssi chaque $f_i$ l'est au point $a$ (resp.sur $D$ ).

2. Critère de continuité globale

Définition:

Soit $A\subset E$ .
On appelle ouvert relatif de $A$ (resp. fermé relatif de $A$ ) tout ensemble de la forme $U\cap A$ où $U$ est un ouvert (resp. fermé) de $E$ .

Remarques:
Rq 1.
Toute réunion d'ouverts de $A$ est un ouvert relatif de $A\text{ : }\displaystyle \bigcup_{i\in I} \left(U_i\cap A\right)=\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right)\cap A$ .
Toute intersection finie d'ouverts relatifs de $A$ est un ouvert relatif de $A$ .
On a: $\emptyset=\emptyset\cap A$ et $A=E\cap A$ , donc $\emptyset$ et $E$ sont deux ouverts relatifs de $A$ .
Tout ouvert relatif d'un ouvert de $E$ est un ouvert de $E$ .

Rq 2. Dans Rq 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter $\displaystyle\bigcup_i$ par $\displaystyle\bigcap_i$ .

Rq 3. $\displaystyle C_{A}^{U\cap A}=A\backslash(U\cap A)=A\cap(U\cap A)^{c}=A\cap(U^c\cup A^c)=(A\cap U^c)\cup\emptyset=A\cap U^c$ , on en déduit que le complémentaire dans $A$ d'un fermé (resp.ouvert) relatif est un ouvert (resp.fermé) relatif de $A$ .

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F$ . Alors les p.s.s.e:
$f$ est continue sur $D$ .
L'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est ouvert relatif de $D$ .
L'image réciproque par $f$ de tout fermé de $F$ est fermé relatif de $D$ .

Corollaire:

Soit $f:E\longrightarrow F$ . Alors :
$f$ est continue sur $E$ ssi l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ ssi l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$ .

Exemple:

$U=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ / }\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<1\right\rbrace$
$\begin{array}{clcl}\text{On a }U=f^{-1} (]-\infty,1[)\text{ avec }f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow& \mathbb{R}\\ & (x,y) & \mapsto & \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} \end{array}$ .
$f$ est $\mathcal{C}^o$ et $]-\infty,1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ .
Donc $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ .

3. Continuité et compacité

Théorème:

Soit $f:D\longrightarrow F$ tq : $\left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E\\ f \text{ est continue } \end{array}$
Alors $f(D)$ est un compact de $F$ .

Corollaire:

Soit $f:D\longrightarrow \mathbb{R}$ tq : $\left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E \\f \text{ est continue }\end{array}$
Alors $f$ est bornée sur $D$ et atteint ses bornes.

Corollaire:

Soit $f:D\longrightarrow F$ tq : $\left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E \\f \text{ est continue }\end{array}$
Alors $\left\lbrace \begin{array}{l} f \text{ est bornée } \\\displaystyle \max_{x\in D}||f(x)|| \text{ et } \min_{x\in D}||f(x)|| \text{ existent}\end{array}$

Rappel:
On note $\mathcal{B}(D,F)$ l'ensemble des fonctions $f:D\longrightarrow F$ bornées.(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)

Remarques:
Si $D$ est un compact de $E$ , $\mathcal{C}^o(D,F)$ est un sev de $\mathcal{B}(D,F)$ , de plus, $F$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre, elle est une sous algèbre de $\mathcal{B}(D,F)$ .
Sur $\mathcal{B}(D,F)$ , on a la norme $\displaystyle N_{\infty}:f\longrightarrow \sup_{x\in D} ||f(x)||$ , $N_{\infty}$ induit une norme sur $\mathcal{C}^o(D,F)$ qu'on note encore $N_{\infty}$ avec: $\forall f\in \mathcal{C}^o(D,F)\text{ : }\displaystyle N_{\infty}(f)=\sup_{x\in D}||f(x)||=\min_{x\in D}||f(x)||$ .

4. Continuité et densité

Théorème:

Soit $f:E\longrightarrow F$ continue et $A\text{ , }B$ deux parties de $E$ tq $A$ est dense dans $B$ (ie: $B\subset\bar{A}$ ).
Alors $f(A)$ est dense dans $f(B)$ .

Remarques:
Si $f:E\longrightarrow F$ est continue et $A$ est dense dans $E$ , alors $f(A)$ est dense dans $f(E)$ .
Soit $f:D\longrightarrow F$ continue et $A$ une partie de $D$ dense dans $D$ , alors $f(A)$ est dense dans $f(D)$ .

Exemple:

$\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & \sin(x) \end{array}$ . Montrons que $U=\left\lbrace \sin(n)/n\in\mathbb{Z}\right\rbrace$ est dense dans $[-1,1]$

$f$ est continue, $U=f(\mathbb{Z})$ .
$\mathbb{Z}$ est un fermé de $\bar{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}$ qui est strictement inclus dans $\mathbb{R}$ .
$\mathbb{Z}$ n'est pas dense dans $\mathbb{R}$ .
Cependant, $U=f(\mathbb{Z})=f(\mathbb{Z}+2\pi \mathbb{Z})$ .
$\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ car $2\pi$ est irrationel.
Alors $U$ est dense dans $f(\mathbb{R})=[-1,1]$ .

