Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé (evn)
est un
-espace vectoriel normé (evn)
I. Les espaces : et
Définition :
On appelle suite d'éléments de
toute application :
.
Notation et vocabulaire :
Soit
une suite d'éléments de
.
1. Si
,
est noté
et on l'appelle le terme d'indice
ou encore le terme général de la suite
.
2. La suite
elle-même est noté
ou encore
s'il n'y a pas d'ambiguité.
3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de
est noté
.
Remarque :
On définit de manière analogue les suites de type
.
L'étude suivante concerne les suites
mais se généralise aisement aux suites
.
Remarque :
est un
-ev pour l'addition d'applications et le produit d'une application par un scalaire.
Définition :
Soit
,
est dite
bornée ssi :
L'ensemble de telles suites est noté
.
Proposition :
Pour tout
, on pose :
, alors :
définit une norme sur
.
II. Convergence
1. Généralités
Définition :
Soit
et
.
On dit que
converge vers
(ou que
admet
pour limite au voisinage de
) ssi :
et on écrit :
Corollaire :
Soit
et
une norme sur
équivalente à
alors :
pour
ssi
pour
.
Théorème :
Soit
et
, si
alors
est unique.
Proposition :
Toute suite convergente d'éléments de
est bornée.
Théorème :
Soit
avec
et soit
.
On dit que
est
adhérent à
ssi il existe une suite
d'éléments de
tel que :
.
Corollaire :
Soit
une partie non vide de
.
Alors
est un fermé de
ssi pour toute suite
d'éléments de
convergente on a :
.
2. Cas d'une K-algèbre normée
Ici
est une
-algèbre normée.
Théorème :
Soient
et
deux suites d'éléments de
convergentes alors :
converge et
.
3. Cas de la dimension finie
Ici
est de dimension finie
et
est une base de
.
Notation et vocabulaire :
- Si est une suite d'éléments de pour chaque , on note le système de coordonnées du vecteur dans la base .
- La suite est complètement définie par les suites scalaires qu'on appelle les suites composantes de dans la base .
Théorème :
Soit
et
son système de coordonnées dans la base
et soit
.
Alors
dans
ssi pour tout
.
Ainsi en cas de convergence :
4. Cas d'un espace produit
Soit
-evn.
Soit
, on munit
de l'une des normes produits :
ou
.
Notation et vocabulaire :
Pour toute suite
, on pose :
et on a :
.
est donc simplement déterminée par les suites
qu'on appelle les suites projection de la suite
.
Théorème :
Soit
.
Alors
dans
ssi pour tout
on a :
dans
.
III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes
1. Rappels et généralités
Définition :
Soit
, une suite
d'éléments de
est dite une
suite extraite de
ssi il existe
strictement croissante tq :
.
Rappel :
Si
est strictement croissante alors :
.
Remarque :
Soit
.
Si
est extraite de
et
est extraite de
, alors
est extraite de
.
Proposition :
Soit
, alors :
Si
est bornée, alors toute suite extraite de
est bornée .
Si
converge vers une limite
, alors toute suite extraite de
converge vers la même limite
.
La réciproque est fausse en général.
Théorème :
Soit
avec
et soit
et
.
Alors
ssi :
Définition : " Valeur d'adhérence "
Soit
et
.
On dit que
est une
valeur d'adhérence de
ssi il existe
strictement croissante tq :
.
Remarques importantes :
Si
converge vers une limite
, alors
possède une seule valeur d'adhérence qui est
.
<
Si
diverge, elle peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence comme elle peut n'en avoir aucune !
2. Parties compactes d'un evn
Définition
Soit
, on dit que
est un
compact de
ssi toute suite d'éléments de
admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à
.
C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de
on peut extraire une suite convergente de limite appartenant à
.
Théorème :
Tout compact de
est à la fois fermé et borné.
La réciproque est fausse en général.
Proposition :
Toute intersection de compacts de
est un compact de
.
Toute réunion
finie de compacts de
est un compact de
.
Théorème :
Soit
evn et
leur evn produit. Pour chaque
, soit
un compact de
.
Alors :
.
3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats
Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" :
Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" :
Soit
un evn de dim finie.
Toute suite bornée d'éléments de
admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème d'équivalence des normes en dimension finie :
Soit
un
-ev de dimension finie.
Toutes les normes sur
sont équivalentes.
Théorème :
Tout sev de dimension finie d'un evn
est un fermé de
.
Théorème :
Dans un evn de dimension finie
, une partie
est compact ssi elle est fermée et bornée.
IV. Suites de Cauchy - evn complets
1. Généralités
est un evn.
Définition :
Soit
.
On dit que
est de Cauchy ssi :
Remarque :
On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
est de Cauchy ssi :
Ou encore :
est de Cauchy ssi :
Remarque :
Si
est de Cauchy, alors
.
Proposition :
Soit
.
Alors
est de Cauchy ssi : il existe
et il existe une suite réelle
tels que :
Théorème :
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Les réciproques sont fausses en général .
Théorème :
Soit
.
Si :
est une suite de Cauchy.
admet une valeur d'adhérence
.
Alors :
Remarque :
L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.
Théorème :
Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.
2. Evn complets
Définition :
Un evn
est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de
est convergente.
Vocabulaire :
Un evn complet est un espace de Banach.
Une
-algèbre normée complète est dite une
-algèbre de Banach.
Définition :
Soit
un evn, une partie
de
est dite
complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de
converge vers une limite appartenant à
.
Théorème :
Soit
un evn.
Toute partie compacte de
est une partie complète.
Toute partie complète de
est fermée.
Les réciproques sont fausses en général.
Théorème :
Soit
un Banach et soit
.
Alors
est une partie complète ssi elle est fermée.