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Expression du terme de rang n d'une suite récurrente

 Exercice

On considère la suite récurrente de premier terme et telle que, pour tout entier naturel n, .

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui, laquelle ?

Appeler l'examinateur pour une vérification de la particularité trouvée.

2. n étant donné, on peut calculer la valeur de si on connait la valeur de .
On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel non nul n, la valeur de sans pour autant connaître la valeur de . Pour cela il faudrait disposer d'une formule donnant en fonction de n.
    a) A l'aide des observations faites dans la première question, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel n, en fonction de n.

Appeler l'examinateur pour une vérification de la formule trouvée.
    b) Démontrer cette formule.

Production demandée :
- Le nuage de points attendus dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.
- La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

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