Théorème 1 : Solution générale de l'équation différentielle L'ensemble des solutions de l'équation différentielle , où est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur par :
, où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Exemple : voir l'exercice 1 ci-dessous.
Théorème 2 : Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle , où est un réel donné, admet une solution unique f, définie sur , vérifiant les conditions initiales : et .
Exemples : voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.
Exercice 1
Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. 2.
Exercice 2
Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
avec et .
Exercice 3.
Soit l'équation différentielle (E) : , où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).
2. Soit f la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées , et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse .
a) Donner les conditions initiales sur la fonction f à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction f.
3. Vérifier que, pour tout réel t,