Fiche de mathématiques

Les nombres complexes

I. Présentation de $\mathbb{C}$

Définition :

L'ensemble $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ muni des lois de composition internes :
$(x, y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \\ (x, y)(x', y') = (xx' - yy' , xy' + x'y)$
est un corps appelé corps des nombres complexes et noté $\mathbb{C}$ .

Remarque :
Dans $\mathbb{C}$ , on définit :

Le zéro : $(0,0)$ .

L'unité : $(1,0)$ .

Définition : " L'unité imaginaire d'Euler " :

L'élément $(0,1)$ qui vérifie : $(0,1)(0,1) = (-1,0)= -1_{\mathbb{C}}$ est appelé l'unité imaginaire d'Euler.
On notera dorénavant $i$ à la place de $(0,1)$ .

On a : $i^2 = -1_{\mathbb{C}}$ .

Opposé et inverse d'un élément

$(-x,-y)$ est l'opposé de $(x,y)$ .

$\left(\dfrac{x}{x^2+y^2} , \dfrac{-y}{x^2+y^2} \right)$ est l'inverse de $(x,y) \not = (0,0)$ .

Injection canonique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$

L'application $\begin{array}{rcccl} \phi&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array}$ est un morphisme injectif de corps.
$( \mathbb{R} , + , \times)$ est isomorphe au sous-corps $\mathbb{C}' = \lbrace (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace \text{ de } \mathbb{C}$ .
On convient alors d'identifier un élément de à l'élément de . On écrira donc au lieu de . En particulier :
- $0$ à la place de $0_{\mathbb{C}} = (0,0)$ .
- $1$ à la place de $1_{\mathbb{C}} = (1,0)$ .
D'après ce qui précède, on convient de dire que $\mathbb{R}$ est inclus dans $\mathbb{C}$ et on note : $\red \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

Il est important de noter que l'identification de $(x,0)$ avec $x$ n'a de sens que parce qu'il existe l'injection $\phi$ définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit " $x = (x,0)$ ", l'injection $\phi$ est sous-entendue, l'écriture correcte étant $\phi(x) = (x,0)$ . On dit aussi de manière abusive que $\mathbb{R}$ est une partie de $\mathbb{C}$ et on note $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ , là encore, l'injection $\phi$ est sous-entendue. Nous devrions écrire $\phi(\mathbb{R}) \subset \mathbb{C}$ et dire " on identifie $\mathbb{R}$ à une partie de $\mathbb{C}$ via l'injection canonique $\phi$ ", mais par habitude (système international), on conserve toujours les notations normales (sans noter le $\phi$ à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe
Soit $z = (x,y)$ un élément de $\mathbb{C}$ .

Nous adoptons la notation $z = x + iy$ appelée forme algébrique plutôt que la notation $z = (x,y)$ , et nous parlerons de nombre complexe $z$ (ou du complexe $z$ ) plutôt du couple $z$ .
Le réel $x$ est appelé partie réelle du complexe $z$ et il est noté $\mathfrak{R}e(z)$ .
Le réel $y$ est appelé partie imaginaire du complexe $z$ et il est noté $\mathfrak{I}m(z)$ . On a alors : $z = \mathfrak{R}e(z) + i \mathfrak{I}m(z)$ .
Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : $\forall x, y, a, b \in \mathbb{R}$ : les deux complexes $z_1 = a + ib$ et $z_2 = x + iy$ sont égaux ssi : $a = x$ et $b = y$ .
Le complexe $z$ est dit imaginaire pur lorsque : $\mathfrak{R}e(z) = 0$ .

II. Conjugué d'un nombre complexe

Défintion :

Soit $z \in \mathbb{C}$ avec $z = a + ib$ , $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ .
On appelle conjugué du nombre complexe $z$ le nombre complexe noté $\bar z$ et donné par : $\bar z = a - ib$ .

Remarques :

$\mathfrak{R}e(\bar z) = \mathfrak{R}e(z)$ .

$\mathfrak{I}m(\bar z) = - \mathfrak{I}m(z)$ .

Propriétés :

Pour $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}$ , on a :

$\bar{z+z'} = \bar z + \bar z'$ .
$\bar{zz'} = \bar{z} \bar{z'}$ .
$\bar{\bar{z}} = z$ .
$\mathfrak{R}e (z) = \dfrac{1}{2} (z+\bar z)$ .
$\mathfrak{I}m(z) = \dfrac{1}{2i} (z-\bar z)$ .

III. Module

Définition :

Soit $z \in \mathbb{C}$ avec $z = x + iy$ , $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ . Le nombre $z \bar{z} = x^2 +y^2$ est réel positif.
Le module de $z$ noté $|z|$ est un réel positif $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$ .

Propriétés :

Pour tout complexe $z$ .

$|z| = |\bar z| = |-z| = |-\bar z|$ .
$|\mathfrak{R}e(z)| \leq |z|$ et $|\mathfrak{I}m(z)| \leq |z|$ .

Propriétés :

Pour tous nombres complexes $z$ et $z '$ :

$|z|=0 \Longleftrightarrow z = 0$ .
$|zz'| = |z||z'|$ .
$| z + z'| \leq |z|+|z'|$ .

IV. Argument d'un complexe

Introduction :
Soit $z = x + iy$ un nombre complexe non nul, avec $x$ et $y$ réels. On a :

$|z|^2 = x^2+y^2 \not = 0$ .
$z = \sqrt{x^2+y^2} \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ .

