Fiche de mathématiques

Restitution Organisée de Connaissances

ROC (Restitution Organisée de Connaissances)
Questions de cours au Baccalauréat S

Sommaire

I. Suites

01 - Suite croissante majorée

02 - Suites adjacentes

II. Fonctions

01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

03 - Equation différentielle du 1er ordre

04 - Comparaison d'intégrales

05 - Calcul de limite à l'infini

06 - Calcul de limite à l'infini

07 - Intégration par parties

08 - Propriété algébrique du logarithme

09 - Limites et théorème des gendarmes

10 - Equation différentielle du 1er ordre

11 - Formules de dérivation

12 - Intégration par parties

13 - Comparaison d'intégrales

14 - Calcul de limite à l'infini

15 - Calcul de limite à l'infini

III. Géométrie

01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace

02 - Equation cartésienne d'un plan dans l'espace

IV. Nombres complexes

01 - Argument d'un quotient de nombres complexes

02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes

03 - Module de produit et inverse de nombre complexes

04 - Expression complexe d'une rotation

05 - Arguments d'un quotient de nombres complexes

06 - Module et argument d'un quotient de nombre complexes

07 - Propriétés sur les nombres complexes

08 - Affixe du centre d'une similitude plane directe

09 - Expression complexe d'une rotation

10 - Expression complexe d'une rotation

V. Arithmétique

ROC - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gausse et de Bézout

ROC - Arithmétique - 02 - Congruences

ROC - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations

VI. Probabilités

01 - Evènements indépendants

02 - Loi exponentielle

exercice ROC - Suites - 01 - Suite croissante majorée

Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2005
La même question a aussi été posée dans le sujet de baccalauréat S, Liban, juin 2008

Prérequis : Définition d'une suite tendant vers $+\infty$
"Une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A."

Démontrer le théorème suivant :
Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

exercice ROC - Suites - 02 - Suites adjacentes

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2005

On suppose connus les résultats suivants :
(1) Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et $u_n-v_n$ tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$ ;
(2) Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes telles que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante, alors pour tout n appartenant à $\mathbb{N}$ , on a $u_n \le v_n$ ;
(3) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :
"Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite."

exercice ROC - Fonctions - 01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, mars 2005

On considère la fonction $f$ , définie sur $[1 ; +\infty[$ par : $f(t)= \displaystyle \frac{e^t}{t}.$
On admet que la fonction $f$ est continue et croissante sur $[1 ; +\infty[$ .
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel $x_0$ de $[1 ; +\infty[$ , on note $\mathcal{A}(x_0)$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_0$ .
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $[1 ; +\infty[$ est une primitive de $f$ .

a) Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ?
b) Soit $x_0$ un réel quelconque de $[1 ; +\infty[$ et $h$ un réel strictement positif.
Justifier l'encadrement suivant : $f(x_0) \le \displaystyle \frac{\mathcal{A}(x_0 + h) - \mathcal{A}(x_0)}{h} \le f(x_0 + h)$
c) Lorsque $x_0 > 1$ , quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_0 + h \ge 1$ ?
d) En déduire la dérivabilité en $x_0$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre dérivé en $x_0$ de la fonction $\mathcal{A}$ .
e) Conclure.
ROC baccalauréat S - terminale : image 1

ROC baccalauréat S - terminale : image 1

exercice ROC - Fonctions - 02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2006

Pré-requis :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et sa fonction dérivée est la fonction inverse $\left( x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x} \right)$ ;

$\ln(1) = 0$ .

1. Démontrer que pour tous réels strictement positifs $a$ et $x$ , $\ln(ax) = \ln(a) + \ln(x)$ .
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que :
$\ln \left( \displaystyle \frac{1}{b} \right) = - \ln (b)$ et que $\ln \left( \displaystyle \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$ pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ .
3. On donne $0,69 \le \ln 2 \le 0,70$ et $1,09 \le \ln 3 \le 1,10$ .
En déduire des encadrements de $\ln 6$ , $\ln \left( \displaystyle \frac{1}{6} \right)$ et $\ln \left(\displaystyle \frac{3}{8} \right)$ .

exercice ROC - Fonctions - 03 - Equation différentielle du 1er ordre

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, septembre 2006

Pré-requis :
$\lambda$ désigne un nombre réel de l'intervalle $]0;1]$ .
Les solutions de l'équation différentielle $y' = - \lambda y$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{- \lambda x}$ où $C$ est une constante réelle.

a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution $z$ de l'équation différentielle $(E_{\lambda}) \, : \, z' = -(\lambda z +1)$ telle que $z(0) = 1$ .
b) Donner l'expression de cette fonction que l'on notera $z_0$ .

exercice ROC - Fonctions - 04 - Comparaison d'intégrales

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2007

Pré-requis : Positivité et linéarité de l'intégrale.

