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Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
5 points exercice 1
1. Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument

.
On considère
 = z^3 - 4z^2 + 6z - 4)
où

est un nombre complexe.
a) Calculer
)
.
b) Déterminer les nombres réels

tels que
 = (z - 2)(az^2 + bz + c))
.
c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes

l'équation
 = 0)
.
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct
)
d'unité 5 cm.
a) Placer les points A, B et C d'affixes respectives z
A = 2, z
B = 1 + i, z
C = 1 - i.
b) Déterminer le module et un argument de z
A, z
B et z
C.
c) Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.
4 points exercice 2
1. On considère la fonction

définie sur l'ensemble

des nombres réels par
 = 3x - 1 + \dfrac{1}{e^{2x}})
.
a) Montrer que la fonction dérivée

est telle que
 = \dfrac{3e^{2x} - 2}{e^{2x}})
.
b) Résoudre l'équation
 = 0)
, puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
c) Dresser le tableau de variation de

(les limites en

et en

ne sont pas demandées).
2. On considère l'équation différentielle (E) :

où

est une fonction de la variable réelle

et

sa dérivée.
a) Résoudre l'équation différentielle

.
b) Démontrer que la fonction

définie sur

par
 = 3x - 1)
est solution de l'équation (E).
c) Vérifier que la fonction

est solution de (E) et que
 = 0)
.
11 points probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal
)
la représentation graphique

d'une fonction

, définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle
![]0; +\infty](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0; +\infty)
[[/tex].
La droite

passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbe

.
La courbe

admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.
1. Déterminer graphiquement :
a)
b)
c)
2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle
![]0; + \infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0; + \infty[)
,
 = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2})
, où

et

sont deux nombres réels.
a) Exprimer
)
et
)
en fonction de

et

.
b) Déterminer

et

en utilisant les résultats précédents.
3. On suppose que

est définie sur
![]0; + \infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0; + \infty[)
par
a) Montrer que l'équation g
 = 0)
admet une solution unique

dans l'intervalle [0,2; 0,8]; déterminer un encadrement de

d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de

à 10
-2 près par excès.
b) En déduire, en utilisant le sens de variation de

, le signe
)
sur
![]0; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0; +\infty[)
.
Partie B : Etude d'une fonction
Soit

la fonction définie sur
![]0 ; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0 ; +\infty[)
par
 = e^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right))
.
On note

la courbe représentative de la fonction

dans le plan muni d'un repère orthonormal
)
.
1. a) Déterminer la limite de

en

.
b) Vérifier que l'on peut écrire, pour tout

appartenant à l'intervalle
![]0 ; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0 ; +\infty[)
,
c) En déduire la limite de

en 0 (on admettra que

).
2. a) Déterminer la fonction dérivée

de la fonction

et vérifier que, pour tout réel

de l'intervalle
![]0; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0; +\infty[)
,
 = g(x)e^x)
.
b) En utilisant le signe de

obtenu précédemment, étudier le sens de la variation de

sur
![]0 ; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0 ; +\infty[)
.
3. a) Déterminer une équation de la tangente

à la courbe

au point d'abscisse 1.
b) Sur la feuille annexe jointe, on a représenté la courbe

. Sur cette figure, tracer la droite

.
Partie C : Calcul d'une aire
1. On note a un nombre réel tel que 0 < a < 1.
a) Montrer que la fonction

, définie sur l'intervalle
![]0 ; + \infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?]0 ; + \infty[)
par
 = e^x \ln x)
est une primitive de la fonction

sur
![] 0 ; +\infty[](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?] 0 ; +\infty[)
.
b) En déduire que
 dx = -e^a \ln a)
.
2. 
désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe

et les droites d'équations

et

.
a) Sur la feuille annexe, hachurer le domaine

.
b) Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de

.
Annexe