Fiche de mathématiques

Arithmétique

I. Divisibilité et Congruences

1. Divisibilité

Définition

$b \neq 0$ est un diviseur de $a$ s'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = kb$
On dit également que $b$ divise $a$ ou que $a$ est un multiple de $b$ .
On note $b|a$

Division euclidienne dans Z

On considère $a$ un entier relatif et $b$ entier naturel différent de 0.
Il existe un unique couple $(q ; r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$
$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division de $a$ par $b$ .

2. Critères de divisibilité

Pour qu'un nombre entier soit divisible par :

2, il faut et il suffit que le chiffre des unités soit 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8,

10ⁿ, il faut et il suffit que ce nombre se termine par n zéros,

4 ou 25, il faut et il suffit que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ou 25,

8 ou 125, il faut et il suffit que le nombre formé par les trois derniers chiffres soit divisible par 8 ou 125,

3 ou 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3 ou 9,

5, il faut et il suffit que ce nombre se termine par 0 ou 5,

11, il faut et il suffit que la différence entre la somme des chiffres de rang pair et celle de rang impair soit un multiple de 11.

Exemples d'application :

Exemple 1 :
Quelles sont les valeurs de l'entier relatif $n$ pour lesquelles la fraction $\dfrac{3n+8}{n+4}$ représente un entier relatif ?
Cette fraction a un sens si $n + 4 \neq 0$ , soit $n \neq -4$ .
On constate que $3n + 8 = 3(n + 4) - 4$
$n + 4$ divise $3(n + 4)$ , donc $n + 4$ divise $3n + 8$ si $n + 4$ divise -4.
Les diviseurs de -4 sont 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4.
Il faut que $n + 4 \in \lbrace -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 \rbrace$ ce qui entraîne que $n \in \lbrace -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 \rbrace$
On vérifie que -4 n'appartient pas à {-8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0} avant de conclure.
Conclusion : la fraction $\dfrac{3n+8}{n+4}$ représente un entier relatif pour les valeurs de l'entier relatif $n$ : -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0.

Exemple 2 :
Démontrer que tous les nombres dont l'écriture décimale est $\overline{abcabc}$ avec $a~;~b~;~c \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9 \rbrace$ sont divisibles par 7 ; 11 et 13.
On a $\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} \times 1$
Donc $\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1001 = \overline{abc} \times 7 \times 11 \times 13$
$\overline{abc}$ , 7 et 11 sont des nombres entiers; leur produit aussi.
13 est donc un diviseur de $\overline{abc}$ . Il en de même pour 7 et 11.
La conclusion en découle.

Exemple 3 :
Montrer que pour tout entier naturel $n$ ,3 divise $4^n - 1$ .
On va utiliser une démonstration par récurrence.
On note $P(n)$ la propriété : "3 divise $4^n-1$ ".
Pour $n = 0$ : 4⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 est divisible par 3, donc P(0) est vraie.
On suppose $P(n)$ vraie ce qui se traduit par : il existe un entier naturel $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$ , donc $4^n = 3k + 1$
Au rang $n + 1$ : $4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4 \times (3k + 1) - 1 = 4 \times 3k + 4 \times 1 - 1 = 4 \times 3k + 3 = 3(4k + 1)$
Conclusion : D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel $n$ , 3 divise $4^n - 1$ .

3. Congruences

Définition

Soit $n \in \mathbb{N}$ , $a$ est congru à $b$ modulo $n$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = b + kn$ .
On le note $a \equiv b [n]$

Exemple :
38 $\equiv$ 3 [5] car 38 = 7 × 5 + 3

Propriétés

$a ~,~ b ~,~ c ~,~ d$ sont des entiers relatifs. $n$ est un entier naturel différent de 0.
$a \equiv b~[n] \iff b \equiv a~[n]$
Si $a \equiv b~[n]$ et $b \equiv c~[n]$ , alors $a \equiv c~[n]$
Si $a \equiv b~[n]$ , alors $a + c \equiv b + c~[n] \text{ et } ac \equiv bc~[n]$
Si $a \equiv b~[n] \text{ et } c \equiv d~[n]$ , alors $a + c \equiv b + d~[n] \, \, ; \, \, a - c \equiv b - d~[n] \, \, \text{ et } \, \, ac \equiv bd~[n]$
Si $a \equiv b~[n]$ , alors $a^p \equiv b^p ~[n]$ ( $p$ désigne un entier naturel).

