La clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures
5 points exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal
)
.
On considère la figure représentée en annexe 1 et on appelle

la partie hachurée,
bords compris.
On admettra que : la droite (CD) a pour équation y = 40 - x, et que la droite (AD) a pour équation

.
Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :

de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel;

de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.
On note

le nombre de bateaux de type A et

le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.
1. a) Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.
b) Montrer que ce système caractérise la partie

.
2. Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 € et celui d'un bateau de type B de 7 500 €.
Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux A et y bateaux B.
a) Exprimer C en fonction de

et de

.
b) Déterminer une équation de la droite
)
correspondant à un coût total de 450 000 € et représenter
)
dans la figure tracée sur l'annexe 1.
c) Déterminer graphiquement le couple d'entiers
)
qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.
Les points A, B, C, D ont pour coordonnées : A(9; 35) ; B(30; 35) ; C(30; 10) et D(15; 25)
Annexe 1
5 points exercice 2
Dans un pays tropical, une région agricole compte 100 000 agriculteurs qui produisent soit du coton, soit du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante :

42% des agriculteurs produisent du coton,

19% produisent du café,

39% produisent des fruits et légumes.
De plus :

75% des agriculteurs travaillent pour l'exportation, les autres pour la consommation locale.

86% des producteurs de coton et tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
| Destination \ Production |
Coton |
Café |
Fruits et légumes |
Total |
| Exportation |
|
|
|
|
| Consommation locale |
|
|
|
|
| Total |
|
|
|
100 000 |
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire à 10-4.
2. On choisit au hasard un agriculteur de cette région et on considère les évènements :
C : "il produit du coton";
E : "il travaille pour l'exportation".
a) Traduire par une phrase les événements

.
b) Calculer les probabilités P(C), P(E),
, \text{P}(\text{C } \cup \text{E}))
et P(A).
3. On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation.
Quelle est la probabilité qu'il produise du café ?
10 points probleme
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
)
d'unité 2 cm sur chaque axe.
La courbe (C) donnée en annexe 2 représente une fonction f définie sur ]0; +

[.

Le point A a pour coordonnées (1; 2).

La droite (T) est tangente en A à (C); elle passe par le point de coordonnées (0; 6).

Le point B a pour abscisse e².

La tangente à (C) en B est parallèle à (Ox), cette tangente n'est pas tracée sur le dessin.
Partie A : Etude de la fonction f
La fonction

représentée par (C) est définie sur ]0 ; +

[ par :
 = \dfrac{2 - 2\ln x}{x})
.
1. Calculer l'abscisse du point d'intersection de (C) avec (Ox).
2. a) En remarquant que
 = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x})
, calculer la limite de

en +

.
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
b) En remarquant que
 = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x))
, calculer la limite de

en 0.
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
3. a) Montrer que
 = \dfrac{2\ln x - 4}{x^2})
.
b) Résoudre :

.
En déduire le signe de f'(x) sur ]0; +

[ et le tableau de variation de

.
c) Donner l'ordonnée exacte du point B (détailler les calculs).
Partie B : Calcul d'aire
1. On considère les fonctions G et g définies respectivement sur ]0; +

[ par
 = (\ln x)^2 \text{ et } f(g) = \dfrac{2 \ln x}{x})
.
a) Montrer que G est une primitive de g sur ]0 ; +

[.
b) Vérifier que
 = \dfrac{2}{x} - g(x))
; en déduire une primitive

de

sur ]0; +

[.
2. On pose :
 dx)
.
a) 
est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine (

) : hachurer (

) sur le graphique.
b) Calculer la valeur exacte de

.
c) En déduire l'aire en cm² du domaine (

).
Annexe 2