Fiche de mathématiques

Bac 2004

Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

7 points

exercice 1

Dans tout l'exercice, on arrondira les prix au centime d'euro.

A compter du 1^er janvier 2004, un restaurateur décide d'augmenter tous les ans au 1^er janvier les prix de sa carte de 3 %.

1. a) Quel est le prix, sur la carte 2004 d'un plat qui coûtait 9,50 € en 2003 ?
    b) Quel était le prix en 2003 d'un dessert qui cûte 6,90 € en 2004 ?

2. La carte du restaurateur proposait en 2003 une "Formule Midi" à 7,50 €s. On note $P_n$ le prix, en euro, de la "Formule Midi" au 1^er janvier de l'année (2003 $+n)$ . (Ainsi $P_0=7,50$ pour 2003; $P_1$ pour 2004, etc ...)
    a) Calculer $P_1$ et $P_2$ .
    b) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ . Quelle est la nature de cette suite ? Quelle est sa raison ?
    c) En déduire $P_n$ en fonction de $n$ .
    d) Combien coûtera la "Formule Midi" en 2010 ?
    e) A partir de quelle année le prix de la "Formule Midi" dépassera-t-il 10 €?

13 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'une étude effectuée sur une semaine par un restaurateur en vue de connaître le coût moyen de production d'un repas en fonction du nombre de couverts servis.

Dans ce tableau, $x_i$ désigne le nombre de couverts servis, et $y_i$ désigne le coût moyen d'un repas en euro pour le $i$ ème jour de la semaine. (Par exemple : le deuxième jour de la semaine, pour un service de 15 couverts, chaque repas a coûté en moyenne 8,90 €).

$x_i$	4	15	25	35	45	50
$y_i$	19,30	8,90	6,50	6,40	7,20	8,10

Partie A

1. Représenter sur du papier millimétré le nuage de points $(x_i;y_i)$ . On prendra :

en abscisses : 1 cm pour 5 repas,

en ordonnées : 1 cm pour 2 €.

2. Calculer les coordonnées de $G$ , le point moyen du nuage et placer $G$ sur le graphique.

3. Le restaurateur décide d'effectuer un ajustement affine du nuage par la droite $D$ d'équation : $y=-0,2x+15,2$ .
    a) Tracer $D$ sur le graphique.
    b) La droite $D$ passe-t-elle par $G$ ? (On justifiera la réponse par un calcul).
    c) Que pensez-vous de cet ajustement ? (Expliquer).

Partie B

On se propose dans cette partie d'effectuer un ajustement plus précis du nuage par la fonction $f$ , définie sur [4 ; 50] par : $f(x)=0,4x+35-12\ln x$
(Les valeurs trouvées par calcul seront arrondies au centième près).

1. Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que $f'(x)=\dfrac{0,4x-12}{x}$

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur [4 ; 50] et dresser le tableau de variations de $f$ .

3. Compléter le tableau suivant :

$x$	4	10	20	30	40	50
$f(x)$			7,05

4. Représenter la fonction $f$ dans le même repère que le nuage de points.

5. On considère que $f$ réalise un bon ajustement du nuage de points.
a) Selon cet ajustement, pour quel nombre de couverts le coût moyen d'un repas est-il minimum ?
Quel est ce coût minimum ?
b) En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement pour quels nombres de couverts le coût moyen d'un repas est inférieur à 7 €. (On fera figurer les traits de construction de la réponse sur le graphique).

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