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Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole

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6 points

exercice 1

1. $M\text{ suit la loi normale }\mathcal{N}(250\;;5^2)$
Le fromage est refusé si sa masse est inférieure à 240 g. A la calculatrice, on trouve : $P(M<240)=0,023$
La probabilté qu'un fromage soit refusé est de 0,023.

2.a $X$ suit une loi binomiale de paramètres 150 et 0,02 soit $X=\mathcal{B}(150\;;0,2)$

b. La probabilité qu'il y ait au maximum 5 fromages de masse insuffisante est égale à : $p(X\le 5)=0,918$

c. $E(X)=150\times 0,02=3$ . Cela veut dire que sur un grand nombre d'échantillons de 150 fromages, le nombre moyen de fromages ayant une masse insuffisante est de 3.

3.a $p=18\%=0,18$ et $n=400$ . On remarque que les conditions sont remplies et on obtient pour intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% :$ l'intervalle $I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\;;p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$ ce qui donne $I=[0,142\;;0,218]$

3.b La proportion de personnes préférant le fromage sec est égale à : $p=\dfrac{55}{400}\approx 0,138$ qui n'appartient pas à $I$ .

La laiterie doit donc considérer, au risque d'erreur de $5\%$ que la préférence des consommateurs a changé.

4.a $T$ est une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ donc $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$

On nous dit que $E(T)=90$ donc $\lambda=\dfrac{1}{90}$

b. On cherche $t_0$ tel que $p(T\ge t_0)=0,93$

$p(T\ge t_0)=0,93\Leftrightarrow \text{e}^{-\lambda t_0}=0,93$

mais $\lambda = 90$ soit $-90 t_0=\ln 0,93$

$t_0=\dfrac{\ln 0,93}{-90}\approx 6,53$ heures.

Interprétation : pour $93\%$ des balances, la balance restera réglée correctement au moins 6,5 heures. 5 points

exercice 2

1.a Soit l'équation différentielle $(E) : y'+0,162y=20,3\text{ sur } [0\;;60]$

Les solutions de (E) sont les fonctions $f_k$ définies sur [0 ; 60] par $f_k(t)=k\text{e}^{-0,162t}+\dfrac{20,3}{0,162}$ avec $k$ dans R.

b. On cherche $k$ tel que $f_k(0)=21$ ce qui donne :

$k+\dfrac{20,3}{0,162}=21$ soit $k=-104,309$ (arrondi au millième)

et on obtient : $f(t)=-104,309\text{e}^{-0,162t}+125,309$

2.a Pour $t\in [0\;; 60], \; g(t)=125 -104\text{e}^{-0,16t}$

La fonction $g$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 60]

$g\,'(t)=-104\times (-0,16)\text{e}^{-0,16t}=16,64\text{e}^{-0,16t}$

Cette dérivée est toujours stritement positive.

b. $\begin{array} {|c|cccc|} \hline t&0& & 60 & \\ \hline {g'(t)} & & + & & \\ \hline {g} & _{21}& \nearrow & ^{g(60)}& \\ \hline \end{array}$
Remarque : $g(60)\approx 125$

3.

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a. Au bout de 9 minutes, la température sera d'enviton 100°
b. Il faudra attendre environ 19 minutes pour atteindre 120°. C'est au début de la 23^e minute que l'autoclave pourra être arrêté.

c. Soit à résoudre l'inéquation $125-104\text{e}^{-0,16t}>120$

$104\text{e}^{-0,16t}<5$

$\text{e}^{-0,16t}<\dfrac{5}{104}$

$-0,16t < \ln \dfrac{5}{104}$

$t>\dfrac{-1}{0,16}\times\ln \dfrac{5}{104}$

Or : $\dfrac{-1}{0,16}\times\ln \dfrac{5}{104}\approx 18,97$

On retrouve bien que c'est à partir de la 19^e minute que l'autoclave aura atteint 120° 4 points

exercice 3

1. $f(-1)=4$ car la courbe passe par le point de coorodnnées (-1;4)
$f\,'(-1)=-1$ car la tangente admet pour coefficient directeur -1.

2. La fonction g ne prend que des valeurs positives entre 1 et 4.

L'aire du domaine considéré est donc : $\mathcal{A}=\displaystyle{\int_0^4g(x)\text{d}x=\int_0^4 \dfrac{1}{x}+x+1\,\text{d}x=\left[\ln x+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_1^4=(\ln 4+8+4)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=\dfrac{21}{2}+\ln 4\text{ u.a}$

3. $H\,'=h$ donc $C_2$ est la courbe repésentative de $h$ (prend des valeurs négatives entre 0 et 1, et des valeurs positives au-delà)

La courbe représentative de $H$ est $C_1$ , décroissante entre 0 et 1, puis croissante au-delà. 5 points

exercice 4

1.a $d_0=10$ donc $d_1=10+6\%\times 10=10,6$

b. Pour tout $n\text{ de }\textbf{ N,}d_{n+1}=d_n+0,06d_n=1,06d_n$

$(d_n)$ est donc la suite géométrique de premier terme $d_0=10$ et de raison 1,06

$d_n=(1,06)^n\times d_0=10\,(1,06)^n$

c. La distance qu'Alice pourra courir en septembre correspond à $d_8$ .

$d_8=10\,(1,06)^8=15,9$ soit 15,9 km (arrondi au dixième)

d. On cherche n tel que $10\,(1,06)^n>25$ soit $(1,06)^n>2,5$ ou encore $n>\dfrac{\ln 2,5}{\ln 1,06}$

Or $\dfrac{\ln 2,5}{\ln 1,06}\approx 15,7$ . C'est donc à partir du 16^e mois après janvier 2015 qu'Alice pourra courir cette distance de 25 km.

2.a Alice cherche à savoir au bout de combien de mois elle mettra moins de 50 minutes pour courir les 10 premiers kilomètres.

b. $\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline N & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & 18& & 9 & & 10 & \\ \hline {t} &60 & & 58,80 & & 57,62 & & 56,47& & 55,34 & & 54,24 & & 53,15 & & 52,09& & 51,05& & 50,02 & & 49,02& \\ \hline \end{array}$

c. En sortie d'algorithme, les valeurs affichées sont $N=10$ et $t=49,02$

Alice en déduit que c'est au 10^e mois après septembre 2015 qu'elle courra les 10 premiers kilomètres en moins de 50 minutes. (ce qui correspond au mois de juillet 2016).

d. Novembre 2016 correspond à $n=14$ . Elle saura courir les dix premiers kilomètres en $60\times (0,98)^{14}=45,219$ minutes

Mais elle va courir à $82\%$ de sa vitesse, ce qui donne un temps de $\dfrac{45,219}{0,82}=55,14$ minutes pour 10 km

Pour 21 km, elle metta donc : $55,14\times 2,1=115,80$ minutes (temps inférieur à 120 minutes).

Alice peut donc espérer se qualifier.

Publié par malou le 10-05-2018

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