4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice constitue une restituion organisée de connaissances.

Partie A : question de cours

On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et u_n - v_n tend vers 0 quand n tend vers +;
(2) si (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes telles que (u_n) est croissante et (v_n) est décroissante, alors pour tout n appartenant à , on a ;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :
" Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite".

Partie B

On considère une suite (u_n) définie sur dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite (v_n) sur par .
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Si (u_n) est convergente, alors (v_n) est convergente.
2. Si (u_n) est minorée par 2, alors (v_n) est minorée par -1.
3. Si (u_n) est décroissante, alors (v_n) est croissante.
4. Si (u_n) est divergente, alors (v_n) converge vers zéro. 5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.

Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument . On note k, l, m, n et p les affixes respectives des points K, L, M, N et P.

1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle , on a

2. Etablir les relations suivantes : l = im et p = -im + 1 + i.
On admettra que l'on a également n = (1 - i)m + i et k = (1 + i)m.

3. a) Démontrer que le milieu du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle .
    b) Démontrer que le point appartient au cercle et préciser sa position sur ce cercle.

4. a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.
    b) Quelle est la nature du triangle ?

5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon. 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie.

On munit le plan d'un repère orthonormal direct .
Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droites étant respectivement les points R, S, T et U).

Partie A

On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
   a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude f.
   b) On désigne par l'affixe du point R. Démontrer que , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument (on pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude ).
On admettra que l'on a également les résultats , où s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.
2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.
3. a) Démontre l'égalité u - s = i(t - r).
    anbsp; b) Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d'une part, et pour les droites (RT) et (SU), d'autre part ?

Partie B

Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
1. Démontrer, en utlisant les résultats établis dans la partie A, qu'il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.
2. Décrire comment construire géométriquement le point , centre de la rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de l'annexe.


annexe exercice 2

exercice 3 - Commun à tous les candidats (5 poins)

Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10^-3 près.
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes choisies.
   a) Déterminer la loi de probabilité de X.
   b) Calculer l'espérance mathématiques de X.

2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C₁ : "L'enfant choisit la boîte cubique",
C₂ : "L'enfant choisit la boîte cylindrique",
R : "L'enfant prend une bille rouge",
V : "L'enfant prend une bille verte".
    a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
    b) Calculer la probabilité de l'événement R.
    c) Sacahnt que l'enfant a choisi une bilel rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?

3. L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
    a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p_n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
    b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p_n 0,99. 6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction définie sur par .
a) Démontrer que .
b) Etudier les limites de la fonction en + et en -.
c) Etudier les variations de la fonction .

Partie B

1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0; +[ dans . La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0; +[, de l'équation différentielle (E₁) .
   a) Résoudre l'équation différentielle (E₁).
   b) Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire g(0) = 1.
   c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
   a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0; +[, la fonction h définie par . Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E₂) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions

où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
   b) Donner les solutions de l'équation dofférentielle et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
   c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorque t tend vers + ?