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L'île des Mathématiques

Bac Technologique 2005 - Sciences et Techniques de Laboratoire - Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux feuilles de papier millimétré sont mises à la disposition du candidat.
Coefficient : 4     Durée : 3 heures

 Exercice 1 (5 points)

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z² + 3z + 3 = 0.

2. On considère les nombres complexes .
   a) Ecrire z₁ sous forme trigonométrique.
   b) Construire avec précision dans le repère les points A et B d'affixes respectives z₁ et z₂.
On laissera apparents les traits de construction.

3. On appelle D le point d'affixe et K le point d'affixe z₄ = 1.
   a) Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle de centre K.
   b) Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
   c) Dans le repère , placer les points K et D, et tracer le cercle .
Déterminer la nature du triangle ABD.

 Exercice 2 (4 points)

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.
Le jeu proposé est le suivant : on verse d'abord 10 euros, puis on effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l'ordre les trois numéros obtenus.
Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre 231.

Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit 25 euros.
Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit 15 euros.
Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit 13 euros.
Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

1. En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.

2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).
   a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
   b) Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

 Problème (11 points)

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire g

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0; +[ par : .

1. Soit g' la fonction dérivée de la fonction g.
Calculer g'(x). Etudier le signe de g'(x) sur l'intervalle ]0; +[.
Dresser le tableau de variations de la fonction g dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (aucune limite n'est demandée).

2. Déduire du 1. que la fonction g est négative sur l'intervalle ]0; +[.

Partie B : Etude d'une fonction f

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0; +[ par .
On appelle la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de la fonction en +.
    b) Déterminer la limite de la fonction en 0.

2. Soit la droite d'équation y = 1 - 2x.
    a) Démontrer que la droite est asymptote à la courbe .
    b) Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .

3. a) Soit f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Démontrer que, pour tout x de l'intervalle ]0; +[, .
    b) En utilisant la partie A, déduire le signe de f '(x) sur l'intervalle ]0; +[ et dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. Tracer la droite et la courbe dans le repère .

Partie C : Calcul d'une aire

On considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0; +[ par .

1. On désigne par h' la fonction dérivée de la fonction h.
Calculer h'(x) pour tout réel x de l'intervalle ]0; +[.

2. On désigne par A la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie du plan comprise entre la droite , la courbe et les droites d'équations x = 1 et x = e.
   a) Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
   b) Calculer la valeur exacte du nombre réel A.

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