Remarque :
On ne peut pas diviser une congruence ( $ac \equiv bc~[n]$ n'implique pas $a \equiv b~[n]$ ).

Exemples d'application :

Exemple 1 : Déterminer les restes de la division euclidienne pour $n \in \mathbb{N}$ de $3^n$ par 7.
Il est bon de rappeler que pour tout $x \in \mathbb{Z}$ , $r$ est le reste de la division euclidienne de $x$ par 7 si $r \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \rbrace$ et $x \equiv r~[7]$
On dresse le tableau qui permet de montrer les restes modulo 7 des premières puissances de 3 :

3⁰	3¹	3²	3³	3⁴	3⁵	3⁶
1	3	2	6	4	5	1

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $3^{6k} \equiv (3^6)^k \equiv 1~[7]$
Soit $n \in \mathbb{N}$ , il existe $(q~;~r) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ tel que $n = 6q + r$ avec $0 \leq r < 6$
$r \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \rbrace$ et comme $3^n = 3^{6q+r} = (3^6)^q \times 3^r$ , on a :
$3^n \equiv 3^r ~[7]$
Si $n = 6q$ , on a : $3^n \equiv 1~(7)$ : le reste est 1.
Si $n = 6q + 1$ , on a : $3^n \equiv 3(7)$ : le reste est 3.
Si $n = 6q + 2$ , on a : $3^n \equiv 2(7)$ : le reste est 2.
Si $n = 6q + 3$ , on a : $3^n \equiv 6(7)$ : le reste est 6.
Si $n = 6q + 4$ , on a : $3^n \equiv 4(7)$ : le reste est 4.
Si $n = 6q + 5$ , on a : $3^n \equiv 5(7)$ : le reste est 5.

Exemple 2 : Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 de $1515^{2000}$
1515 = 7 × 216 + 3, donc 1 515 $\equiv$ 3 (7).
Donc, pour tout $n \in \mathbb{N} \, , \, 1515^n \equiv 3^n$
Pour $n = 2000$ , on effectue la division euclidienne de 2000 par 6 : 2 000 = 6 × 333 + 2.
Précédemment, on a vu que $3^{2000} \equiv 2(7)$
Donc $1515^{2000} \equiv 2(7)$
Le reste de la division euclidienne de $1515^{2000}$ par 7 est 2.

Exemple 3 : Déterminer l'ensemble des entiers naturels $x$ tels que $2^x \equiv x^2$ (modulo 9).
Il suffit d'examiner les valeurs possibles pour $2^x$ et $x^2$ (modulo 9) en dressant le tableau suivant :

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$2^x$	1	2	4	8	7	5	1	2	4
$x^2$	0	1	4	0	7	7	0	4	1

On en déduit pour tout $x \in \mathbb{N} \, : \, 2^x \equiv x^2$ (modulo 9) si : $x \equiv 2~(9) \text{ ou } x \equiv 4~(9)$
L'ensemble des entiers naturels tels que $2^x \equiv x^2$ (modulo 9 est : $9k + 2 ~;~ 9k + 4$ avec $k \in \mathbb{N}$

Exemple 4 : Une équation diophantienne
Résoudre l'équation (E) d'inconnues $(x ~;~ y) \in \mathbb{Z} \, : \, 405x - 120y = 15$
1ère étape: on cherche une solution particulière en faisant appel à l'algorithme d'Euclide
405 = 120 × 3 + 45 (1)
120 = 45 × 2 + 30 (2)
45 = 30 × 1 + 15 (3)
30 = 15 × 2 + 0 (4)
Le dernier reste non nul est le pgcd des 2 nombres, donc pgcd(405 ; 120) = 15.
On pourra exprimer 15 en fonction de 405 et 120 en remontant de la division (3) à la division (1).
15 = 45 - 1 × 30 d'après (3).
15 = 45 - 1 × (120 - 2 × 45) d'après (2).
15 = 405 - 3 × 120 - 1 × (120 - 2 × (405 - 3 × 120)) d'après (1).
Soit 15 = 3 × 405 - 10 × 120
On tire $x = 3$ et $y = 10$ .

