L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
Exercice 1 (5 points)
Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe . On pose :
, où désigne le nombre complexe conjugué de z1,
.
1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3.
2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2 et z3.
3. a) Montrer que .
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z4.
c) Quelle est la forme algébrique de z4 ?
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z1, z2, z3 et z4.
a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
c) Calculer les distances AC et BD.
d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Exercice 2 (4 points)
1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.
2. Déterminer la solution de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
3. a) Montrer que, pour tout nombre réel , on peut écrire : .
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation .
4. Calculer la valeur moyenne m de sur l'intervalle .
Problème (11 points)
Soit la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
1. Comportement de en -.
a) Déterminer la limite de en -.
b) Démontrer que la droite d'équation y = - 2 est une asymptote oblique à la courbe .
c) Etudier les positions relatives de la courbe et de la droite .
2. Comportement de en +.
a) Montrer que, pour tout nombre réel différent de 0, on peut écrire : b) En déduire la limite de en +.
3. Etude des variations de :
a) Déterminer la fonction dérivée de et vérifier que l'on a pour tout nombre réel , b) Etudier le signe de , lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction .
4. Tracer la droite et la courbe dans le repère .
5. Calcul d'une aire.
Soit un nombre réel strictement négatif.
a) Hachurer la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et = 0.
b) Calculer, en fonction de et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie , que l'on notera A().
c) Déterminer la limite de A() quand tend vers -. Interpréter le résultat obtenu.