Fiche de mathématiques

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Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0

Théorème 1 :

Solution générale de l'équation différentielle :
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $\boxed{f(x) = \text{A} \cos(\omega x) + \text{B}\sin(\omega x)}$ , où A et B sont deux constantes réelles quelconques.

Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous.

Théorème 2 :

Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel donné, admet une solution unique $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ , vérifiant les conditions initiales : $f(x_0) = \alpha$ et $f'(x_0) = \beta$ .

Exemples :
voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.

exercice 1

Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. $y'' + 9y = 0$
2. $25y'' = -\pi^2 y$

exercice 2

Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
$y'' = -4y$ avec $f(0)=\sqrt{3}$ et $f'(0)=2$ .

exercice 3.

Soit l'équation différentielle (E) : $4y'' + 9y = 0$ , où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Soit $f$ la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6} \, ; \, \sqrt{2}\right)$ , et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$ .
a) Donner les conditions initiales sur la fonction $f$ à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction $f$ .

3. Vérifier que, pour tout réel t, $f(t) = \sqrt{2} \cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$

résolution d'équations différentielles du second ordre - terminale : image 1

Correction

exercice 1

1. $y'' + 9y = 0$
Ici $\omega = 3$ , donc l'ensemble des solutions est donné par : $f(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x)$

2. $25 y'' = -\pi^2 y$
$\Longleftrightarrow \ 25y'' + \pi^2 y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \dfrac{\pi^2}{25} y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \dfrac{\pi^2}{5^2} y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \left(\dfrac{\pi}{5}\right)^2 y = 0$
Ici $\omega = \dfrac{\pi}{5}$ , donc l'ensemble des solutions est donné par : $f(x) = A\cos\left(\dfrac{\pi x}{5}\right) + B\sin\left(\dfrac{\pi x}{5}\right)$

exercice 2

$y'' = -4y \: \Longleftrightarrow \: y'' + 4y = 0$ donc $\omega = 2$ .
La solution générale est de la forme : $f(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)$ .
$f(0) = \sqrt{3} \: \Longleftrightarrow \: A \cos(2 \times 0) + B \sin(2 \times 0) = \sqrt{3} \: \Longleftrightarrow \: \boxed{A=\sqrt{3}} \\ f'(x)= -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) \\ f'(0)=2 \: \Longleftrightarrow \: -2A\sin(2 \times 0) + 2B\cos(2 \times 0) = 2 \: \Longleftrightarrow \: \boxed{B=1}$
Conclusion :
la fonction qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales est : $\boxed{f(x)=\sqrt{3} \cos(2x) + \sin(2x)}$ .

exercice 3.

1. $4y'' + 9y=0 \: \Longleftrightarrow \: y'' + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 y = 0$
Donc $\omega = \dfrac{3}{2}$
La solution générale de (E) est donc : $\boxed{f(t) = A\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + B\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)}$

2. a) La courbe passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6} \, ; \, \sqrt{2})$ donc $\boxed{f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}}$
La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$ donc $\boxed{f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0}$

2. b) $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2} \: \Longleftrightarrow \: A\cos\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}) + B\sin(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}$
$\hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: A\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + B\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{A+B=2} \\ f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \Longleftrightarrow \: f'(t) = -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{-A + B = 0}$
La résolution du système donne : $A = B = 1$
Conclusion : $\boxed{f(t) = \cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)}$

3. On utilise la formule d'addition trigonométrique suivante : $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
avec $a = \dfrac{3}{2}t$ et $b = \dfrac{\pi}{4}$ .
$\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right] \\ \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\cos(\dfrac{3}{2}t) \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right) \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \\ \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)$
Donc : $\boxed{f(t) = \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t-\dfrac{\pi}{4}\right) }$

Publié par jamo le 10-05-2018

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