Fiche de mathématiques

Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé (evn)

$K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$
$(E \, , \, ||.||)$ est un $K$ -espace vectoriel normé (evn)

I. Les espaces : $E^{\mathbb{N}}$ et $\mathfrak{B}(\mathbb{N} \, , \, E)$

Définition :

On appelle suite d'éléments de $E$ toute application : $U \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow E$ .

Notation et vocabulaire :
Soit $U$ une suite d'éléments de $E$ .
1. Si $n \in \mathbb{N}$ , $U(n)$ est noté $U_n$ et on l'appelle le terme d'indice $n$ ou encore le terme général de la suite $U$ .
2. La suite $U$ elle-même est noté $U = (U_n)_{n \in \mathbb{N} }$ ou encore $(U_n)$ s'il n'y a pas d'ambiguité.
3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de $E$ est noté $E^{\mathbb{N}}$ .

Remarque :

On définit de manière analogue les suites de type $(U_n)_{n\geq n_0}$ .

L'étude suivante concerne les suites $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mais se généralise aisement aux suites $(U_n)_{n\geq n_0}$ .

Remarque :
$E^{\mathbb{N}}$ est un $K$ -ev pour l'addition d'applications et le produit d'une application par un scalaire.

Définition :

Soit $(U_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E^{\mathbb{N}}$ ,
$(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite bornée ssi : $(\exists k \in \mathbb{R}^{+}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: ||U_n|| \leq k$
L'ensemble de telles suites est noté $\mathfrak{B}(\mathbb{N}, E)$ .

Proposition :

$\mathfrak{B}(\mathbb{N}, E)$ est un $K$ -ev, sev de $E^{\mathbb{N}}$ .

Proposition :

Pour tout $(U_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{B}(\mathbb{N},E)$ , on pose : $N_{\infty} ((U_n)) = \sup_{n \in \mathbb{N}} ||U_n||$ , alors :
$N_{\infty}$ définit une norme sur $\mathfrak{B}(\mathbb{N}, E)$ .

II. Convergence

1. Généralités

Définition :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in E$ .
On dit que $(U_n)$ converge vers $\ell$ (ou que $(U_n)$ admet $\ell$ pour limite au voisinage de $+\infty$ ) ssi :
$(\forall \epsilon > 0 ) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow ||U_n - l || \leq \epsilon$
et on écrit : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$

Théorème :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in E$ , alors $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$ ssi :
$( \forall V \in \mathfrak{V}(\ell)) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow U_n \in V$ .

Corollaire :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}} \, , \, \ell \in E$ et $||.||'$ une norme sur $E$ équivalente à $||.||$ alors :
$\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$ pour $||.||$ ssi $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$ pour $||.||'$ .

Théorème :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in E$ , si $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$ alors $\ell$ est unique.

Théorème :

Soient $(U_n) \, , \, (V_n)$ deux suites d'éléments de $E$ et $(\alpha_n) \in K^{\mathbb{N}}$ tel que : $(U_n) \, , \, (V_n)$ convergent dans $E$ et $(\alpha_n)$ converge dans $K$ , alors :

$(U_n + V_n)$ converge dans $E$ et on a : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}(U_n + V_n ) = \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n + \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n$ .
$(\alpha_n U_n)$ converge dans $E$ et on a : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}\left(\alpha_n U_n\right) = \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} \alpha_n\right) \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n \right)$ .

Proposition :

Toute suite convergente d'éléments de $E$ est bornée.

Théorème :

Soit $A \subset E$ avec $A \not = \not O$ et soit $x \in E$ .
On dit que $x$ est adhérent à $A$ ssi il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ tel que : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty } a_n = x$ .

Corollaire :

Soient $A \, , \, B$ deux parties non vides de $E$ , alors :

$A$ est dense dans $B$ ssi tout élément de $B$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ .
$A$ est dense dans $E$ ssi tout élément de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ .

Corollaire :

Soit $A$ une partie non vide de $E$ .
Alors $A$ est un fermé de $E$ ssi pour toute suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ convergente on a : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty } a_n \in A$ .

