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ImprimerSuites d'éléments d'un espace vectoriel normé (evn)
I. Les espaces : 
et )
Définition :
On appelle suite d'éléments de
toute application : 
.
On appelle suite d'éléments de
Notation et vocabulaire :
Soit
1. Si
2. La suite
3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de
Remarque :
On définit de manière analogue les suites de type L'étude suivante concerne les suites Remarque :
Définition :
Soit_{n \in \mathbb{N}} \in E^{\mathbb{N}})
,
_{n \in \mathbb{N}})
est dite bornée ssi :  \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: ||U_n|| \leq k)
L'ensemble de telles suites est noté)
.
Soit
L'ensemble de telles suites est noté
Proposition :
est un 
-ev, sev de .
Proposition :
Pour tout_{n \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{B}(\mathbb{N},E))
, on pose : ) = \sup_{n \in \mathbb{N}} ||U_n||)
, alors :
définit une norme sur .
Pour tout
II. Convergence
1. Généralités
Définition :
Soit \in E^{\mathbb{N}})
et 
.
On dit que)
converge vers 
(ou que admet pour limite au voisinage de 
) ssi :
 \: (\exist N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow ||U_n - l || \leq \epsilon)
et on écrit :
Soit
On dit que
et on écrit :
Théorème :
Soit et , alors ssi :
) \: (\exist N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow U_n \in V)
.
Soit
Corollaire :
Soit \in E^{\mathbb{N}} \, , \, \ell \in E)
et 
une norme sur équivalente à 
alors :
pour ssi pour .
Soit
Théorème :
Soit et , si alors est unique.
Soit
Théorème :
Soient \, , \, (V_n))
deux suites d'éléments de et  \in K^{\mathbb{N}})
tel que : convergent dans et )
converge dans , alors :
Soient
-
converge dans
.
-
converge dans
.
Proposition :
Toute suite convergente d'éléments de est bornée.
Toute suite convergente d'éléments de
Théorème :
Soit
avec 
et soit 
.
On dit que
est adhérent à 
ssi il existe une suite )
d'éléments de tel que : 
.
Soit
On dit que
Corollaire :
Soient
deux parties non vides de , alors :
Soient
-
ssi tout élément de
-
Corollaire :
Soit une partie non vide de .
Alors est un fermé de ssi pour toute suite d'éléments de convergente on a : 
.
Soit
Alors
2. Cas d'une K-algèbre normée
Ici
Théorème :
Soient et )
deux suites d'éléments de convergentes alors :
)
converge et  = \(\lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n\) \times \(\lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n\))
.
Soient
3. Cas de la dimension finie
IciNotation et vocabulaire :
- Si
, on note
le système de coordonnées du vecteur
dans la base
- La suite
qu'on appelle les suites composantes de
Théorème :
Soit et )
son système de coordonnées dans la base et soit .
Alors dans )
ssi pour tout 
.
Ainsi en cas de convergence :e_i)
Soit
Alors
Ainsi en cas de convergence :
4. Cas d'un espace produit
SoitSoit
Notation et vocabulaire :
Pour toute suite
Théorème :
Soit \in E \, , \, (U_n) \in E^{\mathbb{N}})
.
Alors
dans )
ssi pour tout 
on a : 
dans )
.
Soit
Alors
III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes
1. Rappels et généralités
Définition :
Soit, une suite d'éléments de est dite une suite extraite de ssi il existe 
strictement croissante tq :  \: : \: V_n = U_{\psi(n)})
.
Soit
Rappel :
Si
Remarque :
Soit
Si
Proposition :
Soit, alors :
Soit
- Si
- Si
, alors toute suite extraite de
La réciproque est fausse en général.
Théorème :
Soit
avec 
et soit et .
Alors ssi :
Soit
Alors
Définition : " Valeur d'adhérence "
Soit et 
.
On dit que
est une valeur d'adhérence de ssi il existe strictement croissante tq : } = a)
.
Soit
On dit que
Remarques importantes :
Si 2. Parties compactes d'un evn
Définition
Soit, on dit que est un compact de ssi toute suite d'éléments de admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à .
C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de Soit
Théorème :
Tout compact de est à la fois fermé et borné.
Tout compact de
La réciproque est fausse en général.
Proposition :
Toute intersection de compacts de est un compact de .
Toute réunion finie de compacts de est un compact de .
Toute intersection de compacts de
Toute réunion finie de compacts de
Théorème :
Soit \, , \, \cdots \, , \, (E_p , ||.||_p) \: p)
evn et leur evn produit. Pour chaque , soit 
un compact de 
.
Alors :
.
Soit
Alors :
3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats
Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" :
Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" :
Soit)
un evn de dim finie.
Toute suite bornée d'éléments de admet au moins une valeur d'adhérence.
Soit
Toute suite bornée d'éléments de
Théorème d'équivalence des normes en dimension finie :
Soit un -ev de dimension finie.
Toutes les normes sur sont équivalentes.
Soit
Toutes les normes sur
Théorème :
Tout sev de dimension finie d'un evn est un fermé de .
Tout sev de dimension finie d'un evn
Théorème :
Dans un evn de dimension finie, une partie est compact ssi elle est fermée et bornée.
Dans un evn de dimension finie
IV. Suites de Cauchy - evn complets
1. Généralités
Définition :
Soit \in E^{\mathbb{N}})
.
On dit que)
est de Cauchy ssi :  \: (\exist N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n\, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: \{{n \geq N \atop m \geq N} \: \Longrightarrow ||x_n - x_m|| \leq \epsilon)
Soit
On dit que
Remarque :
On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
Ou encore :
Remarque :
Si
Proposition :
Soit.
Alors est de Cauchy ssi : il existe 
et il existe une suite réelle _{n \geq n_0})
tels que :
 \in \mathbb{N}^2) \: : \: m \geq n \geq n_0 \Longrightarrow ||x_n-x_m|| \leq \lambda_n \\
\lim_{n \longrightarrow +\infty} \lambda_n = 0 \.)
Soit
Alors
Théorème :
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Les réciproques sont fausses en général .
Théorème :
Soit.
Si :
est une suite de Cauchy.
admet une valeur d'adhérence .
Alors :
Soit
Si :
Alors :
Remarque :
L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.
Théorème :
Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.
Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.
2. Evn complets
Définition :
Un evn est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente.
Un evn
Vocabulaire :
Un evn complet est un espace de Banach.
Une
Définition :
Soit)
un evn, une partie de est dite complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de converge vers une limite appartenant à .
Soit
Théorème :
Soit un evn.
Toute partie compacte de est une partie complète.
Toute partie complète de est fermée.
Soit
Toute partie compacte de Toute partie complète de Les réciproques sont fausses en général.
Théorème :
Soit un Banach et soit .
Alors est une partie complète ssi elle est fermée.
Soit
Alors
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