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Séries à termes dans un espace vectoriel normé

$\text{[math]}$ est un K-ev normé.

I. Généralités

1. Définitions

Définition :
On appelle série à termes dans $\text{[math]}$ tout couple $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Notations - Vocabulaire :
1. Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ s'appelle le terme général (ou le terme d'indice $\text{[math]}$ ) de $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ s'appelle la somme partielle d'indice $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est déterminée par la suite $\text{[math]}$ de ses termes généraux, on note alors $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$
2. On peut aussi définir les séries de type $\text{[math]}$ , l'étude suite concerne les séries $\text{[math]}$ mais elle se généralise aisement aux séries $\text{[math]}$
3. Les séries à termes dans $\text{[math]}$ (c'est-à-dire $\text{[math]}$ ) s'appellent les séries numériques.

2. Convergence - divergence

Définition :
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ converge ssi la suite $\text{[math]}$ de ses sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite $\text{[math]}$ s'appelle la somme de la série $\text{[math]}$ , on la note $\text{[math]}$ .
Et si $\text{[math]}$ ne converge pas, on dit qu'elle diverge.

N.B :
En cas de convergence : $\text{[math]}$

Remarque :
On définit de même la convergence et la somme d'une série $\text{[math]}$

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ . Alors :
Si $\text{[math]}$ converge alors $\text{[math]}$ .

Remarque importante :
La réciproque de la proposition précédente est fausse en général.

Vocabulaire :
Si $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ diverge, plus précisément, on dit que $\text{[math]}$ diverge grossièrement.

Proposition - Définition :
Soit $\text{[math]}$ une série convergente à termes dans $\text{[math]}$ .
Alors pour tout $\text{[math]}$ , la série $\text{[math]}$ converge.
De plus, si on note $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ s'appelle le reste à l'ordre $\text{[math]}$ de la série convergente $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ une série convergente à termes dans $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ la suite de ses restes.
Alors : $\text{[math]}$

Remarque :
Avec les notations de la "proposition-définition" précédente on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ étant donné, il existe $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$
Pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une valeur approchée de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près.

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux séries à termes dans $\text{[math]}$ . Alors :

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ convergent, il en est de même de $\text{[math]}$ , de plus dans ce cas : $\text{[math]}$

Si l'une des deux séries $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ converge et l'autre diverge, on a : $\text{[math]}$ diverge.

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ divergent, on ne peut rien dire de général sur la convergence de $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ convergente, alors $\text{[math]}$ converge et on a :
$\text{[math]}$

3. Condition de Cauchy

Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ . La condition de Cauchy pour la convergence de la série $\text{[math]}$ est la suivante : $\text{[math]}$

Remarque :
Si on pose $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ .
Donc la condition de Cauchy traduit que la suite $\text{[math]}$ des sommes partielles de $\text{[math]}$ est une suite de Cauchy.

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ . Alors :

La condition de Cauchy est une condition nécessaire de convergence de la série $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est complet, la condition de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante de convergence de $\text{[math]}$ .

Remarque :
D'après le théorème précédent, la condition de Cauchy est alors une condition nécessaire et suffisante (C.N.S) de convergence pour les séries numériques et aussi pour les séries à termes dans un evn de dimension finie.

4. Séries à termes dans un evn de dimension finie

Ici, $\text{[math]}$ est de dimension finie avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ la $\text{[math]}$ -ème suite composante de $\text{[math]}$ dans la base $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

Théorème :
Avec les notations précédentes, on a : $\text{[math]}$ converge ssi $\text{[math]}$ converge dans $\text{[math]}$ .
De plus, dans ce cas : $\text{[math]}$

5. Séries téléscopiques

$\text{[math]}$ est dite télescopique s'il existe une suite $\text{[math]}$ d'éléments de $\text{[math]}$ tel que :
$\text{[math]}$ (respectivement : $\text{[math]}$ )
On a donc : $\text{[math]}$ (respectivement : $\text{[math]}$ ).
Alors : $\text{[math]}$ converge ssi $\text{[math]}$ converge, de plus, dans ce cas :
$\text{[math]}$ (respectivement : $\text{[math]}$ )

II. Convergence absolue

Définition :
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ converge absolument ssi la série $\text{[math]}$ converge dans $\text{[math]}$ .

Exemples :
1. $\text{[math]}$ muni de de la norme $\text{[math]}$ (module) et $\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ converge,
on en déduit que $\text{[math]}$ converge absolument.
2. $\text{[math]}$ muni de la norme $\text{[math]}$ (valeur absolue) et $\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ne converge pas absolument alors que $\text{[math]}$ converge d'après la condition de Cauchy.
3. $\text{[math]}$ muni de la norme $\text{[math]}$ (rappel : dans $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ converge c'est-à-dire que $\text{[math]}$ converge absolument.
Montrons cependant que $\text{[math]}$ diverge :
Soit $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et posons : $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ).
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , si $\text{[math]}$ , on aurait $\text{[math]}$ ce qui est absurde.
Donc $\text{[math]}$ diverge .

Théorème :
Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente.

Lemme :
Soit $\text{[math]}$ une série à termes dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une suite réelle tq : $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$ converge absolument.

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux séries à termes dans $\text{[math]}$ absolument convergentes.
Alors, pour tout $\text{[math]}$ , la série : $\text{[math]}$ converge absolument.

III. Produit de Cauchy

Ici, $\text{[math]}$ est une $\text{[math]}$ -algèbre normée.
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux séries à termes dans $\text{[math]}$ , on pose $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
La série $\text{[math]}$ s'appelle la série produit de Cauchy des séries $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Remarques :

$\text{[math]}$

Lemme :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux séries à termes dans $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ leur série produit de Cauchy.
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ convergent, il en est de même de $\text{[math]}$ et on a :
$\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux séries à termes dans la $\text{[math]}$ -algèbre normée $\text{[math]}$ absolument convergentes, soit $\text{[math]}$ leur série produit de Cauchy, alors :

$\text{[math]}$ est absolument convergente.

Si $\text{[math]}$ est une $\text{[math]}$ -algèbre de Banach, on a :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ convergent absolument et on a : $\text{[math]}$