2. Cas d'une K-algèbre normée

Ici $(E \, , \, ||.||)$ est une $K$ -algèbre normée.

Théorème :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites d'éléments de $E$ convergentes alors :
$(U_n \times V_n )$ converge et $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}\left(U_n \times V_n \right) = \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n\right) \times \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n\right)$ .

3. Cas de la dimension finie

Ici $E$ est de dimension finie $p \geq 1$ et $B(e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p)$ est une base de $E$ .

Notation et vocabulaire :

Si $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments de $E$ pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , on note $(U_{n,1} \, , \, U_{n,2} \, , \, \cdots \, , \, U_{n,p})$ le système de coordonnées du vecteur $U_n$ dans la base $B$ .
La suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est complètement définie par les suites scalaires $(U_{n,i})_{n \in \mathbb{N} \, , \, (1 \leq i \leq p) }$ qu'on appelle les suites composantes de $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans la base $B$ .

Théorème :

Soit $\ell \in E$ et $(\ell_1 \, , \, \cdots \, , \, \ell_p)$ son système de coordonnées dans la base $B$ et soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
Alors $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell$ dans $(E \, , \, ||.||_\infty)$ ssi pour tout $i \in \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{n,i} = \ell_i$ .
Ainsi en cas de convergence : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{p} \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{n,i}\right)e_i$

4. Cas d'un espace produit

Soit $(E_1 \, , \, ||.||_1) \, , \, \cdots \, , \, \left(E_p \, , \, ||.||_p\right) \: \: p \: K$ -evn.
Soit $E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p$ , on munit $E$ de l'une des normes produits : $N = N_1 \, , \, N_2$ ou $N_\infty$ .

Notation et vocabulaire :
Pour toute suite $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ , on pose : $U_n = (U_{n1} \, , \, \cdots \, , \, U_{np}) \: (n \in \mathbb{N})$ et on a : $U_{ni} \in E_i$ .
$(U_n)$ est donc simplement déterminée par les suites $(U_{ni})_{n \in \mathbb{N}} \in E_i^{\mathbb{N}}$ qu'on appelle les suites projection de la suite $(U_n)$ .

Théorème :

Soit $\ell = (\ell_1 \, , \, \cdots \, , \, \ell_p) \in E \, , \, (U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
Alors $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \ell$ dans $(E \, , \, N)$ ssi pour tout $i \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack$ on a : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{ni} = \ell_i$ dans $(E_i , ||.||_i)$ .

III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes

1. Rappels et généralités

Définition :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ , une suite $(V_n)$ d'éléments de $E$ est dite une suite extraite de $(U_n)$ ssi il existe $\psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ strictement croissante tq : $(\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: V_n = U_{\psi(n)}$ .

Rappel :
Si $\psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ est strictement croissante alors : $\left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \: : \: \psi (n) \geq n$ .

Remarque :
Soit $(U_n) \, , \, (V_n) \, , \, (W_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
Si $(V_n)$ est extraite de $(U_n)$ et $(W_n)$ est extraite de $(V_n)$ , alors $(W_n)$ est extraite de $(U_n)$ .

Proposition :

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ , alors :

Si $(U_n)$ est bornée, alors toute suite extraite de $(U_n)$ est bornée .
Si $(U_n)$ converge vers une limite $l$ , alors toute suite extraite de $(U_n)$ converge vers la même limite $l$ .

La réciproque est fausse en général.

Théorème :

Soit $p \in \mathbb{N}$ avec $p \geq 2$ et soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in E$ .
Alors $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \ell$ ssi :

$\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn} = \ell$
$\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn+1} = \ell$
$\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn+p-1} = \ell$

Définition : " Valeur d'adhérence "

Soit $(U_n) \in E^{\mathbb{N}}$ et $a \in E$ .
On dit que $a$ est une valeur d'adhérence de $(U_n)$ ssi il existe $\psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ strictement croissante tq : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{\psi(n)} = a$ .

Remarques importantes :

Si $(U_n)$ converge vers une limite $\ell$ , alors $(U_n)$ possède une seule valeur d'adhérence qui est $\ell$ .
<

Si $(U_n)$ diverge, elle peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence comme elle peut n'en avoir aucune !

