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Lois de composition interne

définition d'une lci :

Une loi de composition interne ( abrégé en : lci ) ou par abus "loi" sur un ensemble E est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
On la note souvent : $\text{[math]}$
( on utilisera aussi les notations $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ etc... )

Exemples :
La multiplication et la soustraction sont des lci dans $\text{[math]}$
La division n'est pas une lci dans $\text{[math]}$
Pour tout ensemble E , la réunion est une lci dans $\text{[math]}$

Magma :

On appelle magma tout couple $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un ensemble et $\text{[math]}$ une lci dans $\text{[math]}$ .

Associativité :

Une lci $\text{[math]}$ dans un ensemble $\text{[math]}$ est dite associative (ou encore le magma $\text{[math]}$ est associatif) si et seulement si :
$\text{[math]}$

Exemples :
L'addition et la multiplication sont associatives dans $\text{[math]}$ .
La composition sur $\text{[math]}$ est associative
La soustraction n'est pas associative sur $\text{[math]}$

Notations :
Soient $\text{[math]}$ un ensemble , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ une lci associative dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . On notera :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est notée par juxtaposition)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Commutativité :

Une lci $\text{[math]}$ dans un ensemble $\text{[math]}$ est dite commutative (ou encore le magma $\text{[math]}$ est commutatif ) si et seulement si :
$\text{[math]}$

Exemples :
1) La multplication dans $\text{[math]}$ est commutative
2) L'intersection dans $\text{[math]}$ est commutative
3) La soustraction dans $\text{[math]}$ n'est pas commutative

Soient $\text{[math]}$ un magma , $\text{[math]}$ .

Régularité :

On dit que a est régulier à gauche (resp. à droite) pour $\text{[math]}$ si et ssi :
$\text{[math]}$ ( resp. $\text{[math]}$ .

On dit que a est régulier sur $\text{[math]}$ si a est régulier à droite et à gauche.

Remarque : On utilisera aussi le mot simplifiable à la place de régulier.

Exemples :
1) tout élément de $\text{[math]}$ est simplifiable pour l'addition
2) 0 n'est pas simplifiable pour $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
tout élément de C est simplifiable pour l'addition

Elément neutre :

Soient $\text{[math]}$ un magma , $\text{[math]}$
On dit que $\text{[math]}$ est neutre à gauche (resp. à droite) pour $\text{[math]}$ si et ssi : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ( resp. $\text{[math]}$ ) .
On dira que $\text{[math]}$ est neutre pour $\text{[math]}$ si et seulement si celui-ci est neutre à gauche et à droite pour $\text{[math]}$

Exemples :
1) 0 est neutre pour l'addition dans $\text{[math]}$
2) l'application identitée sur $\text{[math]}$ est neutre pour $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est un magma admettant un neutre noté $\text{[math]}$ , alors , pour tout x de E : $\text{[math]}$

Monoïde :

On appelle monoïde tout magma $\text{[math]}$ tel que :
$\text{[math]}$

Symétrique :

Soient $\text{[math]}$ un magma admettant un neutre $\text{[math]}$ .

Un élément x de E est dit symétrisable pour $\text{[math]}$ si et ssi il existe au moins un élément y de E tel que $\text{[math]}$ . Si y existe , il est appelé symétrique de x pour $\text{[math]}$ .

Soient $\text{[math]}$ un monoïde , x un élément de E symétrisable pour $\text{[math]}$ . Le symétrique de x est noté $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , et appelé aussi inverse de x . Lorsque la loi est notée + , le symétrique de $\text{[math]}$ , s'il existe , est noté $\text{[math]}$ appelé opposé de $\text{[math]}$ .

Soient $\text{[math]}$ un monoïde , $\text{[math]}$ . Si x et y sont symétrisables pour $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est symétrisable pour $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$

Distributivité :

Soient E un ensemble , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux lci dans E .

1) On dit que $\text{[math]}$ est distributive à gauche (resp. à droite) sur $\text{[math]}$ si et ssi :
$\text{[math]}$ ( resp. $\text{[math]}$ )

2) On dira alors que $\text{[math]}$ est distributive sur $\text{[math]}$ si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite sur $\text{[math]}$

Morphisme :

Etant donné deux magmas $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
On appelle morphisme de magmas (ou : morphisme) de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ toute application $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Un endomorphisme d'un magma $\text{[math]}$ est un morphisme de magmas de $\text{[math]}$ sur lui même .

Un isomorphisme de magma est un morphisme bijectif de magmas

Un automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma

Exemple :
l'application $\text{[math]}$ est un isomorphisme .

Extension :

Soit $\text{[math]}$ un magma . On peut munir $\text{[math]}$ d'une lci , encore notée $\text{[math]}$ définie par :
$\text{[math]}$ ,
appelée extension à $\text{[math]}$ de la loi $\text{[math]}$ de E

Stabilité :

Soit $\text{[math]}$ un magma . Une partie A de E est dite stable pour $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$

Loi induite :

Si A est une partie stable de E pour $\text{[math]}$ , la lci dans A définie par $\text{[math]}$ est appelée lci induite sur A par $\text{[math]}$ de E, et encore notée $\text{[math]}$ .

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