Fiche de mathématiques

Bac 2004

Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2004

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Soit $u$ la suite définie par : $\left \lbrace \begin{array}{l} u_0 = 0 \\ \text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1} = \dfrac{1}{2-u_n} \end{array} \right.$
    a) Calculer $u_1, \, u_2$ et $u_3$ . On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une fraction irréductible.
    b) Comparer les quatre premiers termes de la suite $u$ aux quatre premiers termes de la suite $w$ définie sur $\mathbb{N}$ par $w_n = \dfrac{n}{n+1}$ .
    c) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = w_n$ .

2. Soit $v$ la suite de terme général $v_n$ défini par $v_n = \ln $ \dfrac{n}{n+1} $$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.
    a) Montrer que $v_1 + v_2 + v_3 = -\ln4$
    b) Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $S_n = v_1 + v_2 + ... + v_n$ .
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U₁, U_{2 et}U₃ contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Il y a trois boules noires dans l'urne U₁, deux boules noires dans l'urne U₂ et une boule noire dans l'urne U₃, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.
Les boules sont indiscernables au toucher.

Une partie se déroule de la façon suivante :
le joueur lance le dé,

s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U₁, note sa couleur et la remet dans l'urne U₁;

s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U₂, note sa couleur et la remet dans l'urne U₂;

si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U₃, note sa couleur et la remet dans l'urne U₃.

On désigne par A, B, C et N les évènements suivants :
A : "le dé amène le numéro 1."
B : "le dé amène un multiple de trois."
C : "le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de trois."
N : "la boule tirée est noire."

1. Le joueur joue une partie.
    a) Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale à $\dfrac{5}{3k}$ .
    b) Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.
    c) Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\dfrac{1}{2}$ .
    d) Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à $\dfrac{1}{30}$ .

2. Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\dfrac{1}{30}$ .
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10^-3, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire.

8 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = (x^2+x+1)e^{-x} - 1$ .

1. a) Déterminer les limites de $\varphi$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
b) Etudier le sens de variations de $\varphi$ puis dresser son tableau de variations sur $\mathbb{R}$ .

2. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$ , dont l'une dans l'intervalle $[1;+\infty[$ , qui sera notée $\alpha$ .
Déterminer un encadrement d'amplitude 10^-2 de $\alpha$ .

3. En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\mathbb{R}$ et le présenter dans un tableau.

Partie B : Etude de la position relative de deux courbes et calcul d'aire

Ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ . Bac scientifique Pondichéry Avril 2004 - terminale : image 1

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (2x + 1)e^{-x}$ et $g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$ .
Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$ sont notées $C_f$ et $C_g$ .

1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

2. a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x)-g(x) = \dfrac{(2x+1)\varphi(x)}{x^2+x+1}$ où $\varphi$ est la fonction étudiée dans la partie A.
    b) A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
    c) En déduire la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ .

3. a) Montrer que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(-2x-3)e^{-x}-\ln(x^2+x+1)$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto f(x)-g(x)$ .
    b) En déduire l'aire $A$ , exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les deux courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équations $x = -\dfrac{1}{2}$ et $x = 0$ .
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10^-4 de cette aire.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$ .
Les solutions seront notées $z'$ et $z''$ , $z'$ désigant la solution dont la partie imaginaire est positive.
Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2. Donner la valeur exacte de $(z')^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

Parie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthogonal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ ; (unité graphique: 2 cm). 1. Montrer que les points A d'affixe $1+i\sqrt{3}$ et B d'affixe $1-i\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2. On note O' l'image du point O par la rotation $r_1$ de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et B' l'image du point B par la rotation $r_2$ de centre A et d'angle $+\dfrac{\pi}{2}$ .
Calculer les affixes des points O' et B' et construire ces points.

3. Soit I le milieu du segment [OB].
    a) Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO'B'?
    b) Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AI}$ .
Montrer que l'affixe du vecteur $\overrightarrow{O'B'}$ est égale à $3\sqrt{3}-i$ .
    c) La conjecture émise à la question a) est-elle vraie ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).

1. Dans cette question, on se place dans le plan $P_0$ d'équation $x = 0$ rapporté au repère $(0;\vec{j},\vec{k})$ .
On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A.
Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ .

2. On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle $\mathcal{C}$ autour de l'axe $(Oz)$ et $\Gamma$ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l'axe $(Oz)$ .
    a) Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équation $x^2+y^2=z^2$ .
    b) Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$ .
Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.
    c) Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace.

3. On coupe le cône $\Gamma$ par le plan $P_1$ d'équation $x = 1$ .
Dans $P_1$ , l'une des trois figures ci dessous représente cette intersection.
Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

4. Soit $\text{M}(x~;~y~;~z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément impairs. Bac scientifique Pondichéry Avril 2004 - terminale : image 2

Bac scientifique Pondichéry Avril 2004 - terminale : image 2

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