2ème étape : la solution générale en utilisant la solution particulière et le théorème de Gauss
$405x - 120y = 405 \times 3 - 10 \times 120 \\ \iff 405(x - 3) = 120(y - 10)\\ \iff 27(x - 3) = 8(y - 10)$

27 et 8 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 27 divise $y - 10$ , donc il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que :
$y - 10 = 27k$ soit $y = 27k + 10$
De même, $x - 3 = 8k$ donc $x = 8k + 3$
Réciproquement, si $x = 8k + 3$ et $y = 27k + 10$ , alors $405x - 120y = 15$
Conclusion : l'ensemble solution de (E) est : $x = 8k + 3 \, ; \, y = 27k + 10 \text{ avec } k \in \mathbb{Z}$

II. PPCM et PGCD - Nombres premiers

1. PPCM et PGCD

PDCG de deux entiers

Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.
L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément d noté pgcd(a ; b).

Exemple : PGCD(9 ; 15) = 3

PPCM de deux entiers

Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.
L'ensemble des multiples strictement supérieurs à 0 communs à a et b admet un plus petit élément m noté PPCM(a ; b).

Exemple : PPCM(6 ; 4) = 12

Nombres premiers

Un entier naturel n est premier si et seulement si il possède exactement deux diviseurs : 1 et n.

Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Ewemple : 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 sont premiers.

Critère de primalité

Un entier naturel $n$ est premier si et seulement si il n'est pas divisible par un nombre premier compris entre 2 et $\sqrt{n}$

Exemple :
137 est un nombre premier car $\sqrt{137} \approx 11,7 \text{ à } 10^{-1} \text{ près }$
On remarque que 2, 3, 5, 7, 11 ne divisent pas 137.

Exemples d'application :

1er exemple : Calculer PGCD(120 , 88) en utilisant trois méthodes différentes
1ère méthode : Ecrire la liste des diviseurs de 120 et celle de 88.
Diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Diviseurs de 88 : 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.
On en déduit que PGCD(120 , 88) = 8.

2ème méthode : par l'algorithme d'Euclide
120 = 88 × 1 + 32
88 = 32 × 2 + 24
32 = 24 × 1 + 8
24 = 8 × 3 + 0
Le dernier reste non nul (8) constitue le PGCD des deux nombres. On a donc PGCD(120 ; 88) = 8.

3ème méthode : On utilise la décomposition en produit de de facteurs premiers
120 = 2³ × 3 × 5
88 = 2³ multiplie

11
Donc PGCD(120 , 88) = 2³ = 8

Remarques :
- On prend tous les termes communs affectés du plus faible coefficient.
- Cette dernière méthode est peu pratique si les entiers sont grands car la décomposition en facteurs premiers se révèle difficile à faire. Il semble préférable d'employer l'algorithme d'Euclide.

2ème exemple : Soit $n \in \mathbb{N}$ . On pose $d = \text{PGCD}(2n+8 ~;~3n+15)$
a) Montrer que $d$ divise 6.
b) Déterminer l'ensemble $S$ des entiers relatifs tels que $d = 6$ .

a) On constate que $2n + 8 = 0$ pour $n = -4$ et que 3(-4) + 15 = 3 $\neq$ 0. On en conclut que $2n + 8$ et $3n + 15$ ne sont pas nuls simultanément. Par conséquent le PGCD a un sens.
$d = \text{PGCD}(2n+8~;~3n+15)$ divise $2n + 8$ et $3n + 15$ .
Donc $d$ divise $2 \times (3n + 15) - 3(2n + 8) = 6n + 30 - 6n - 24 = 6$

b) $d = 6$ si $2n + 8 \equiv 0$ (modulo 6) et $3n + 15 \equiv 0$ (modulo 6).
On dresse le tableau des différentes valeurs prises par $2n + 8$ et $3n + 15$ modulo 6.

