L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique 2005
Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option B : Systèmes Motorisés, Option C : Structures Métalliques, Option D : Bois et Matériaux Associés, Option E : Matériaux Souples - Génie des Matériaux)

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures

 Exercice 1 (5 points)

Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe . On pose :
, où désigne le nombre complexe conjugué de z₁,
.

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z₁, z₂ et z₃.

2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z₂ et z₃.

3. a) Montrer que .
    b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z₄.
    c) Quelle est la forme algébrique de z₄ ?

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z₁, z₂, z₃ et z₄.
    a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
    b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
    c) Calculer les distances AC et BD.
    d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

 Exercice 2 (4 points)

1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.

2. Déterminer la solution de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :

3. a) Montrer que, pour tout nombre réel , on peut écrire : .
    b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation .

4. Calculer la valeur moyenne m de sur l'intervalle .

 Problème (11 points)

Soit la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).

1. Comportement de en -.
    a) Déterminer la limite de en -.
    b) Démontrer que la droite d'équation y = - 2 est une asymptote oblique à la courbe .
    c) Etudier les positions relatives de la courbe et de la droite .

2. Comportement de en +.
    a) Montrer que, pour tout nombre réel différent de 0, on peut écrire :
    b) En déduire la limite de en +.

3. Etude des variations de :
    a) Déterminer la fonction dérivée de et vérifier que l'on a pour tout nombre réel ,
    b) Etudier le signe de , lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction .

4. Tracer la droite et la courbe dans le repère .

5. Calcul d'une aire.
Soit un nombre réel strictement négatif.
    a) Hachurer la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et = 0.
    b) Calculer, en fonction de et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie , que l'on notera A().
    c) Déterminer la limite de A() quand tend vers -. Interpréter le résultat obtenu.

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