Théorème:

Soit $f,g:E\longrightarrow F$ continues et $A$ une partie dense dans $E$ tq: $(\forall x\in A) \text{ : } f(x)=g(x)$ .
Alors: $(\forall x\in E)\text{ : }f(x)=g(x)$ .

Exemple:
On veut determiner toutes les fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ continues tq: }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ : }f(x+y)=f(x)+f(y)$

On constate que: $f(0)=0$ .
et: $\forall n\in\mathbb{N}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(nx)=nf(x)$ .
Puis: $f(-x)=-f(x)$ .
Donc: $\forall n\in\mathbb{Z}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(nx)=nf(x)$ .
Ensuite $\forall x\in\mathbb{Q}\text{ : }f(x)=xf(1)$ , posons : $a=f(1)$ .
On a: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue.

$\begin{array}{clcl}g: & \mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & ax \end{array}$ continue.

$\forall x\in\mathbb{Q}\text{ : }f(x)=g(x)$ .
Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .
$\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(x)=g(x)$ .
Conclusion: $\exists a\in\mathbb{R}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(x)=ax$ .

5. Continuité et connexité par arcs:

Définition:

Soit $A$ une partie de $E$ .
On dit que $A$ est un convexe ssi: $\forall a\in A\text{ , }\forall b\in A\text{ , }\forall t\in [0,1]\text{ : }(1-t)a+tb\in A$ .

Exemples:

Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 3

Définition:

Soit $A$ une partie non vide de $E$ .
On dit que $A$ est étoilée ssi: $\exists a\in A\text{ , }\forall b\in A\text{ , }\forall t\in [0,1]\text{ : }(1-t)a+tb\in A$ .

Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 4

Remarque:
Tout convexe non vide est étoilé.
La réciproque est fausse en général. Contre-exemple: $A=(\mathbb{R}\times\lbrace 0\rbrace )\cup(\lbrace 0\rbrace \times\mathbb{R})$ .

Définition:

Soit $A$ une partie de $E$ .
On dit que $A$ est connexe par arcs ssi pour tout $(a,b)\in A^2$ , il existe $\gamma:[0,1]\longrightarrow E\text{ continue tq: }\left\lbrace\begin{array}{l}\gamma(0)=a \text{ , } \gamma(1)=b\\ \gamma([0,1])\subset A\end{array}$

Vocabulaire et remarques:
Une telle application $\gamma$ est dite un chemin de $E$ joignant $a$ à $b$ et contenu dans $A$ .
$A$ connexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par un chemin contenu dans $A$ .

Exemple:
Soit $E=\mathbb{R}^2\text{ , }A=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 / x^2+y^2=1\right\rbrace \text{ ( }A \text{ n'est autre que le cercle de centre } (0,0) \text{ et de rayon } 1 \text{ ) }$ .
Soit $a,b\in A$ .
Posons : $a=(\cos(2\pi\theta_1),\sin(2\pi\theta_1)) \text{ et }b=(\cos(2\pi \theta_2),\sin(2\pi\theta_2))$ .

Soit $\begin{array}{clcl}\gamma: & [0,1] & \rightarrow& \mathbb{R}^2\\ & t & \mapsto & \left(\cos[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)],\sin[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] \right)\end{array}$

$\gamma$ est continue.
$\forall t\in [0,1]\text{ : }\gamma(t)\in A$ , ie: $\gamma([0,1])\subset A$ .
$\gamma(0)=(\cos(2\pi \theta_1),\sin(2\pi\theta_1))=a\text{ et }\gamma(1)=b$ .
Donc $A$ est connexe par arcs.

Théorème:

Toute partie étoilée est connexe par arcs.

Remarques:
$\emptyset$ est connexe par arcs.
Si $A\neq \emptyset$ , alors: $A \text{ convexe } \Longrightarrow A \text{ étoilée } \Longrightarrow A \text{ connexe par arcs }$
Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.

Théorème:

Les connexes par arcs de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.

Remarque:
Pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$ : $A \text{ convexe } \Longleftrightarrow A \text{ étoilée } \Longleftrightarrow A \text{ connexe par arcs }\Longleftrightarrow A \text{ intervalle}$ .

Théorème:"Des valeurs intermédiaires général"

L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.

III. Continuité uniforme

Définition:

On dit que $f:D\longrightarrow F$ est uniformement continue ssi: $(\forall\epsilon >0)(\exists \eta>0) (\forall(x,y)\in D^2) \text{ : } ||x-y||\leq\eta\Longrightarrow||f(x)-f(y)||\leq\epsilon$

Remarque:
Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continue .

Théorème:"Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme"

Soit $f:D\longrightarrow F$ . Alors les p.s.s.e:

$f$ est uniformement continue.

$\forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ , }\forall(y_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n-y_n\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0_E\Longrightarrow f(x_n)-f(y_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0_F$

Proposition

Toute fonction uniformement continue est continue.