$n$	0	1	2	3	4	5
$2n+8$	2	4	0	2	4	0
$3n+15$	3	0	3	0	3	0

Ainsi $d = 6$ si $n \equiv 5$ (modulo 6) soit $S = \lbrace 6k + 5 ~;~ k \in \mathbb{Z} \rbrace$

3ème exemple : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels différents de 0; $d$ est leur PGCD et $m$ leur PPCM.
Trouver l'ensemble des couples $(a~;~b)$ d'entiers naturels non nuls qui vérifient la relation : $2m + 5d = 123$ .

$d$ divise $m$ ; or $d$ divise $d$ , donc $d$ divise $2m + 5d = 123 = 3 \times 41$ avec 3 et 41 des nombres premiers.
Les différentes valeurs de d sont : 1, 3, 41 et 123.
On sait que $d \leq m$ , donc $2d + 5d \leq 2m + 5d$ , d'où $7d \leq 123$ , soit $d \leq 17$ . Les valeurs de 41 et 123 sont à éliminer.
On suppose $a \leq b$ .
Si $d = 1 : 2m + 5 \times 1 = 123$ soit $2m = 118$ soit $m = 59$
$\text{PGCD}(a~,~b) = 1$ et $\text{PPCM}(a~,~b) = 59$ soit $ab = 59$ (car $\text{PGCD}(a~,~b) \times \text{PPCM}(a~,~b) = a \times b$ ).
Par un raisonnement identique et en prenant pour $d = 3$ , on trouverait $a = 3$ et $b = 54$ et $a = 6$ et $b = 27$ .
Par symétrie si $a \geq b$ on a les couples suivants :
(1 ; 59) ; (59 ; 1) ; (3 ; 54) ; (54 ; 3) ; (6 ; 27) ; (27 ; 6).

2. Nombres premiers entre eux

$a$ et $b$ premiers entre eux (on dit aussi étrangers)
$\iff \dfrac{a}{b}$ est irréductible
$\iff \text{pgcd}(a~;~b) = 1$
$\iff$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ .

Application :
Soit $n \in \mathbb{N}$ . Démontrer que $2n + 3$ et $n + 1$ sont premiers entre eux.
On cherche deux entiers $u$ et $v$ tels que $u(2n + 3) + v(n + 1) = 1$ .
Pour les trouver, on essaye d'éliminer $n$ dans la relation $u(2n + 3) + v(n + 1)$ .
On prend $u = 1$ et $v = -2$ ; on a : $(2n+3) \times 1 + (n+1) \times (-2) = 2n+3-2n-2 = 1$
Conclusion : $2n+3$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

III. Les théorèmes de Bézout et de Gauss ; le petit théorème de Fermat

Théorème de Bézout

Soient a et b deux entiers non nuls.
Il existe deux entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a ; b).
(En particulier, si a et b sont premiers entre eux : au + bv = 1 ; c'est l'égalité de Bézout)

Théorème de Gauss

Soient a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

Petit théorème de Fermat

Soit $p$ un nombre premier.
Pour tout entier relatif $a$ non divisible par $p$ , on a : $a^{p-1} \equiv 1$ (modulo $p$ )

Corrolaire

Soit $p$ un nombre premier.
Pour tout entier relatif $a$ , on a : $a^p \equiv a$ (modulo $p$ )

1er exemple :
Soit $n \in \mathbb{N}$ .
a) Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $(6n+10)u + (2n+3)v = 1$ .
b) En déduire que $6n+10$ et $2n+3$ sont premiers entre eux.
c) Prouver que la fraction $\dfrac{3n+4}{5n+7}$ est irréductible.

a) On a $(6n+10)-3 \times (2n+3)=1$ , donc $u = 1 \text{ et } -3$ . Ces deux valeurs conviennent.
b) D'après la question précédente et en vertu du théorème de Bézout, on peut affirmer que $6n + 10$ et $2n + 3$ sont premiers entre eux.
c) Pour tout $n \in\mathbb{Z}$ , on a : $3(5n+7) - 5(3n+4) = 1$ . On a trouvé $u = 3$ et $v = -5$ tels que $(5 n + 7)u + (3n + 4)v = 1$ . D'après le théorème de Bézout, on peut affirmer que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$ , $5n+7$ et $3n+4$ sont premiers entre eux avec $5n+7 \neq 0$ .
On en conclut que la fraction est irréductible pour tout $n \in \mathbb{Z}$ .

