Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Métropole - Session Juin 2005

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

1. Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
On considère $P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4$ où $z$ est un nombre complexe.
    a) Calculer $P(2)$ .
    b) Déterminer les nombres réels $a, b \text{ et } c$ tels que $P(z) = (z - 2)(az^2 + bz + c)$ .
    c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $P(z) = 0$ .

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ d'unité 5 cm.
    a) Placer les points A, B et C d'affixes respectives z_A = 2, z_B = 1 + i, z_C = 1 - i.
    b) Déterminer le module et un argument de z_A, z_B et z_C.
    c) Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
    d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
    e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.

4 points

exercice 2

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{e^{2x}}$ .
    a) Montrer que la fonction dérivée $f'$ est telle que $f'(x) = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}}$ .
    b) Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ , puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
    c) Dresser le tableau de variation de $f$ (les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ ne sont pas demandées).

2. On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 6x + 1$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée.
    a) Résoudre l'équation différentielle $y' + 2y = 0$ .
    b) Démontrer que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 3x - 1$ est solution de l'équation (E).
    c) Vérifier que la fonction $f$ est solution de (E) et que $f(0) = 0$ .

11 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ la représentation graphique $\Gamma$ d'une fonction $g$ , définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $]0; +\infty$ [[/tex].
La droite $T$ passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbe $\Gamma$ .
La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2005 : image 1

1. Déterminer graphiquement :
    a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)$
    b) $g(1)$
    c) $g'(1)$

2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle $]0; + \infty[$ , $g(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2}$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a) Exprimer $g(1)$ et $g'(1)$ en fonction de $a$ et $b$ .
    b) Déterminer $a$ et $b$ en utilisant les résultats précédents.

3. On suppose que $g$ est définie sur $]0; + \infty[$ par $g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}$
    a) Montrer que l'équation g $(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,2; 0,8]; déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près par excès.
    b) En déduire, en utilisant le sens de variation de $g$ , le signe $g(x)$ sur $]0; +\infty[$ .

Partie B : Etude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
    b) Vérifier que l'on peut écrire, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$ , $f(x) = \dfrac{e^x}{x}(x \ln x + 1)$
    c) En déduire la limite de $f$ en 0 (on admettra que $\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x = 0$ ).

2. a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$ , $f'(x) = g(x)e^x$ .
    b) En utilisant le signe de $g$ obtenu précédemment, étudier le sens de la variation de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .

3. a) Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
    b) Sur la feuille annexe jointe, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$ . Sur cette figure, tracer la droite $\Delta$ .

Partie C : Calcul d'une aire

1. On note a un nombre réel tel que 0 < a < 1.
    a) Montrer que la fonction $h$ , définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $h(x) = e^x \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $] 0 ; +\infty[$ .
    b) En déduire que $\displaystyle \int_a^1 f(x) dx = -e^a \ln a$ .

2. $\mathcal{D}$ désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac12$ et $x = 1$ .
    a) Sur la feuille annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$ .
    b) Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de $\mathcal{D}$ .