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Les nombres complexes

I. Présentation de

Définition :
L'ensemble muni des lois de composition internes :
     
est un corps appelé corps des nombres complexes et noté .
Remarque :
Dans , on définit :
      * Le zéro : .
      * L'unité : .
Définition : " L'unité imaginaire d'Euler " :
L'élément qui vérifie : est appelé l'unité imaginaire d'Euler.
On notera dorénavant à la place de .
On a : .

Opposé et inverse d'un élément
      * est l'opposé de .
      * est l'inverse de .

Injection canonique de dans Il est important de noter que l'identification de avec n'a de sens que parce qu'il existe l'injection définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit " ", l'injection est sous-entendue, l'écriture correcte étant . On dit aussi de manière abusive que est une partie de et on note , là encore, l'injection est sous-entendue. Nous devrions écrire et dire " on identifie à une partie de via l'injection canonique ", mais par habitude (système international), on conserve toujours les notations normales (sans noter le à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe
Soit un élément de .

II. Conjugué d'un nombre complexe

Défintion :
Soit avec , .
On appelle conjugué du nombre complexe le nombre complexe noté et donné par : .
Remarques :
* .
* .
Propriétés :
Pour et dans , on a :


III. Module

Définition :
Soit avec , . Le nombre est réel positif.
Le module de noté est un réel positif .
Propriétés :
Pour tout complexe .
Propriétés :
Pour tous nombres complexes et :


IV. Argument d'un complexe

Introduction :
Soit un nombre complexe non nul, avec et réels. On a :
Ou encore, avec . Cela conduit naturellement à la définition suivante :
Définition :
Soit un complexe non nul, avec et réels. On appelle argument de et on note , tout réel vérifiant :
    et     .
Parmi ces réels (il y en a une infinité), un seul appartient à l'intervalle . On l'appelle l'argument principal. Si on le note , alors tout argument de vérifie :
avec .
Ce que l'on note : , et on dit alors que est équivalent (ou congru) à modulo .

Remarques :
* Contrairement au module qui est défini pour n'importe quel nombre complexe (nul ou non nul), l'argument du nombre complexe nul n'est pas défini.
* On retiendra les arguments suivants :
     

Forme trigonométrique d'un complexe :
D'après ce qui précède, on constate qu'on peut écrire tout complexe non nul d'argument sous la forme suivante appelée forme trigonométrique :
     
Proposition :
Soit et deux complexes non nuls :
Propriétés :
Soit un complexe non nul :
     
Propriétés :
Soient et deux complexes non nuls :
     
Remarque :
Pour se rappeler de ces trois dernières propriétés de "Arg", il suffit de remarquer qu'elles sont identiques à celles de "ln".

V. Notation exponentielle complexe

Notation :
Il est pratique d'utiliser pour tout la notation exponentielle complexe tel que :
     
Donc tout complexe non nul peut s'écrire sous la forme suivante : avec
Formules d'Euler :
Pour tout , on a les formules d'Euler suivantes :
     
Formule de Moivre :
Pour tout entier relatif et pour tout on a :
     
On peut aussi exprimer cette formule en notation exponentielle :

Remarque :
Ces formules précédentes permettent de linéariser des expressions trigonométriques.
Proposition :
* Pour tout :
     
* :
     


VI. Représentation géométrique

Théorèmes - Définitions :
Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct et soit l'ensemble des vecteurs du plan rapporté à le base .
L'application qui, au vecteur de coordonnées , associe le nombre complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs , et est la norme du vecteur .
On dit que est l'affixe de et on note : .
L'application de dans qui, au point de coordonnées , associe le complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs et (distance). On dit que est l'image de et que est l'affixe de et on note .
Voici la représentation ( est un argument de ) :

Merci à profil de Pantercorrecteur Panter (Correcteur) pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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