Fiche de mathématiques

Notions de base de la topologie dans un espace vectoriel normé

Prérequis : Normes sur un K-espace vectoriel (K-ev)
Ici, $(E, ||.||)$ désigne un espace vectoriel normé (evn) ( $||.||$ est une norme).

I. Parties Bornées

Soit $A$ une partie de $E$ .
On dit que $A$ est bornée ssi : Il existe $r \geq 0$ et $a \in E$ tq : $A \subset B_{f}(a,r)$ .

Remarques :

$\empty$ est borné.
$B(a,r)$ et $B_{f}(a,r)$ sont bornées.
Soit $A$ et $B$ deux parties de $E$ tq : $A \subset B$ , alors si $B$ est bornée alors $A$ l'est aussi.
Soit $X$ un evn non vide, une application $\begin{array}{rcccl} f&:&X&\to& E\\ \end{array}$ est bornée ssi : $f(X)$ est bornée dans $E$ .

Proposition - Définition :

Soit $A \subset E$ ; $A \neq \empty$ , les propositions suivantes sont equivalentes (p.p.s.e) :

$A$ est bornée.
Il existe $r \geq 0$ tq : $A \subset B_{f}(0_{E},r)$ .
$\lbrace ||x-y|| / (x,y) \in A^2 \rbrace$ est majoré.

Si $A$ est bornée, $sup\lbrace ||x-y|| /(x,y) \in A^2\rbrace$ est appelé le diamètre de $A$ noté : $diam(A)$ .

II. Voisinages

Soient $a \in E$ et $V \subset E$ .
On dit que $V$ est un voisinage de $a$ ssi : il existe $r>0$ tq : $B_{f}(a,r) \subset V$ .

Notation :
L'ensemble des voisinages de $a$ est noté : $\mathfrak{V}(a)$ .

Exemples :

$E = \mathbb{R}$ , $A$ un intervalle ouvert non vide, alors $A$ est voisinage de chacun de ses points. Par contre, si $A = [a,b[$ avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ , alors : $A \not \in \mathfrak{V}(a)$ .
Plus généralement, un intervalle non ouvert n'est pas voisinage de ses extremités qui lui appartiennent.
Soient $a \in E$ , $r > 0$ et $A = B(a,r)$ , montrons que $A$ est voisinage de chacun de ses points :
Soit $x \in A$ , il suffit alors de montrer que : $\exists \phi >0$ tq : $B_{f}(x, \phi) \subset A$
On a : $r - ||x-a|| > 0$ , soit $\phi \in \mathbb{R}$ tq : $0 < \phi < r - ||x - a||$
Soit $y \in B_{f}(x,\phi)$ : $||y - a|| = ||y - x + x - a|| \leq ||y - x|| + ||x - a|| \leq \phi + ||x - a|| < r$
alors : $B_{f}(x, \phi) \subset A$ , d'où le résultat.

Proposition :

Soit $(a,b) \in E^2$ :

Soit $p \in \mathbb{N}^{*}$ et soit $V_{1}, \ldots , V_{p}$ $p$ voisinage de $a$ , alors : $\bigcap_{i=1}^p V_{i}$ est un voisinage de $a$ .
Si $a \neq b$ , il existe un $U \in \mathfrak{V}(a)$ et un $W \in \mathfrak{V}(b)$ tq : $U \cap W = \empty$ .
$\bigcap_{V\in \mathfrak{V}(a)}^{} V = \lbrace a\rbrace$ .

III. Points adhérents à une partie

Soient $A \subset E$ et $x \in E$ .
On dit que $x$ est adhérent à $A$ ssi : $(\forall V \in \mathfrak{V}(x) )$ : $V \cap A \not = \empty$ .

Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points adhérents à $A$ est noté : $Adh(A)$ ou $\bar A$ et on l'appelle l'adhérence de $A$ .

Proposition :

Soient $A \subset E , A \neq \empty$ et $x \in E$ , alors les p.s.s.e :

$x \in \bar A$ .
$(\forall \epsilon > 0)$ : $B_{f}(x,\epsilon) \cap A \neq \empty$ .
$(\forall \epsilon >0)$ : $B(x,\epsilon) \cap A \neq \empty$ .

Théorème :

Soit $A \subset E , A \neq \empty$ et soit $x \in E$ , on a : $x \in \bar A \Leftrightarrow d(x,A) = 0$ .

Remarque :
On peut définir l'adhérence de $A$ de la manière suivante : $\bar A = \lbrace x \in E / d(x,A)=0\rbrace$ .

IV. Densité

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ .
On dit que $A$ est dense dans $B$ ssi : $B \subset \bar A$ .

Exemples :

Soit $a \in E$ et soit $r >0$ , on a $B(a,r)$ est dense dans $S(a,r)$ .
$E = \mathbb{R}$ , on a $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{Q}$ et on a aussi : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ .

Remarque :
Si $B = E$ , $A$ est dense dans $E$ ssi : $E \subset \bar A$ c'est-à-dire ssi : $E = \bar A$ .

V. Points intérieurs à une partie

Soient $A \subset E$ et $x \in E$ .
On dit que $x$ est un point intérieur à $A$ ssi : $A \in \mathfrak{V}(x)$ .

Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points intérieurs à $A$ est noté $Int(A)$ ou $A^{o}$ et on l'appelle l'interieur de $A$ .

Proposition :

Soit $A \subset E$ , et soit $A^{c}$ le complémentaire de $A$ dans $E$ , on a :

$Int(A^{c}) = (\bar A)^{c}$ .
$\bar {A^{c}} = (Int(A))^{c}$ .

On dit ainsi que les notions d'adhérence et d'interieur sont duales.

VI. Frontière d'une partie

Soit $A$ une partie de $E$ .
On appelle frontière de $A$ l'ensemble noté $Fr(A)$ tq : $Fr(A)=\bar A \backslash A^{o}$ .

Remarque :
$Fr(A) = \bar A \cap (Int(A))^{c} = \bar A \cap \bar {A^c}$ .

Exemple :
$E = \mathbb{R}$ : $Fr(\mathbb{Q}) = \bar{ \mathbb{Q}} \cap \bar {\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$ .

VII. Ouverts et Fermés

Une partie $A$ de $E$ est dite un ouvert de $E$ ssi : $(\forall x \in A)$ : $A \in \mathfrak{V}(x)$ .

Une partie $A$ de $E$ est dite un fermé de $E$ ssi : $A^{c}$ est un ouvert.

Proposition :

Soit $A \subset E$ alors :

$Int(A)$ est un ouvert, et $Adh(A)$ est un fermé.
$A$ est un ouvert (respectivement fermé ) ssi $Int(A)=A$ (respectivement $Adh(A) =A$ ).

Théorème :

Toute réunion (respectivement intersection) d'ouverts (respectivement de fermés) de $E$ est un ouvert (respectivement un fermé) de $E$ .
Toute intersection (respectivement réunion) finie d'ouverts (respectivement de fermés) de $E$ est un ouvert (respectivement un fermé) de $E$ .

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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