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Notions de base de la topologie dans un espace vectoriel normé

Prérequis : Normes sur un K-espace vectoriel (K-ev)
Ici, $\text{[math]}$ désigne un espace vectoriel normé (evn) ( $\text{[math]}$ est une norme).

I. Parties Bornées

Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est bornée ssi : Il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ .

Remarques :

$\text{[math]}$ est borné.
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont bornées.
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux parties de $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ , alors si $\text{[math]}$ est bornée alors $\text{[math]}$ l'est aussi.
Soit $\text{[math]}$ un evn non vide, une application $\text{[math]}$ est bornée ssi : $\text{[math]}$ est bornée dans $\text{[math]}$ .

Proposition - Définition :
Soit $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ , les propositions suivantes sont equivalentes (p.p.s.e) :

$\text{[math]}$ est bornée.
Il existe $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est majoré.

Si $\text{[math]}$ est bornée, $\text{[math]}$ est appelé le diamètre de $\text{[math]}$ noté : $\text{[math]}$ .

II. Voisinages

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est un voisinage de $\text{[math]}$ ssi : il existe $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ .

Notation :
L'ensemble des voisinages de $\text{[math]}$ est noté : $\text{[math]}$ .

Exemples :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ un intervalle ouvert non vide, alors $\text{[math]}$ est voisinage de chacun de ses points. Par contre, si $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ .
Plus généralement, un intervalle non ouvert n'est pas voisinage de ses extremités qui lui appartiennent.
Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , montrons que $\text{[math]}$ est voisinage de chacun de ses points :
Soit $\text{[math]}$ , il suffit alors de montrer que : $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
alors : $\text{[math]}$ , d'où le résultat.

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ :

Soit $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ voisinage de $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est un voisinage de $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , il existe un $\text{[math]}$ et un $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ .

III. Points adhérents à une partie

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est adhérent à $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points adhérents à $\text{[math]}$ est noté : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ et on l'appelle l'adhérence de $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors les p.s.s.e :

$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ .

Remarque :
On peut définir l'adhérence de $\text{[math]}$ de la manière suivante : $\text{[math]}$ .

IV. Densité

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux parties de $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .

Exemples :

Soit $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ et on a aussi : $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ .

Remarque :
Si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ c'est-à-dire ssi : $\text{[math]}$ .

V. Points intérieurs à une partie

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est un point intérieur à $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .

Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points intérieurs à $\text{[math]}$ est noté $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ et on l'appelle l'interieur de $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ , et soit $\text{[math]}$ le complémentaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ .

On dit ainsi que les notions d'adhérence et d'interieur sont duales.

VI. Frontière d'une partie

Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ .
On appelle frontière de $\text{[math]}$ l'ensemble noté $\text{[math]}$ tq : $\text{[math]}$ .

Remarque :
$\text{[math]}$ .

Exemple :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

VII. Ouverts et Fermés

Une partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est dite un ouvert de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Une partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est dite un fermé de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ est un ouvert.

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ alors :

$\text{[math]}$ est un ouvert, et $\text{[math]}$ est un fermé.
$\text{[math]}$ est un ouvert (respectivement fermé ) ssi $\text{[math]}$ (respectivement $\text{[math]}$ ).

Théorème :

Toute réunion (respectivement intersection) d'ouverts (respectivement de fermés) de $\text{[math]}$ est un ouvert (respectivement un fermé) de $\text{[math]}$ .
Toute intersection (respectivement réunion) finie d'ouverts (respectivement de fermés) de $\text{[math]}$ est un ouvert (respectivement un fermé) de $\text{[math]}$ .