Fiche de mathématiques

Bac 2004

Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2004

7 points

exercice

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + a + b\text{e}^{-x}$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
On rappelle que $\text{e}^{-x}$ peut aussi s'écrire $\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$ .
La courbe $\mathcal{C}$ , sur la feuille annexe à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .

1. Pour tout nombre réel $x$ , determiner $f'(x)$ .

2. Déterminer graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.

3. En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels $a$ et $b$ .
Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels $a$ et $b$ .
On choisit pour la suite de l'exercice $f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}$ .

4. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

5. Montrer que la droite D d'équation $y = x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$ .

6. On nomme A le point d'abscisse -1 de la courbe $\mathcal{C}$ .
Déterminer une équation dc la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

7. Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe que l'on joindra à la copie. bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 1

bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 1

13 points

probleme

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par : $f(x) = x^2\left(2\ln x - 3\right)$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormat $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[,~f'(x) = 4x(\ln x - 1)$ .

3. Résoudre dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ , l'inéquation $\ln x - 1> 0$ .
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ .

4. Déterminer les valeurs exactes de $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~ f(1),~ f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f(\text{e})$ .

5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
On portera les valeurs de $f(\text{e})$ et $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et leur valeurs arrondies à 10^-2 près.

6. On nomme A le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.

7. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe $\mathcal{C}$ .

8. Soit $m$ un nombre réel.
Déterminer graphiquement selon la valeur de $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

Partie B

1. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par $F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3$ .
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$ .

2. Calculer l'intégrale $\text{I} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ .
En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à 10^-2.

Cette fiche

Télécharger (63 ko)
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 92 726 topics de mathématiques en terminale sur le forum.