F.A.Q.
Nouveautés
Top
Maths
>> terminale (exponentielle logarithme)
connectez vous
Télécharger (92 ko)
ImprimerPuissances d'un réel strictement positif
I. Puissance d'un réel strictement positif
Pour tout x > 0 et pour tout
Définition :
Soit 
On appelle ab le nombre réel défini par
On appelle ab le nombre réel défini par
Propriétés :
Pour tout réel a strictement positif et pour tous les réels b et c, on a :
^c = a^{b \times c}\\
a^b \times a^c = a^{b + c}\\
\frac{a^b}{a^c} = a^{b - c}\\
a^{-c} = \frac{1}{a^c})
Démonstration :
II-La fonction racine enieme
Théorème - Définition :
Soient n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.
L'équation xn = a admet une unique solution dans
appelée racine énième de a. Elle est notée 
Soient n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.
L'équation xn = a admet une unique solution dans
Démonstration :
Etudions sur
xn
f'(x) = n × xn-1
Sur l'intervalle considéré,
donc f est strictement croissante sur
D'autre part on a :
f(0) = 0n et
L'intervalle image est donc
Sur
Remarque :
1. Pour tout x appartenant à
2. xn = a avec a > 0 et x > 0
Propriétés :
Si a > 0, alors
Si a = 0, alors
Donc, pour tout
Définition :
On appelle fonction racine énième la fonction définie sur par  = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}})
Etude de la fonction :
On appelle fonction racine énième la fonction définie sur
Sur
Ici le problème mis en évidence vient de l'écriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x > 0, donc
Dérivée :
Sur
Donc f'(x) est strictement positive sur
Limite :
En 0+ :
En
Continuité en 0 :
On a :
Donc fn est continue en 0.
Dérivabilité en 0 :
La fonction n'est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.
On a donc :
l'île des mathématiques
haut de page
Forum
Encyclopédie
Annuaire
Jeux
Outils
NewsLetter
Voir aussi