Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Technologique 2005 - Sciences et Technologies Industrielles - Arts appliqués

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice 1

Lors d'un concours de karaoké, le public, composé de 450 jeunes, dont 150 garçons, a voté pour l'un des trois finalistes, Hatxi, Elodie et Machyl.
Les voix sont réparties de la façon suivante :

45 garçons ont voté pour Hatxi

35% des filles ont voté pour Elodie.

parmi les 165 jeunes qui ont voté pour Machyl, il y a 20% de garçons.

1. Réproduire puis compléter le tableau suivant :

	Hatxi	Elodie	Machyl	Total
Garçons
Filles
Total		177		450

2. On choisit au hasard un jeune du public. On suppose que tous les choix sont équiprobables et on considère les événements suivants :
A : " le jeune choisi est un garçon "
B : " le jeune choisi a voté pour Machyl "
Les résultats démandés seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.
a) Calculer les probabilités P(A) et P(B).
b)Définir par une phrase les événements suivants : $A \cap B \text{ et } A \cup B$ .
c)Calculer $P(A \cap B)$ , en déduire $P(A \cup B)$ . 12 points

exercice 2

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un " drapeau " pour motif.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [-1; 1] par $f(x) = x^3 - x + 2$ .
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 5 cm. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

1. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ : calculer $f'(x)$ .
2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur [-1; 1] sachant que $f'(x) = 3\left(x + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
On indiquera pour $f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \text{ et } f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs apporchées décimales arrondies au centième.
3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

x	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
f(x)			2,38					1,66

4. Tracer $\mathcal{C}_f$ sur la feuille de papier millimétré.
5. Calculer l'intégrale I = $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$ .

Partie B

On considère la fonction g définie sur l'intervalle [-1; 1] par $g(x) = (x - 1)e^x + 2$ .
On appelle $\mathcal{C}_g$ la corube représentative de g dans le plan muni du repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [-1; 1], $g'(x) = xe^x$ où g' désigne la fonction dérivée de g.
2. Etudier le signe de g'(x) sur [-1; 1] et dresser le tableau de variation de g.
3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

x	-1	-0,8	-0,4	0	0,4	0,6	0,8	1
g(x)		1,19				1,27

4. Tracer $\mathcal{C}_g$ dans le même repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ que précédemment.
5. On considère la fonction G définie sur l'intervalle [-1; 1] par $G(x) = (x - 2)exp^x + 2x$ .
a) Montrer que G est une primitive de g sur [-1; 1].
b) Calculer l'intégrale $J = \displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx$ .

Partie C

La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ et par la droite d'équation x = -1 représente la toile du drapeau.
1. Placer les points P(-1; 2) et Q(-1; 0) puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.
2. On suppose que, pour tout x de l'intervalle [-1; 1], $f(x) \geq g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par A = $\displaystyle \int_{-1}^{+1} (f(x) - g(x)) dx$ .
a) Calculer la valeur exacte de A.
b) En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en cm².

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