Définition : On appelle suite d'éléments de toute application : .
Notation et vocabulaire : Soit une suite d'éléments de .
1. Si , est noté et on l'appelle le terme d'indice ou encore le terme général de la suite .
2. La suite elle-même est noté ou encore s'il n'y a pas d'ambiguité.
3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de est noté .
Remarque : On définit de manière analogue les suites de type .
L'étude suivante concerne les suites mais se généralise aisement aux suites .
Remarque : est un -ev pour l'addition d'applications et le produit d'une application par un scalaire.
Définition : Soit ,
est dite bornée ssi : L'ensemble de telles suites est noté .
Proposition : est un -ev, sev de .
Proposition : Pour tout , on pose : , alors :
définit une norme sur .
II. Convergence
1. Généralités
Définition : Soit et .
On dit que converge vers (ou que admet pour limite au voisinage de ) ssi :
et on écrit :
Théorème : Soit et , alors ssi :
.
Corollaire : Soit et une norme sur équivalente à alors :
pour ssi pour .
Théorème : Soit et , si alors est unique.
Théorème : Soient deux suites d'éléments de et tel que : convergent dans et converge dans , alors :
converge dans et on a : .
converge dans et on a : .
Proposition : Toute suite convergente d'éléments de est bornée.
Théorème : Soit avec et soit .
On dit que est adhérent à ssi il existe une suite d'éléments de tel que : .
Corollaire : Soient deux parties non vides de , alors :
est dense dans ssi tout élément de est limite d'une suite d'éléments de .
est dense dans ssi tout élément de est limite d'une suite d'éléments de .
Corollaire : Soit une partie non vide de .
Alors est un fermé de ssi pour toute suite d'éléments de convergente on a : .
2. Cas d'une K-algèbre normée
Ici est une -algèbre normée.
Théorème : Soient et deux suites d'éléments de convergentes alors :
converge et .
3. Cas de la dimension finie
Ici est de dimension finie et est une base de .
Notation et vocabulaire :
Si est une suite d'éléments de pour chaque , on note le système de coordonnées du vecteur dans la base .
La suite est complètement définie par les suites scalaires qu'on appelle les suites composantes de dans la base .
Théorème : Soit et son système de coordonnées dans la base et soit .
Alors dans ssi pour tout .
Ainsi en cas de convergence :
4. Cas d'un espace produit
Soit -evn.
Soit , on munit de l'une des normes produits : ou .
Notation et vocabulaire : Pour toute suite , on pose : et on a : .
est donc simplement déterminée par les suites qu'on appelle les suites projection de la suite .
Théorème : Soit .
Alors dans ssi pour tout on a : dans .
III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes
1. Rappels et généralités
Définition : Soit , une suite d'éléments de est dite une suite extraite de ssi il existe strictement croissante tq : .
Rappel : Si est strictement croissante alors : .
Remarque : Soit .
Si est extraite de et est extraite de , alors est extraite de .
Proposition : Soit , alors :
Si est bornée, alors toute suite extraite de est bornée .
Si converge vers une limite , alors toute suite extraite de converge vers la même limite .
La réciproque est fausse en général.
Théorème : Soit avec et soit et .
Alors ssi :
Définition : " Valeur d'adhérence " Soit et .
On dit que est une valeur d'adhérence de ssi il existe strictement croissante tq : .
Remarques importantes : Si converge vers une limite , alors possède une seule valeur d'adhérence qui est .
Si diverge, elle peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence comme elle peut n'en avoir aucune !
2. Parties compactes d'un evn
Définition Soit , on dit que est un compact de ssi toute suite d'éléments de admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à .
C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de on peut extraire une suite convergente de limite appartenant à .
Théorème : Tout compact de est à la fois fermé et borné.
La réciproque est fausse en général.
Proposition : Toute intersection de compacts de est un compact de .
Toute réunion finie de compacts de est un compact de .
Théorème : Soit evn et leur evn produit. Pour chaque , soit un compact de .
Alors : .
3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats
Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" : Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" : Soit un evn de dim finie.
Toute suite bornée d'éléments de admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème d'équivalence des normes en dimension finie : Soit un -ev de dimension finie.
Toutes les normes sur sont équivalentes.
Théorème : Tout sev de dimension finie d'un evn est un fermé de .
Théorème : Dans un evn de dimension finie , une partie est compact ssi elle est fermée et bornée.
IV. Suites de Cauchy - evn complets
1. Généralités
est un evn.
Définition : Soit .
On dit que est de Cauchy ssi :
Remarque : On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
est de Cauchy ssi : Ou encore :
est de Cauchy ssi :
Remarque : Si est de Cauchy, alors .
Proposition : Soit .
Alors est de Cauchy ssi : il existe et il existe une suite réelle tels que :
Théorème : Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Les réciproques sont fausses en général .
Théorème : Soit .
Si :
est une suite de Cauchy.
admet une valeur d'adhérence .
Alors :
Remarque : L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.
Théorème : Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.
2. Evn complets
Définition : Un evn est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente.
Vocabulaire : Un evn complet est un espace de Banach.
Une -algèbre normée complète est dite une -algèbre de Banach.
Définition : Soit un evn, une partie de est dite complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de converge vers une limite appartenant à .
Théorème : Soit un evn.
Toute partie compacte de est une partie complète.
Toute partie complète de est fermée.
Les réciproques sont fausses en général.
Théorème : Soit un Banach et soit .
Alors est une partie complète ssi elle est fermée.