2. Parties compactes d'un evn

Définition

Soit $A \subset E$ , on dit que $A$ est un compact de $E$ ssi toute suite d'éléments de $A$ admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à $A$ .

C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de $A$ on peut extraire une suite convergente de limite appartenant à $A$ .

Théorème :

Tout compact de $E$ est à la fois fermé et borné.

La réciproque est fausse en général.

Proposition :

Toute intersection de compacts de $E$ est un compact de $E$ .
Toute réunion finie de compacts de $E$ est un compact de $E$ .

Théorème :

Soit $p \in \mathbb{N}^* \, , \, (E_1, ||.||_1 ) \, , \, \cdots \, , \, (E_p , ||.||_p) \: p$ evn et $E$ leur evn produit. Pour chaque $i \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack$ , soit $A_i$ un compact de $E_i$ .
Alors : $A = A_1\times \cdots \times A_p$ .

3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats

Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" :

Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.

Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" :

Soit $(E, ||.||)$ un evn de dim finie.
Toute suite bornée d'éléments de $E$ admet au moins une valeur d'adhérence.

Théorème d'équivalence des normes en dimension finie :

Soit $E$ un $K$ -ev de dimension finie.
Toutes les normes sur $E$ sont équivalentes.

Théorème :

Tout sev de dimension finie d'un evn $E$ est un fermé de $E$ .

Théorème :

Dans un evn de dimension finie $(E, ||.||)$ , une partie $A$ est compact ssi elle est fermée et bornée.

IV. Suites de Cauchy - evn complets

1. Généralités

$(E \, , \, ||.||)$ est un evn.

Définition :

Soit $(x_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
On dit que $(x_n)$ est de Cauchy ssi : $(\forall \epsilon > 0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n\, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: \lbrace {n \geq N \atop m \geq N} \: \Longrightarrow ||x_n - x_m|| \leq \epsilon$

Remarque :
On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
$(x_n)$ est de Cauchy ssi : $(\forall \epsilon >0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: n \geq N \Longrightarrow ||x_n - x_{n+m}|| \leq \epsilon$
Ou encore :
$(x_n)$ est de Cauchy ssi : $(\forall \epsilon >0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: m \geq n > N \Longrightarrow ||x_n - x_m || \leq \epsilon$

Remarque :
Si $(x_n)$ est de Cauchy, alors $(\forall p \in \mathbb{N} ) \: : \: \displaystyle \lim_{ n \longrightarrow +\infty } x_{n+p} - x_n = 0_E$ .

Proposition :

Soit $(x_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
Alors $(x_n)$ est de Cauchy ssi : il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ et il existe une suite réelle $(\lambda_n)_{n \geq n_0}$ tels que :
$\lbrace (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: m \geq n \geq n_0 \Longrightarrow ||x_n-x_m|| \leq \lambda_n \\ \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} \lambda_n = 0 \.$

Théorème :

Toute suite de Cauchy est bornée.

Toute suite convergente est de Cauchy.

Les réciproques sont fausses en général .

Théorème :

Soit $(x_n) \in E^{\mathbb{N}}$ .
Si :
$(x_n)$ est une suite de Cauchy.
$(x_n)$ admet une valeur d'adhérence $a$ .
Alors : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} x_n = a$

Remarque :
L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.

Théorème :

Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.

2. Evn complets

Définition :

Un evn $(E, ||.||)$ est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de $E$ est convergente.

Vocabulaire :

Un evn complet est un espace de Banach.

Une $K$ -algèbre normée complète est dite une $K$ -algèbre de Banach.

Définition :

Soit $(E \, , \, ||.||)$ un evn, une partie $A$ de $E$ est dite complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de $A$ converge vers une limite appartenant à $A$ .

Théorème :

Soit $(E \, , \, ||.||)$ un evn.

Toute partie compacte de $E$ est une partie complète.

Toute partie complète de $E$ est fermée.

Les réciproques sont fausses en général.

Théorème :

Soit $E$ un Banach et soit $A \subset E$ .
Alors $A$ est une partie complète ssi elle est fermée.

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