Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - Session Juin 2005

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

8 points

exercice 1

Lors d'un concours de karaoké, le public, composé de 450 jeunes, dont 150 garçons, a voté pour l'un des trois finalistes, Hatxi, Elodie et Machyl.
Les voix sont réparties de la façon suivante :
45 garçons ont voté pour Hatxi
35% des filles ont voté pour Elodie.
parmi les 165 jeunes qui ont voté pour Machyl, il y a 20% de garçons.

1. Réproduire puis compléter le tableau suivant :

	Hatxi	Elodie	Machyl	Total
Garçons
Filles
Total		177		450

2. On choisit au hasard un jeune du public. On suppose que tous les choix sont équiprobables et on considère les événements suivants :
A : " le jeune choisi est un garçon "
B : " le jeune choisi a voté pour Machyl "
Les résultats démandés seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.
    a) Calculer les probabilités P(A) et P(B).
    b) Définir par une phrase les événements suivants : $A \cap B \text{ et } A \cup B$ .
    c) Calculer $P(A \cap B)$ , en déduire $P(A \cup B)$ .

12 points

exercice 2

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un " drapeau " pour motif.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [-1; 1] par $f(x) = x^3 - x + 2$ .
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité graphique 5 cm. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

1. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ : calculer $f'(x)$ .

2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur [-1; 1] sachant que $f'(x) = 3\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
On indiquera pour $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \text{ et } f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs apporchées décimales arrondies au centième.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$x$	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
$f(x)$			2,38					1,66

4. Tracer $\mathcal{C}_f$ sur la feuille de papier millimétré.

5. Calculer l'intégrale I = $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$ .

Partie B

On considère la fonction g définie sur l'intervalle [-1; 1] par $g(x) = (x - 1)e^x + 2$ .
On appelle $\mathcal{C}_g$ la corube représentative de g dans le plan muni du repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [-1; 1], $g'(x) = xe^x$ où g' désigne la fonction dérivée de g.

2. Etudier le signe de $g'(x)$ sur [-1; 1] et dresser le tableau de variation de g.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$x$	-1	-0,8	-0,4	0	0,4	0,6	0,8	1
$g(x)$		1,19				1,27

4. Tracer $\mathcal{C}_g$ dans le même repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ que précédemment.

5. On considère la fonction G définie sur l'intervalle [-1; 1] par $G(x) = (x - 2)e^x + 2x$ .
a) Montrer que G est une primitive de g sur [-1; 1].
b) Calculer l'intégrale $J = \displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx$ .

Partie C

La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ et par la droite d'équation x = -1 représente la toile du drapeau.

1. Placer les points P(-1; 2) et Q(-1; 0) puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.

2. On suppose que, pour tout x de l'intervalle [-1; 1], $f(x) \geq g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par A = $\displaystyle \int_{-1}^{+1} (f(x) - g(x)) dx$ .
a) Calculer la valeur exacte de A.
b) En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en cm².

Voir la correction

exercice 1

	Hatxi	Elodie	Machyl	Total
Garçons	45	72	33	150
Filles	63	105	132	300
Total	108	177	165	450

20% des garçons ont voté pour Machyl, soit $\dfrac{20}{100} \times 165 = 33$ garçons.
35% des filles ont voté pour Elodie, soit $\dfrac{35}{100} \times 300 = 105$ filles.

2. Il y a équiprobabilité pour chaque jeune parmi les 450 d'être choisi.

2. a) $P(A) = \dfrac{\text{nombre de garcons}}{\text{nombre de jeunes}} = \dfrac{150}{450} \approx 0,33$
$P(B) = \dfrac{\text{nombre de jeunes ayant vote pour Machyl}}{\text{nombre de jeunes}} = \dfrac{165}{450} \approx 0,37$

2. b) $A \cap B$ : " le jeune choisi est un garçon et il a voté pour Machyl ".
$A \cup B$ : " le jeune choisi est un garçon ou le jeune choisi a voté pour Machyl ".

2. c) A l'aide du tableau, on en déduit que :
$P(A \cap B) = \dfrac{33}{450} \approx 0,07$
Donc :
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ \hspace{50pt} = \dfrac{150}{450} + \dfrac{165}{450} - \dfrac{33}{450}\\ \hspace{50pt} = \dfrac{282}{450}\\ \hspace{50pt} \approx 0,63$

exercice 2

Partie A

1. $f$ est dérivable sur [-1; 1] et pour tout $x$ de [-1; 1], on a :
$f'(x) = 3x^2 - 1\\ f'(x) = 3\left(x^2 - \dfrac{1}{3}\right)\\ f'(x) = 3\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

2. Comme 3 > 0, $f'(x)$ est du signe de $\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ .
Or, $x - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \geq 0 \text{ si et seulement si } x \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
et $x + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \geq 0 \text{ si et seulement si } x \geq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D'où le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x&-1&&-\frac{1}{\sqrt{3}}&&\frac{1}{\sqrt{3}}&&1\\ \hline x - \frac{1}{\sqrt{3}}&&-&&-&0&+&\\ \hline x + \frac{1}{\sqrt{3}}&&-&0&+&&+&\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}$
Donc :
$f'(x) \geq 0 \text{ si } x \in \left[-1; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 1\right]\\ \text{ et : } f'(x) \leq 0 \text{ si } x \in \left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ .
Donc $f$ est croissante sur $\left[-1; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ et sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 1\right]$ et $f$ est décroissante sur $\left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ .

