Séries à termes dans un espace vectoriel normé
est un K-ev normé.
I. Généralités
1. Définitions
Définition :
On appelle série à termes dans
tout couple
où
et
tel que :
Notations - Vocabulaire :
1. Soit
une série à termes dans
.
s'appelle le terme général (ou le terme d'indice
) de
.
s'appelle la somme partielle d'indice
de
.
est déterminée par la suite
de ses termes généraux, on note alors
ou encore
2. On peut aussi définir les séries de type
, l'étude suite concerne les séries
mais elle se généralise aisement aux séries
3. Les séries à termes dans
(c'est-à-dire
) s'appellent les séries numériques.
2. Convergence - divergence
Définition :
Soit
une série à termes dans
.
On dit que
converge ssi la suite
de ses sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite
s'appelle la
somme de la série
, on la note
.
Et si
ne converge pas, on dit qu'elle
diverge.
N.B :
En cas de convergence :
Remarque :
On définit de même la convergence et la somme d'une série
Proposition :
Soit
une série à termes dans
. Alors :
Si
converge alors
.
Remarque importante :
La réciproque de la proposition précédente est fausse en général.
Vocabulaire :
Si
quand
, alors
diverge, plus précisément, on dit que
diverge grossièrement.
Proposition - Définition :
Soit
une série
convergente à termes dans
.
Alors pour tout
, la série
converge.
De plus, si on note
et
, on a :
,
s'appelle le reste à l'ordre
de la série
convergente .
Proposition :
Soit
une série convergente à termes dans
et soit
la suite de ses restes.
Alors :
Remarque :
Avec les notations de la "proposition-définition" précédente on a :
et
étant donné, il existe
tel que :
Pour tout
,
est une valeur approchée de
à
près.
Théorème :
Soit
et
deux séries à termes dans
. Alors :
Si
et
convergent, il en est de même de
, de plus dans ce cas :
Si l'une des deux séries
et
converge et l'autre diverge, on a :
diverge.
Si
et
divergent, on ne peut rien dire de général sur la convergence de
.
Théorème :
Soit
et soit
une série à termes dans
convergente, alors
converge et on a :
3. Condition de Cauchy
Soit
une série à termes dans
. La condition de Cauchy pour la convergence de la série
est la suivante :
Remarque :
Si on pose
, on a :
.
Donc la condition de Cauchy traduit que la suite
des sommes partielles de
est une suite de Cauchy.
Théorème :
Soit
une série à termes dans
. Alors :
La condition de Cauchy est une condition nécessaire de convergence de la série
Si
est complet, la condition de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante de convergence de
.
Remarque :
D'après le théorème précédent, la condition de Cauchy est alors une condition nécessaire et suffisante (C.N.S) de convergence pour les séries numériques et aussi pour les séries à termes dans un evn de dimension
finie.
4. Séries à termes dans un evn de dimension finie
Ici,
est de dimension finie avec :
et
est une base de
.
Soit
une série à termes dans
, soit
la
-ème suite composante de
dans la base
.
Théorème :
Avec les notations précédentes, on a :
converge ssi
converge dans
.
De plus, dans ce cas :
5. Séries téléscopiques
est dite
télescopique s'il existe une suite
d'éléments de
tel que :
(respectivement :
)
On a donc :
(respectivement :
).
Alors :
converge ssi
converge, de plus, dans ce cas :
(respectivement :
)
II. Convergence absolue
Définition :
Soit
une série à termes dans
.
On dit que
converge absolument ssi la série
converge dans
.
Exemples :
1. muni de de la norme
(module) et
On a :
, donc
converge,
on en déduit que
converge absolument.
2. muni de la norme
(valeur absolue) et
On a :
, donc
ne converge pas absolument alors que
converge d'après la condition de Cauchy.
3. muni de la norme
(rappel : dans
, pour
on a :
) et
, donc :
converge c'est-à-dire que
converge absolument.
Montrons cependant que diverge :
Soit
, soit
et posons :
(
et
).
donc
, si
, on aurait
ce qui est absurde.
Donc
diverge .
Théorème :
Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente.
Lemme :
Soit
une série à termes dans
,
et
une suite réelle tq :
Alors
converge absolument.
Proposition :
Soit
et
deux séries à termes dans
absolument convergentes.
Alors, pour tout
, la série :
converge absolument.
III. Produit de Cauchy
Ici,
est une
-algèbre normée.
Soit
et
deux séries à termes dans
, on pose
avec
.
La série
s'appelle la série produit de Cauchy des séries
et
.
Remarques :
Lemme :
Soit
et
deux séries à termes dans
et soit
leur série produit de Cauchy.
Si
et
convergent, il en est de même de
et on a :
Théorème :
Soit
et
deux séries à termes dans la
-algèbre normée
absolument convergentes, soit
leur série produit de Cauchy, alors :
est absolument convergente.
Si
est une
-algèbre de Banach, on a :
,
et
convergent absolument et on a :