2ème exemple :
On considère l'équation $3x^3 + x^2 + 4x - 4 = 0 \, \, (1)$
On suppose que la solution de cette équation est rationnelle et qu'elle appartient à ]0 ; 1[.
On peut donc l'écrire sous forme irréductible $x = \dfrac{p}{q} \text{ avec } p \in \mathbb{N}\backslash{0} \text{ et } q \in \mathbb{N}\backslash{0}$
Donner les différentes valeurs possibles pour la fraction $\dfrac{p}{q}$
$x = \dfrac{p}{q}$ est solution de (1) donc $3\left(\dfrac{p}{q}\right)^3 + \left(\dfrac{p}{q}\right)^2 + 4 \left(\dfrac{p}{q}\right) - 4 = 0$
Par multiplication par $q^3$ , on trouve : $3p^3 + p^2 q + 4pq^2 - 4q^3 = 0$ où $p \left(3p^2 + pq + 4q^2 \right) = 4q^3$ avec l'expression entre parenthèse qui appartient à $\mathbb{Z}$
$p$ divise $4q^3 = 4q^2 \times q$
Par hypothèse $\dfrac{p}{q}$ est irréductible donc $p$ est premier avec $q$ .
D'après le théorème de Gauss, $p$ divise $4q^2$ et en appliquant à nouveau ce théorème $p$ divise $4q$ puis que $p$ divise 4.
Par hypothèse $x = \dfrac{p}{q} < 1$ avec $q > 0$ et donc $p < q$ .
$p$ divise 4.
Donc $p = 1 ~,~2 \text{ ou } 4$ et $q$ divise 3, donc $q = 1 \text{ ou } q= 3$ . (En effet, on a également $q(p^2 + 4pq - 4q^2 = -3p^3$
On en déduit que les valeurs possibles de $\dfrac{p}{q}$ sont $\dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{3}$ ou $\dfrac{p}{q} = \dfrac{2}{3}$ .
Après vérification avec l'équation (1), seule la deuxième valeur trouvée est solution, soit $\dfrac{2}{3}$ .

3ème exemple : Quel est le reste de la division euclidienne de 13¹⁶ par 17
17 est un nombre premier et 17 ne divise pas 13. Par application du petit théorème de Fermat : $13^{17-1} \equiv 1 \, (17)$ soit $13^{16} \equiv 1 \, (17)$ .
$0 \leq 1 < 17$ , donc le reste de la division de 13¹⁶ par 17 est 1.

4ème exemple :
Soit $A = \left(3^{11} + 1\right) \left(3^{11} -1)$ .
Montrer que 23 est un diviseur de $A$ .
$A = \left(3^{11}\right)^2 - 1 = 3^{22} - 1 = 3^{23 - 1} - 1$ .
Le nombre 23 est premier et 23 n'est pas un diviseur de 3, donc par application du petit théorème de Fermat, $A$ est divisible par 23 et par suite 23 est un diviseur de $A$

IV. Numération

Les chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 permettent d'écrire les nombres dans le système décimal.
Tout nombre $N$ entier en base 10 s'écrit :
$N = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0$ où $0 \leq a_i \leq 9$ avec $a_i \in \mathbb{N} \text{ et } n \in \mathbb{N}$

Système de base b :
Tout nombre $N$ écrit en base $b$ s'écrit dans la base 10 :
$N = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0$ où $0 \leq a_i \leq b - 1$ avec $a_i \in \mathbb{N} \text{ et } n \in \mathbb{N}$
Pour $b > 10$ , on note $\alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma \, , \, \cdtos$ les chiffres après le chiffre 9.
Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.
On note $\overline{abc}^5$ par exemple le nombre $N$ en base 5 qui s'écrit : $a \times 5^2 + b \times 5 + c$ en base 10.

