Fiche de mathématiques

Epreuve pratique de mathématiques du baccalauréat S

Expression du terme de rang n d'une suite récurrente

exercice

On considère la suite récurrente $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 0$ et telle que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1} = u_n + 2n - 11$ .

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui, laquelle ? Appeler l'examinateur pour une vérification de la particularité trouvée.

2. n étant donné, on peut calculer la valeur de $u_n$ si on connait la valeur de $u_{n-1}$ .
On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel non nul n, la valeur de $u_n$ sans pour autant connaître la valeur de $u_{n-1}$ . Pour cela il faudrait disposer d'une formule donnant $u_n$ en fonction de n.
a) A l'aide des observations faites dans la première question, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel n, $u_n$ en fonction de n. Appeler l'examinateur pour une vérification de la formule trouvée.
b) Démontrer cette formule.

Production demandée :
- Le nuage de points attendus dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.
- La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

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