Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Technologique 2005
Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option B : Systèmes Motorisés, Option C : Structures Métalliques, Option D : Bois et Matériaux Associés, Option E : Matériaux Souples - Génie des Matériaux)

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexe $z_1 = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \hspace{1pt} \sin \frac{\pi}{6}\right)$ . On pose :
$z_2 = \bar{z_1}$ , où $\bar{z_1}$ désigne le nombre complexe conjugué de z₁,
$z_3 = -z_1\\ z_4 = z_1 exp^{\frac{2i\pi}{3}}$ .

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z₁, z₂ et z₃.

2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z₂ et z₃.

3. a) Montrer que $z_4 = 3exp^{\frac{5i\pi}{6}}$ .
    b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z₄.
    c) Quelle est la forme algébrique de z₄ ?

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives et z₁, z₂, z₃ et z₄.
    a) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
    b) Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
    c) Calculer les distances AC et BD.
    d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 4 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle : 9y'' + y = 0.

2. Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(0) & \sqrt{3} \\ f'(0) & -\frac13 \\ \end{array} \right.$

3. a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , on peut écrire : $f(x) = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$ .
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x) = -\sqrt{2}$ .

4. Calculer la valeur moyenne m de $f$ sur l'intervalle $[0; \pi]$ .

Problème (11 points)

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : $f(x) = \frac12 exp^{2x} + exp^x - 2x$ .
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ (Unité graphique : 2 cm).

1. Comportement de $f$ en - $\small \infty$ .
    a) Déterminer la limite de $f$ en - $\infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation y = - 2 $x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ .
    c) Etudier les positions relatives de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\Delta$ .

2. Comportement de $f$ en + $\infty$ .
    a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ différent de 0, on peut écrire : $\large f(x) = x\left(\frac{exp^{2x}}{2x} + \frac{exp^x}{x} - 2\right)$
    b) En déduire la limite de $f$ en + $\infty$ .

3. Etude des variations de $f$ :
    a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que l'on a pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = \left(exp^x + 2\right)\left(exp^x - 1\right)$
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ , lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

5. Calcul d'une aire.
Soit $\alpha$ un nombre réel strictement négatif.
    a) Hachurer la partie $\mathscr{H}$ du plan limitée par la courbe $\mathscr{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x$ = 0.
    b) Calculer, en fonction de $\alpha$ et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie $\mathscr{H}$ , que l'on notera A( $\alpha$ ).
    c) Déterminer la limite de A( $\alpha$ ) quand $\alpha$ tend vers - $\infty$ . Interpréter le résultat obtenu.

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