L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
5 points exercice 1
Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe
)
. On pose :

, où

désigne le nombre complexe conjugué de z
1,

.
1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z
1, z
2 et z
3.
2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z
2 et z
3.
3. a) Montrer que

.
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z
4.
c) Quelle est la forme algébrique de z
4 ?
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal
)
(Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z
1, z
2, z
3 et z
4.
a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
c) Calculer les distances AC et BD.
d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
4 points exercice 2
1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.
2. Déterminer la solution

de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
3. a) Montrer que, pour tout nombre réel

, on peut écrire :
 = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right))
.
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation
 = -\sqrt{2})
.
4. Calculer la valeur moyenne m de

sur l'intervalle
![[0; \pi]](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?[0; \pi])
.
Problème (11 points)
Soit

la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par :
 = \frac12 exp^{2x} + exp^x - 2x)
.
On note

sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal
)
(Unité graphique : 2 cm).
1. Comportement de

en -

.
a) Déterminer la limite de

en -

.
b) Démontrer que la droite

d'équation y = - 2

est une asymptote oblique à la courbe

.
c) Etudier les positions relatives de la courbe

et de la droite

.
2. Comportement de

en +

.
a) Montrer que, pour tout nombre réel

différent de 0, on peut écrire :
b) En déduire la limite de

en +

.
3. Etude des variations de

:
a) Déterminer la fonction dérivée

de

et vérifier que l'on a pour tout nombre réel

,
b) Etudier le signe de
)
, lorsque

décrit l'ensemble des nombres réels.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction

.
4. Tracer la droite

et la courbe

dans le repère
)
.
5. Calcul d'une aire.
Soit

un nombre réel strictement négatif.
a) Hachurer la partie

du plan limitée par la courbe

, la droite

et les droites d'équations respectives

et

= 0.
b) Calculer, en fonction de

et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie

, que l'on notera A(

).
c) Déterminer la limite de A(

) quand

tend vers -

. Interpréter le résultat obtenu.