Fiche de mathématiques

Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0

Théorème 1 : Solution générale de l'équation différentielle

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $\boxed{f(x) = A \cos(\omega x) + B\sin(\omega x)}$ , où A et B sont deux constantes réelles quelconques.

Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous.

Théorème 2 :

Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel donné, admet une solution unique f, définie sur $\mathbb{R}$ , vérifiant les conditions initiales : $f(x_0) = \alpha$ et $f'(x_0) = \beta$ .

Exemples :
voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.

exercice 1

Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. $y'' + 9y = 0$
2. $25y'' = -\pi^2 y$

exercice 2

Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
$y'' = -4y$ avec $f(0)=\sqrt{3}$ et $f'(0)=2$ .

exercice 3.

Soit l'équation différentielle (E) : $4y'' + 9y = 0$ , où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Soit f la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées $\left(\frac{\pi}{6} \, ; \, \sqrt{2}\right)$ , et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\frac{\pi}{6}$ .
a) Donner les conditions initiales sur la fonction f à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction f.

3. Vérifier que, pour tout réel t, $f(t) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{3}{2}t - \frac{\pi}{4}\right)$
résolution d'équations différentielles du second ordre - terminale : image 1