Tableau de variations de la fonction f :
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x&-1&&-\frac{1}{\sqrt{3}}&&\frac{1}{\sqrt{3}}&&1\\ \hline \hspace{1pt}&&&2,38&&&&2\\ f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&2&&&&1,62&&\\ \hline \end{array}$
De plus, f(-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
f(1) = 1 - 1 + 2 = 2
$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 2,38\\ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 1,62$

3.

$x$	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
$f(x)$	2	2,29	2,38	2,34	2,19	2	1,81	1,66	1,62	1,71	2

bac STI Arts appliqués Juin 2005 : image 1

5.
$I = \displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx = \displaystyle \int_{-1}^1 (x^3 - x + 2) dx\\ \hspace{10pt} = \displaystyle \int_{-1}^1 x^3 dx - \displaystyle \int_{-1}^1 x dx + 2 \displaystyle \int_{-1}^1 dx\\ \hspace{10pt} = \left[\frac14 x^4\right]_{-1}^1 - \left[\frac12 x^2\right]_{-1}^1 + 2[x]_{-1}^1\\ \hspace{10pt} = \dfrac14 \times 1^4 - \frac14 \times (-1)^4 - \left(\frac12 \times 1^2 - \frac12 \times (-1)^2\right) + 2\left(1 - (-1)\right)\\ \hspace{10pt} = \frac14 - \frac14 - \frac12 + \frac12 + 2 \times 2\\ \hspace{10pt} = 4$
D'où : $I = 4$ u.a.

Partie B

1. g est dérivable sur [-1; 1] et pour tout x de [-1; 1], on a :
$g'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x\\ \hspace{30pt} = (1 + x - 1)e^x\\ \hspace{30pt} = x e^x$

2. Pour tout réel $x$ de [-1; 1], e^x > 0.
Donc : $g'(x)$ est du signe de $x$ .
D'où :
$g'(x) \leq 0 \text{ si } x \in [-1; 0]\\ \text{et } g'(x) \geq 0 \text{ si } x \in [0; 1]$ .
On en déduit alors les variations de g sur [-1; 1] :
g est décroissante sur [-1; 0] et g est croissante sur [0; 1].

Tableau de variations de la fonction g :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-1&&0&&1\\ \hline \hspace{1pt}&1,26&&1&&2\\ g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&1&&\\ \hline \end{array}$

De plus, g(-1) = (-1 - 1)e^-1 + 2 = -2 e^-1 + 2 $\small \approx$ 1,26
g(0) = -1 + 2 = 1
g(1) = 2

3.

$x$	-1	-0,8	-0,4	0	0,4	0,6	0,8	1
$g(x)$	1,26	1,19	1,06	1	1,10	1,27	1,55	2

4. cf graphique (question A.4.)

5. a) Pour tout réel x de [-1; 1], on a :
$G'(x) = 1 \times e^x + (x - 2)e^x + 2 \\ = (1 + x - 2)e^x + 2 \\ = (x - 1)e^x + 2 \\ = g(x)$

D'où : G est une primitive de g sur [-1; 1].

5. b)
$\displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx = \left[G(x)\right]_{-1}^1\\ \hspace{5pt} = \left[(x - 2)exp^x + 2x\right]_{-1}^1\\ \hspace{5pt} = (1 - 2)e^1 + 2 \times 1 - \left[(-1 - 2)e^{-2} + 2 \times (-1)\right]\\ \hspace{5pt} = -e + 2 + 3e^{-1} + 2\\ \hspace{5pt} = 3e^{-1} - e + 4$
D'où : J = 3e^-1 - e + 4 u.a.

Partie C

1. cf graphique (question A.4.)

2. a)
$A = \displaystyle \int_{-1}^1 \left(f(x) - g(x)\right) dx\\ \hspace{14pt} = \displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx - \displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx\\ \hspace{14pt} = I - J\\ \hspace{14pt} = 4 - 3e^{-1} + e - 4\\ \hspace{14pt} = -3e^{-1} + e$
D'où : $A = e - 3e^{-1}$ u.a.

2. b) Une unité d'aire correspond à 25 cm², donc : $\mathcal{A} \approx 40,37$ cm².

Publié par Tom_Pascal le 20-02-2009

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