Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0

Théorème 1 : Solution générale de l'équation différentielle
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ , où A et B sont deux constantes réelles quelconques.

Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous.

Théorème 2 : Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un réel donné, admet une solution unique f, définie sur $\text{[math]}$ , vérifiant les conditions initiales : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Exemples :
voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.

Exercice 1

Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$

Exercice 2

Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Exercice 3.

Soit l'équation différentielle (E) : $\text{[math]}$ , où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Soit f la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées $\text{[math]}$ , et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\text{[math]}$ .
a) Donner les conditions initiales sur la fonction f à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction f.