Soient $a$ et $b$ deux réels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tels que $a \le b$ .
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$ , $f (x) \ge g (x)$ , alors $\displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x \ge \int_a^b g(x) \text{d}x$ .

exercice ROC - Fonctions - 05 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2007

On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+\infty$ , alors $\displaystyle \frac{e^t}{t}$ tend vers $+\infty$ .
Démontrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .

exercice ROC - Fonctions - 06 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2007

L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

On supposera connus les résultats suivants :

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa fonction dérivée ;

$e^0 = 1$ ;

Pour tout réel $x$ , on a $e^x > x$ ;

Soient deux fonctions $\phi$ et $\psi$ définies sur l'intervalle $[A ; +\infty[$ où $A$ est un réel positif.
Si pour tout $x$ de $[A ; +\infty[$ , $\psi(x) \le \phi(x)$ et si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \phi(x) = +\infty$ .

a) On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = e^x - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ .
Montrer que pour tout $x$ de $[0 ; +\infty[ \, , \, g(x) \ge 0$ .
b) En déduire que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

exercice ROC - Fonctions - 07 - Intégration par parties

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2007

Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a ; b]$ .

exercice ROC - Fonctions - 08 - Propriété algébrique du logarithme

Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, juin 2007

On suppose connue la propriété :
"Pour tout couple $(x ; y)$ de nombres réels strictement positifs, on a $\ln(xy) = \ln(x)+ \ln(y)$ ".
En déduire que, pour tout nombre réel $m$ strictement positif, on a $\ln \left( \sqrt{m} \right) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln(m)$ .

exercice ROC - Fonctions - 09 - Limites et théorème des gendarmes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2007

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a ; +\infty[$ . Compléter la phrase suivante :
"On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ si ... "
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » :
Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a ; +\infty[$ et $L$ un nombre réel.
Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \le f(x) \le h(x)$ , alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $L$ .

exercice ROC - Fonctions - 10 - Equation différentielle du 1er ordre

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2007

On suppose connu le résultat suivant :
La fonction $x \mapsto e^x$ est l'unique fonction $\phi$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\phi ' = \phi$ , et $\phi(0)=1$ .

Soit $a$ un réel donné.
a) Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{ax}$ est solution de l'équation $y'= ay$ .
b) Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$ . Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = g(x)e^{-ax}$ . Montrer que $h$ est une fonction constante.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y'= ay$ .

exercice ROC - Fonctions - 11 - Formules de dérivation

Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, septembre 2007

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
P : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'$ donnée sur $\mathbb{R}$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$ .
Q : Soit $u$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f = u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'$ donnée par $f' = nu^{n-1}$ .

exercice ROC - Fonctions - 12 - Intégration par parties

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, septembre 2007

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur $I$ telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$ .
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a ; b]$ de $I$ .

exercice ROC - Fonctions - 13 - Comparaison d'intégrales

Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2008

On supposera connus les résultats suivants :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a ; b]$ avec $a < b$ .

Si $u \ge 0$ sur $[a ; b]$ alors $\displaystyle \int_a^b u(x) \text{d}x \le 0$ .

Pour tous réels $\alpha$ et $\beta \, , \, \displaystyle \int_a^b \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right] \text{d}x = \alpha \int_a^b u(x) \text{d}x + \beta \int_a^b v(x) \text{d}x$ .

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ; b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a ; b]$ , $f(x) \le g(x)$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x \le \int_a^b g(x) \text{d}x$ .

exercice ROC - Fonctions - 14 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2008

On suppose connu le résultat suivant : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{e^x}{x} = + \infty$ .

Démontrer que : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x e^{-x} = 0$ .

exercice ROC - Fonctions - 15 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2008

Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{e^x}{x} = + \infty$ .

1. Démontrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{\ln x}{x} = 0$ .

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{\ln x}{x^n} = 0$ .

exercice ROC - Géométrie - 01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2006

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k})$ .
Soient $a \, , \, b \, , \, c$ et $d$ des réels tels que $(a;b;c) \neq (0;0;0)$ .
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax +by +cz +d = 0$ .
On considère le point $I$ de coordonnées $(x_I;y_I;z_I)$ et le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)$ .
Le but est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\displaystyle \frac{|a x_I + b y_I + c z_I|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$ .

1. Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .
Déterminer, en fonction de $a \, , \, b \, , \, c \, , \, x_I \, , \, y_I$ et $z_I$ , un système d'équations paramétriques de $\Delta$ .

2. On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ .
    a) Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{IH} = k \overrightarrow{n}$ .
    b) Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a \, , \, b \, , \, c \, , \, d \, , \, x_I \, , \, y_I$ et $z_I$ .
    c) En déduire que $IH = \displaystyle \frac{|a x_I + b y_I + c z_I|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$ .

exercice ROC - Géométrie - 02 - Equation cartésienne d'un plan dans l'espace

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2007

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k})$ .
Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\overrightarrow{n} \left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right)$ et un point $M_0 (x_0, y_0, z_0)$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 01 - Argument d'un quotient de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2006

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ .
On rappelle que pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe $z$ , on a : $|z| = || \overrightarrow{w} ||$ et $\arg(z) = \left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right)$ à $2\pi$ près.

Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : $\arg(z z') = \arg(z) + arg(z')$ .
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : $\arg \left( \displaystyle \frac{z}{z'} \right) = \arg(z) - \arg(z')$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2006

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
a) Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} |z| & r \\ \arg (z) & \theta \, \text{ à } 2\pi \text{ près} \\ \end{array} \right. \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} z = r( \cos \theta + \sin \theta ) \\ r > 0 \\ \end{array} \right.$
b) Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos(a + b) & \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \sin(a +b) & \sin a \cos + \sin b \cos a \\ \end{array} \right.$

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ et $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ à $2\pi$ près.

exercice ROC - Nombres complexes - 03 - Module de produit et inverse de nombre complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, obligatoire

Prérequis : le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, noté $|z|$ , vérifie $|z|^2 = z \bar{z}$ où $\bar{z}$ est le conjugué de $z$ .

Démontrer que :

Pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$ , $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\left| \displaystyle \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|}$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 04 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, spécialité

Prérequis : Définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d'affixe $a$ , alors l'image du point P d'affixe $p$ par la rotation de centre A et d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ est le point Q d'affixe $q$ telle que $q - a = \text{i}(p - a)$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 05 - Arguments d'un quotient de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, obligatoire

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : $\arg(z z') = \arg(z) + \arg(z')$ à $2k \pi$ près, avec $k$ entier relatif ;

Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : $\arg(z) = \left(\vec{u} ; \vec{w})$ à $2k \pi$ près, avec $k$ entier relatif.

a) Soient $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que : $\arg \left( \displaystyle \frac{z}{z'} \right) = \arg(z) - \arg(z')$ à $2k \pi$ près, avec $k$ entier relatif.
b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$ , $b$ , $c$ , on a : $\arg \left( \displaystyle \frac{c-a}{b-a} \right) = \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right)$ à $2k \pi$ près, avec $k$ entier relatif.

exercice ROC - Nombres complexes - 06 - Module et argument d'un quotient de nombre complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, Novembre 2006, obligatoire

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ .
On rappelle que : "Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe $z$ on a : $|z| = ||\overrightarrow{w}||$ et $\arg (z) = \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right)$ ".

Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives $m$ , $n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$ .
a) Démontrer que : $\arg \left( \displaystyle \frac{p-m}{n-m} \right) = \left( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP} \right)$ .
b) Interpréter géométriquement le nombre $\left|\displaystyle \frac{p-m}{n-m} \right|$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 07 - Propriétés sur les nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, obligatoire

1. Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z} = -z$ .

2. Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\bar{z} = z$ .

3. Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ , on a l'égalité : $z \bar{z} = |z|^2$ .

exercice ROC - Nombres complexes - 08 - Affixe du centre d'une similitude plane directe

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, spécialité

On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme $z' = az +b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres complexes avec $a \neq 1$ .

Déterminer en fonction de $a$ et de $b$ l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.

exercice ROC - Nombres complexes - 09 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, obligatoire

On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ trois points A, B et C.
Alors : $\left|\displaystyle \frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} \right| = \frac{CB}{CA}$ et $\arg \left(\displaystyle \frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} \right) = \left( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} \right) \, (2 \pi)$
2. Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel : $z = e^{\text{i} \theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et $\arg(z)= \theta + 2k \pi$ , où $k$ est un entier relatif.

Démonstration de cours : Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'$ tel que :
$z' - \omega = e^{\text{i} \alpha}(z - \omega)$

exercice ROC - Nombres complexes - 10 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, spécialité

On suppose connu le résultat suivant :
Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z' = az+b$ , où $a \in \mathbb{C}^{*}$ et $b \in \mathbb{C}$ .

Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

exercice ROC - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gausse et de Bézout

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, spécialité

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

exercice ROC - Arithmétique - 02 - Congruences

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2006, spécialité

Rappel :
Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a \equiv b \text{ mod } 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = b +7k$ .

a) Soient $a \, , \, b \, , \, c$ et $d$ des entiers relatifs.
Démontrer que : si $a \equiv b \text{ mod } 7$ et $c \equiv d \text{ mod } 7$ alors $ac \equiv bd \text{ mod } 7$ .

b) En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls, si $a \equiv b \text{ mod } 7$ alors pour tout entier naturel n, $a^n \equiv b^n \text{ mod } 7$ .

exercice ROC - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2008, spécialité

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

exercice ROC - Probabilités - 01 - Evènements indépendants

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2005

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et $\bar{B}$ sont indépendants.

exercice ROC - Probabilités - 02 - Loi exponentielle

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2008

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $t \ge 0$ , $P(X \le t) = \displaystyle \int_0^t \lambda e^{-\lambda x} \text{d}x$ .
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $R(t) = P(X > t)$ est appelée fonction de fiabilité.
a) Démontrer que pour tout $t \ge 0$ on a $R(t) = e^{-\lambda t}$ .
b) Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s \ge 0$ , la probabilité conditionnelle $P_{X>t} (X > t +s)$ ne dépend pas du nombre $t >0$ .

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