Théorème 1 : Solution générale de l'équation différentielle
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle

, où

est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur

par :
, où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous.
Théorème 2 :
Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle

, où

est un réel donné, admet
une solution unique f, définie sur

, vérifiant les conditions initiales :
 = \alpha)
et
 = \beta)
.
Exemples :
voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.
exercice 1
Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1.
2.
exercice 2
Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :

avec
=\sqrt{3})
et
=2)
.
exercice 3.
Soit l'équation différentielle (E) :

, où
y est une fonction de la variable
t et
y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).
2. Soit
f la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées
)
, et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse

.
a) Donner les conditions initiales sur la fonction
f à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction
f.
3. Vérifier que, pour tout réel
t,