Exemple :
Déterminer les entiers naturels $a$ et $b$ tels que $\overline{a5b72}^8 = \overline{10bab}^{11}$
On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 :
$a \times 8^4 + 5 \times 8^3 + b \times 8^2 + 7 \times 8 + 2 = 11^4 + b \times 11^2 + a \times 11 + b$
Après calcul, on obtient : $4 085a - 58b = 12 023 \, (1)$
Sachant que $0 \leq a \leq 7 \text{ et } 0 \leq b \leq 7$ car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer $a$ et $b$ . (2)
De (1) on tire la valeur de $b = \dfrac{4085a - 12023}{58}$
D'après (2) on a l'encadrement de $b$ : $0 \leq \dfrac{4085 - 12023}{58} \leq 7$ qui, après résolution de ces inégalités donne $2,94 \leq a \leq 3,04$ .
On choisit donc $a = 3$ . La valeur de $b$ s'en déduit, soit $b = 4.$

Remarque : Pour trouver $a$ et $b$ , on aurait pu faire appel à la résolution de l'équation diophantienne (1). J'invite le lecteur à appliquer cette méthode qui est toutefois un peu plus longue.

Exercice ouvert qui comporte plusieurs solutions :
Un entier naturel $n$ étant donné, quel est le chiffre des unités de l'écriture décimale de $n^5 - n$ ?

On remarque, en effectuant plusieurs essais que $n^5 - n$ se termine par zéro. On va essayer de le démontrer.
On peut écrire $n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$ . Cette écriture appelle à deux remarques :
- le produit est pair car $n$ et $n + 1$ sont deux entiers consécutifs.
- de plus les naturels 2 et 5 sont premiers entre eux.
Donc pour démontrer que $n^5 - n$ est divisible par 10, on doit démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.
On va se servir de quatre méthodes différentes.

1ère Méthode : par récurrence
Pour $n = 0$ : vraie
Supposons que la relation soit vraie au rang $n$ , soit : $n^5 - n = 5k \, (k \in \mathbb{N})$
Démontrons qu'elle est vraie au rang $n + 1$ , soit $(n + 1)^5 - (n + 1)$ est un multiple de 5.
On a $(n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1$
$(n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 - n + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n) = 5k + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n)$ . Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang $n+1$ .
Le principe de récurrence permet de conclure.

2ème méthode : les congruences
On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de $n$ par 5.
Si $n \equiv 0 \, (5), \, \, n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 1 \, (5), \, \, n^5 \equiv 1 \, (5)$ donc $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 2 \, (5), \, \, n^5 \equiv 2 \, (5)$ donc $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 3 \, (5), \, \, n^5 \equiv 3 \, (5)$ donc $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 4 \, (5), \, \, n^5 \equiv 4 \, (5)$ donc $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
La conclusion est immédiate.

3ème méthode : factorisation de $n^5 - n$
$n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)$
Si $n \equiv 0 \, (5)$ alors $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 1 \, (5)$ alors $n - 1 \equiv 0 \, (5)$ alors $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 2 \text{ ou } n \equiv 3 \, (5)$ alors $n^2 + 1 \equiv 0 \, (5)$ alors $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n \equiv 4 \, (5)$ alors $n + 1 \equiv 0 \, (5)$ alors $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
La conclusion en découle.

4ème méthode : on utilise le petit théorème de Fermat
$n^5 - n = n(n^4 - 1)$
Si $n \equiv 0 \, (5)$ , on a $n^5 - n \equiv 0 \, (5)$
Si $n$ n'est pas congru à zéro (5) comme 5 est premier, $n$ est premier avec 5. D'après le petit théorème de Fermat : $n^{5-1} - 1$ est divisible par 5.
On a donc $n^5 - n \equiv 0 \, (\text{modulo } 5)$

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