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Les nombres complexes

I. Présentation de

Remarque :
Dans , on définit :
      Le zéro : .
      L'unité : .
On a : .

Opposé et inverse d'un élément
      est l'opposé de .
      est l'inverse de .

Injection canonique de dans

• L'application est un morphisme injectif de corps.
• est isomorphe au sous-corps .
• On convient alors d'identifier un élément de à l'élément de . On écrira donc au lieu de . En particulier :
  • à la place de .
  • à la place de .
• D'après ce qui précède, on convient de dire que est inclus dans et on note : .

Il est important de noter que l'identification de avec n'a de sens que parce qu'il existe l'injection définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit " ", l'injection est sous-entendue, l'écriture correcte étant . On dit aussi de manière abusive que est une partie de et on note , là encore, l'injection est sous-entendue. Nous devrions écrire et dire " on identifie à une partie de via l'injection canonique ", mais par habitude (système international), on conserve toujours les notations normales (sans noter le à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe
Soit un élément de .

• Nous adoptons la notation appelée forme algébrique plutôt que la notation , et nous parlerons de nombre complexe (ou du complexe ) plutôt du couple .
• Le réel est appelé partie réelle du complexe et il est noté .
• Le réel est appelé partie imaginaire du complexe et il est noté . On a alors : .
• Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : : les deux complexes et sont égaux ssi : et .
• Le complexe est dit imaginaire pur lorsque : .

II. Conjugué d'un nombre complexe

Remarques :
.
.

III. Module

IV. Argument d'un complexe

Introduction :
Soit un nombre complexe non nul, avec et réels. On a :

• .
• .

Ou encore, avec . Cela conduit naturellement à la définition suivante : Parmi ces réels (il y en a une infinité), un seul appartient à l'intervalle . On l'appelle l'argument principal. Si on le note , alors tout argument de vérifie :
avec .
Ce que l'on note : , et on dit alors que est équivalent (ou congru) à modulo .

Remarques :
Contrairement au module qui est défini pour n'importe quel nombre complexe (nul ou non nul), l'argument du nombre complexe nul n'est pas défini.
On retiendra les arguments suivants :
     

Forme trigonométrique d'un complexe :
D'après ce qui précède, on constate qu'on peut écrire tout complexe non nul d'argument sous la forme suivante appelée forme trigonométrique :
      Remarque :
Pour se rappeler de ces trois dernières propriétés de "Arg", il suffit de remarquer qu'elles sont identiques à celles de "ln".

V. Notation exponentielle complexe

Notation :
Il est pratique d'utiliser pour tout la notation exponentielle complexe tel que :
     
Donc tout complexe non nul peut s'écrire sous la forme suivante : avec On peut aussi exprimer cette formule en notation exponentielle :

Remarque :
Ces formules précédentes permettent de linéariser des expressions trigonométriques.

VI. Représentation géométrique

Théorèmes - Définitions :
Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct et soit l'ensemble des vecteurs du plan rapporté à le base .
L'application qui, au vecteur de coordonnées , associe le nombre complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs , et est la norme du vecteur .
On dit que est l'affixe de et on note : .
L'application de dans qui, au point de coordonnées , associe le complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs et (distance). On dit que est l'image de et que est l'affixe de et on note .
Voici la représentation ( est un argument de ) :


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