Ou encore, $z = |z| (a+ib)$ avec $a^2 + b^2 = 1$ . Cela conduit naturellement à la définition suivante :

Définition :

Soit $z = x + iy$ un complexe non nul, avec $x$ et $y$ réels. On appelle argument de $z$ et on note $Arg(z)$ , tout réel vérifiant :
$\cos (Arg(z)) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin(Arg(z))= \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ .

Parmi ces réels (il y en a une infinité), un seul appartient à l'intervalle $]- \pi , \pi [$ . On l'appelle l'argument principal. Si on le note $\phi$ , alors tout argument de $z$ vérifie :
$Arg(z) = \phi +2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .
Ce que l'on note : $Arg(z) \bar{=} \phi [2\pi]$ , et on dit alors que $Arg(z)$ est équivalent (ou congru) à $\phi$ modulo $2 \pi$ .

Remarques :

Contrairement au module qui est défini pour n'importe quel nombre complexe (nul ou non nul), l'argument du nombre complexe nul n'est pas défini.

On retiendra les arguments suivants :
$Arg(1) \bar{=} 0 [2\pi] \\ Arg(i) \bar{=} \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \\ Arg(-i) \bar{=} -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \\ Arg(-1) \bar{=} \pi [2\pi]$

Forme trigonométrique d'un complexe :
D'après ce qui précède, on constate qu'on peut écrire tout complexe $z$ non nul d'argument $Arg(z)$ sous la forme suivante appelée forme trigonométrique :
$\forall z \in \mathbb{C}^* \; : \; z = |z|\left[\cos(Arg(z)) + i \sin(Arg(z)\right]$

Proposition :

Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls :
$z = z' \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{=} c} |z'| & |z| \\ Arg(z') & Arg(z)+2k \pi , k \in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.$

Propriétés :

Soit $z$ un complexe non nul :
$Arg(\bar{z}) \bar{=} -Arg(z) [2\pi] \\ Arg(\dfrac{1}{z}) \bar = -Arg(z) [2 \pi ] \\ Arg(-z) \bar{=} Arg(z) + \pi [2\pi] \\ Arg(-\bar{z}) \bar = \pi - Arg(z) [2\pi]$

Propriétés :

Soient $z$ et $z'$ deux complexes non nuls :
$Arg(zz') \bar = Arg(z) + Arg(z') [2\pi] \\ Arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) \bar = Arg(z) - Arg(z') [2\pi] \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; Arg(z^n) \bar{=} n.Arg(z) [2\pi]$

Remarque :
Pour se rappeler de ces trois dernières propriétés de "Arg", il suffit de remarquer qu'elles sont identiques à celles de "ln".

V. Notation exponentielle complexe

Notation :
Il est pratique d'utiliser pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ la notation exponentielle complexe $e^{i \theta}$ tel que :
$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin\theta$
Donc tout complexe $z$ non nul peut s'écrire sous la forme suivante : $z = |z| e^{iArg(z)}$ avec $|z| \in \mathbb{R}_+^* \text{ et } Arg(z) \in \mathbb{R}$

Formules d'Euler :

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ , on a les formules d'Euler suivantes :
$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ \sin \theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Formule de Moivre :

Pour tout entier relatif $n$ et pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ on a :
$\left(\cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos \left(n \theta\right) + i \sin \left(n\theta\right)$

On peut aussi exprimer cette formule en notation exponentielle : $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{i\theta n}$

Remarque :
Ces formules précédentes permettent de linéariser des expressions trigonométriques.

Proposition :

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ :
$|e^{i\theta}| = 1 \\ Arg(e^{i\theta}) \bar = \theta [2 \pi] \\ \bar{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta}}$

$\forall (\theta, \theta') \in \mathbb{R}^2$ :
$e^{i\theta} e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} \\ \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}$

VI. Représentation géométrique

Théorèmes - Définitions :
Soit le plan complexe $\mathfrak{P}_{\mathbb{C}}$ muni d'un repère orthonormal $(O, \overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{e_2})$ direct et soit $\mathfrak{V}$ l'ensemble des vecteurs du plan $\mathfrak{P}_{\mathbb{C}}$ rapporté à le base $(\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{e_2})$ .
L'application qui, au vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $(x,y)$ , associe le nombre complexe $z = x+iy$ est une bijection de $\mathfrak{V}$ sur $\mathbb{C}$ .
Un argument de $z$ est une mesure de l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{u})$ , et $|z|$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ .
On dit que $z$ est l'affixe de $\overrightarrow{u}$ et on note : $z = aff(\overrightarrow{u})$ .
L'application de $\mathfrak{P}_{\mathbb{C}}$ dans $\mathbb{C}$ qui, au point $M$ de coordonnées $(x,y)$ , associe le complexe $z = x+iy$ est une bijection de $\mathfrak{P}_{\mathbb{C}}$ sur $\mathbb{C}$ .
Un argument de $z$ est une mesure de l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{OM})$ et $|z| = OM$ (distance). On dit que $M$ est l'image de $z$ et que $z$ est l'affixe de $M$ et on note $z = aff(M)$ .
Voici la représentation ( $\theta$ est un argument de $z$ ) : Les nombres complexes - supérieur : image 1

Les nombres complexes - supérieur : image 1

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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