Théorème de "Heine" général:

Soit $f:D\longrightarrow F$ tq : $\left \lbrace\begin{array}{l} D \text{ est un compact de } E\\ f \text{ est continue}\end{array}$
Alors $f$ est uniformement continue.

III. Applications linéaires continues

Ici, $E \text{ et } F$ sont deux evn dont les normes sont notées $||.||_E \text{ et } ||.||_F$ respectivement.

Théorème:

Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ . Alors les p.s.s.e:
$f$ est continue.
$f$ est continue en $0_E$ .
$f$ est bornée sur $B_f(0_E,1)$ .
$f$ est bornée sur $S(0_E,1)$ .
Il existe $k\in\mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E$ .
$f$ est lipshitizienne.
$f$ est uniformement continue.

Remarque:
Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique .

Exemple:

$\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{K}[X] & \longrightarrow& \mathbb{K}[X]\\ & P & \longrightarrow & P^' \end{array}$

$f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])$ , on munit $\mathbb{K}[X]$ de sa norme $||.||_\infty$ ( voir chapitre : normes sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel )
Soit $P_n=X^n$ avec $n\in \mathbb{N}$ .

$\forall n\in \mathbb{N}^*\text{ : }||f(P_n)||_\infty = ||nX^{n-1}||_\infty = n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty$ .
Or, $\forall n\text{ : }P_n\in S(0_E,1)$ .
Et $f$ n'est pas bornée sur $S(0_E,1)$ .
Donc $f$ n'est pas continue.

Théorème:

Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.

Notation:
On note $\mathcal{L}_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ , et si $E=F$ , on le note $\mathcal{L}_c(E)$ .

Proposition:

Soit $f\in\text{ , }\mathcal{L}_c(E,F)$ , on note:
$\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll}\displaystyle \alpha = \sup_{||x||_E = 1} ||f(x)||_F &, &\displaystyle \beta=\sup_{||x||_E\leq 1 } ||f(x)||_F\\\\\displaystyle \gamma =\sup_{x\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace }\dfrac{||f(x)||_F}{||x||_E}&,&\displaystyle \delta = \inf \lbrace k\in\mathbb{R}_+ / x\in E \text{ : } ||f(x)||_F\leq k ||x||_E\rbrace \end{array}$ .

$\alpha,\beta,\gamma \text{ et } \delta \text{ existent dans }\mathbb{R} \text{ et on a : } \boxed{\alpha=\beta=\gamma=\delta}$ .

Notation:
Pour $f\in \mathcal{L}_c(E,F)$ , On note $\text{ : }|||f|||_{E,F} = \alpha$ (on le note aussi $|||f|||$ s'il n'y a pas d'ambiguité ).
Donc: $|||f|||_{E,F}$ = $\alpha=\beta=\gamma=\delta$ .

Proposition:

Soit $f\in\mathcal{L}_c(E,F)$ et $g\in\mathcal{L}_c(F,G)$ où $G$ est un evn dont la norme est notée $||.||_G$ .
Alors: $|||gof|||_{E,G} \leq |||g|||_{F,G} . |||f|||_{E,F}$ .

Théorème-Définition:

L'application $\begin{array}{clcl}|||.|||: & \mathcal{L}_c(E,F) & \rightarrow& \mathbb{R}\\ & f & \mapsto & |||f||| \end{array}$ est une norme sur $\mathcal{L}_c(E,F)$ , appelée la norme d'opérateur subordonnée aux $||.||_E et ||.||_F$ .
Si $F=E$ , $|||.|||$ est une norme d'algèbre sur $\mathcal{L}_c(E)$ .

Calcul pratique de $|||f|||$ pour $f\in\mathcal{L}_c(E,F)$ :

Méthode 1.
Si on a montré qu' il existe $k\in\mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E\text{ }\color{blue}(1)$
Alors $f$ est continue et $|||f|||\leq k$ .
Si l'inégalité $\color{blue}(1)$ est obtenue de façon "economique", on peut espérer que $k=|||f|||$ .
En effet, s'il existe $x_o\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace \text{ tq: }||f(x_o)||_F=k||x_o||_E$ .

Alors $k=\dfrac{||f(x_o)||_F}{||x_o||_E}$ , d'où : $k\leq|||f|||$ .

Donc: $k=|||f|||$ .

Méthode 2.
Si on a montré qu' il existe $k\in\mathbb{R}_+$ tq : $\forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E$ $\color{blue}(1)$ .
S'il existe $(x_n)\in B_f(0_E,1)^{\mathbb{N}}$ tq : $||f(x_n)||_F\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} k$ , alors : $|||f|||=k$ .
En effet: $\forall n\in \mathbb{N}\text{ : }||f(x_n)||_F\leq |||f|||$ , d'où, quand $n\longrightarrow +\infty\text{ : }k\leq|||f|||$ .
Or, $\color{blue}(1)\color{black}\Longrightarrow|||f|||\leq k$ .
D'où $k=|||f|||$

Publié par Panter le 15-11-2017

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